Sistemas lineares Parte2

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Quando o sistema possui três incógnitas, adotamos 
outros métodos de resolução. Todos esses métodos 
relacionam os coeficientes com matrizes, e os 
métodos mais utilizados são a regra de Crammer ou o 
escalonamento. Para a resolução em ambos os 
métodos, é necessário a representação matricial do 
sistema, inclusive o sistema 2x2 pode ser 
representado por meio de uma matriz. Há duas 
possíveis representações, a matriz completa e a 
matriz incompleta: 
Exemplo: 
O sistema 
 
Pode ser representado pela matriz completa 
 
E pela matriz incompleta 
 
Regra de Crammer 
Para encontrarmos soluções de um sistema 3x3, com 
incógnitas x, y e z, utilizando a regra de Crammer, é 
necessário calcularmos o determinante da matriz 
incompleta e suas variações. Temos então que: 
D → determinante da matriz incompleta do sistema. 
Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, 
substituindo-se a coluna de x pela coluna dos termos 
independentes. 
Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, 
substituindo-se a coluna de y pela coluna dos termos 
independentes. 
Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, 
substituindo-se a coluna de z pela coluna dos termos 
independentes. 
Dessa forma, para encontrar o valor de suas 
incógnitas, primeiro precisamos calcular o 
determinante D, Dx, Dy associado ao sistema. 
Exemplo: 
 
1º passo: calcular D. 
 
2º passo: calcular Dx. 
 
3º passo: então podemos encontrar o valor do x, pois: 
 
4º passo: calcular Dy. 
 
5º passo: então podemos calcular o valor de y: 
 
6º passo: agora que conhecemos o valor de x e y, em 
qualquer uma das linhas podemos encontrar o valor 
de z substituindo o valor de x e y e isolando o z. Outra 
opção é calcular Dz. 
Substituindo x = 0 e y = 2 na primeira equação: 
2x + y – z = 3 
2 · 0 + 2 – z = 3 
0 + 2 – z = 3 
-z = 3 – 2 
-z = -1 (-1) 
 z = -1 
Portanto, a solução do sistema é a terna (0,2,-1). 
Escalonamento 
Outro método de resolver sistemas lineares é o 
escalonamento, nele utilizamos somente a matriz 
completa e operações entre as linhas com o objetivo 
de isolar as suas incógnitas. Vamos escalonar o 
sistema a seguir. 
 
1º passo: escrever a matriz completa que represente 
o sistema. 
 
Seja L1, L2 e L3 respectivamente as linhas 1, 2 e 3 da 
matriz, vamos realizar operações entre L1 e L2 e L1 e 
L3, de modo que o resultado faça com que os termos 
que estão na primeira coluna da segunda e da terceira 
linhas fiquem iguais a zero. 
Analisando a segunda linha da matriz, vamos 
substituí-la pelo resultado de L2 → -2 · L1 + L2, com 
objetivo de zerar o termo a31. 
a21 = -2 · 1 + 2 = 0 
a22 = -2 · 2 + 1 = -3 
a23 = -2 · (-3) + 1 = 7 
a24 = -2 · 10 + 3 = -17 
Então a L2 será 0 -3 7 -17. 
Analisando a terceira linha da matriz, vamos substituí-
la pelo resultado de L3 → 3L1 + L2, com o objetivo de 
zerar o termo a31. 
a31 = 3 · 1 – 3 = 0 
a32 = 3 · 2 + 2 = 8 
a33 = 3 · (-3) +1 = -8 
a34 = 3 · 10 – 6 = 24 
Então a L3 será 0 8 -8 24. 
Note que todos são divisíveis por 8, logo, para que a 
linha L3 fique mais simplificada, vamos dividi-la por 8. 
L3 → L3 : 8 será: 0 1 -1 3. 
Assim a nova matriz da equação escalonada será: 
 
Agora o objetivo é zerar a coluna y na terceira linha, 
realizaremos operações entre a L2 e L3, com o 
objetivo de zerar a segunda coluna de uma delas. 
Substituiremos a L3 por L3 → L2 + 3L3. 
a31 = 0 + 3 · 0 = 0 
a32 = -3 + 3 · 1 = 0 
a33 = 7 + 3 · (-1) = 4 
a34 = -17 + 3 · 3 = -8 
Então L3 será: 0 0 4 -8. 
A nova matriz escalonada será: 
 
Agora, ao representarmos essa matriz como um 
sistema novamente, adicionando x, y e z nas colunas, 
encontraremos o seguinte: 
 
Podemos então encontrar o valor de cada uma das 
incógnitas. Analisando a equação III, temos que: 
 
Se z = -2, vamos substituir o valor de z na segunda 
equação: 
 
Por fim, na primeira equação, vamos substituir o valor 
de y e z para encontrarmos o valor de x.