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Sistemas lineares Parte1

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Classificação de sistema linear 
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares, 
podendo ter várias incógnitas e várias equações. 
Existem vários métodos para resolvê-lo, 
independentemente da quantidade de equações. 
Existem três classificações para um sistema linear. 
Sistema possível determinado (SPD): quando possui 
uma única solução. 
Sistema possível indeterminado (SPI): quando possui 
infinitas soluções. 
Sistema impossível (SI): quando não existe nenhuma 
solução. 
EQUAÇÃO LINEAR 
O trabalho com equações existe devido à necessidade 
de encontrarmos valores desconhecidos de 
incógnitas. Chamamos de equação quando temos 
uma expressão algébrica com igualdade, e ela é 
classificada como linear quando o maior expoente de 
suas incógnitas é 1, conforme os exemplos a seguir: 
2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas 
a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita 
De modo geral, uma equação linear pode ser descrita 
por: 
a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c 
Conhecemos como sistema de equação quando há 
mais de uma equação linear. Começaremos com 
sistemas lineares de duas incógnitas. 
Resolução de sistemas lineares 
Sistemas lineares com duas equações do 1º grau e 
duas incógnitas 
Para resolver um sistema de duas equações e duas 
incógnitas, existem vários métodos, os três mais 
conhecidos são: 
• método da comparação 
• método da adição 
• método da substituição 
Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear 
de duas equações e duas incógnitas. Esses métodos 
não são tão eficientes para sistemas com mais 
equações, já que existem outros métodos específicos 
para resolvê-los. 
Método da substituição 
O método da substituição consiste em isolar uma das 
incógnitas em uma das equações e realizar a 
substituição na outra equação. 
Exemplo: 
 
1º passo: isolar uma das incógnitas. 
Chamamos de I a primeira equação e de II a segunda 
equação. Analisando as duas, vamos escolher a 
incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. Note 
que, na equação I → x + 2y = 5, o x não possui 
coeficiente, o que faz com que seja mais fácil isolá-lo, 
logo, reescreveremos a equação I desta forma: 
I → x + 2y = 5 
I → x = 5 – 2y 
2º passo: substituir I em II. 
Agora que temos a equação I com o x isolado, na 
equação II, podemos substituir x por 5 – 2y. 
II → 3x – 5y = 4 
Substituindo x por 5 – 2y: 
3 (5 – 2y) – 5y = 4 
Agora que a equação tem só uma incógnita, é possível 
resolvê-la para encontrar o valor de y. 
 
Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x 
realizando a substituição do valor de y na equação I. 
I → x = 5 – 2y 
x = 5 – 2 · 1 
x = 5 – 2 
x = 3 
Então a solução do sistema é S = {3,1}. 
Método da comparação 
O método da comparação consiste em isolarmos uma 
incógnita nas duas equações e igualar esses valores. 
Exemplo: 
 
1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, 
vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo 
isolar a incógnita x, temos que: 
 
2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x. 
 
3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das 
equações. 
x = -4 – 3y 
x = -4 – 3 (-2) 
x = -4 + 6 
x = 2 
Então a solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}. 
Método da adição 
O método da adição consiste em realizar a 
multiplicação de todos os termos de uma das 
equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I 
na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a 
zero. 
Exemplo: 
 
1º passo: multiplicar uma das equações para que os 
coeficientes fiquem opostos. 
Note que, se multiplicarmos a equação II por 2, 
teremos 4y na equação II e -4y na equação I, e que, ao 
somarmos I + II, teremos 0y, logo, vamos multiplicar 
todos os termos da equação II por 2 para que isso 
aconteça. 
I → 5x – 4y = -5 
2 · II → 2x + 4y = 26 
2º passo: realizar a soma I + 2 · II. 
 
3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das 
equações.

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