Atividade I Geometria Analitica e Vetores.

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ATIVIDADE AVALIATIVA 1 – AULAS 1 E 2 
CUROS: MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES 
CARGA HORÁRIA: 80 H 
PROFESSORA: TIAKI CINTIA TOGURA FAORO 
NOME: AILTON ALVES FRANCISCO RGM: 073.1364. 
 
1. Dadas as equações de r na forma paramétrica {
𝑥 = 2𝑡 − 1
𝑦 = 𝑡 + 2
, determine a equação 
reduzida de r. 
Resolução: 
{
𝑥 = 2𝑡 − 1
𝑦 = 𝑡 + 2
 
y = t + 2 
t = y – 2 
 
x = 2t – 1 
x = 2(y -2) -1 
x = 2y -4 – 1 
x = 2y – 5 
x – 2y + 5 = 0 
2y = x + 5 
y = 
𝒙
𝟐
+
𝟓
𝟐
 
 
2. Encontre a equação paramétrica da reta r que passa pelos pontos A ( 3, -4, 2) e é 
paralela ao vetor �⃗� = (2, 1, −3). 
Resolução: 
(x, y, z) = (3, -4, 2) + (2, 1, -3) . t 
(x, y, z) = (3, -4, 2) + (2t, t, -3t) 
(x, y, z) = (3+2t, -4 + t, 2 – 3t) 
{
𝒙 = 𝟑 + 𝟐𝒕
𝒚 = −𝟒 + 𝒕
𝒛 = 𝟐 − 𝟑𝒕
 
 
3. Verifique a posição relativas das retas dadas por suas posições, em seguida 
assinale uma opção: 
a. 𝑟: 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 𝑠:
𝑥
4
+
𝑦
10
= 1 
 
( X ) concorrentes e não paralelas 
( ) não concorrentes e paralelas 
 
4. Verifique a posição relativas das retas dadas por suas posições, em seguida 
assinale uma opção: 
 
a. 𝑟: 𝑦 =
2
3
𝑥 − 1 𝑠 = 4𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0 
 
( X ) paralelas 
( )concorrentes 
 
5. Determine o ângulo entre as seguintes retas: 
a. 𝑟1: {
𝑥 = −2 − 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 3 − 2𝑡
 𝑒 𝑟2:
𝑥
2
=
𝑦+6
1
=
𝑧−1
1
 
 
Resolução: 
Vetor r1 = (-1, 1, -2) 
|𝑟1| = √(−1)2 + (1)2 + (−2)² 
|𝒓𝟏| = √𝟔 
 
Vetor r2 = (2, 1, 1) 
|𝑟2| = √(2)2 + (1)2 + (1)² 
|𝒓𝟐| = √𝟔 
 
|𝑟1 . 𝑟2| = (−1, 1,−2). (2, 1, 1) 
|𝑟1 . 𝑟2| = (−2 + 1 − 2) 
|𝒓𝟏 . 𝒓𝟐| = −𝟑 
 
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
|𝒓𝟏 . 𝒓𝟐| 
 |𝑟1||𝑟2|
 
𝐶𝑜𝑠 𝜽 = 
|−3|
√𝟔.√𝟔
 
𝐶𝑜𝑠 𝜽 = 
|−3|
𝟔
 
𝐶𝑜𝑠 𝜽 = 
3
𝟔
 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 3) 
 
𝜽 = 
𝟏
𝟐
 = 0,5 
𝜽 = 60º 
 
6. Determine o ângulo entre as seguintes retas: 
 
b. 𝑟1: {
𝑦 = −2𝑥 + 3
𝑧 = 𝑥 − 2
 𝑒 𝑟2: 𝑦 =
𝑧+1
−1
 ; 𝑥 = 4 
Resolução: 
Vetor r1 = (1, -2, 1) 
|𝑟1| = √(1)2 + (−2)2 + (1)² 
|𝒓𝟏| = √𝟔 
 
Vetor r2 = (1, -1, 0) 
|𝑟2| = √(1)2 + (−1)2 + (0)² 
|𝒓𝟐| = √𝟐 
 
|𝑟1 . 𝑟2| = (1,−2, 1). (1,−1, 0) 
|𝑟1 . 𝑟2| = (1 + 2 + 0) 
|𝒓𝟏 . 𝒓𝟐| = 𝟑 
 
𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
|𝒓𝟏 . 𝒓𝟐| 
 |𝑟1||𝑟2|
 
𝐶𝑜𝑠 𝜽 = 
𝟑
√𝟔.√𝟐
 
𝐶𝑜𝑠 𝜽 = 
𝟑
√𝟏𝟐
 
𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 
3
3,464
 
𝜽 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 ≅ 
𝜽 = 30º 
 
 
7. Determine as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 3, -2) e tem a direção 
do vetor �⃗� = 3𝑖 + 2�⃗⃗�. 
Resolução: 
(x, y, z) = (-2, 3, -2) + t.(3, 0, 2) 
x = - 2 + 3t 
y = 3 
z = - 2 + 2t 
{
𝑥 = −2 + 3𝑡
𝑦 = 3
𝑧 = −2 + 2𝑡
 
 
8. Calcular o valor de m para que as retas 
𝑟: {
𝑦 = 𝑚𝑥 − 3
𝑧 = −2𝑥 
 𝑒 𝑠: {
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 3 − 𝑡
𝑧 = 5𝑡
 
Sejam ortogonais. 
 
Resolução: 
a1 . a2 + b1 . b2 + c1 . c2 = 0 
1 . 2 + m . (-1) + (-2) . 5 = 0 
2 – m – 10 = 0 
m = - 2 + 10 
m = 8 
 
9. Calcular o valor de m para que as retas 
𝑟: {
𝑦 = 𝑚𝑥 + 2
𝑧 = 3𝑥 − 1 
 𝑒 𝑠: {
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 1 + 2𝑡
𝑧 = −2𝑡
 
Sejam coplanares. 
Resolução: 
𝑣
→ = (0, m, 3) 
A = (0, 2, -1) 
𝑢
→ = (1, 2, -2) 
B = (0, 1, 0) 
𝐴𝐵
→ = B –A = (0, 1, 0) – (0, 2, -1) 
𝐴𝐵
→ = (0, -1, -1) 
 
0 𝑚 3
1 2 −2
0 −1 −1
 
0 𝑚
 1 −2
0 −1
 = 0 
m – 3 = 0 
m = 3 
 
10. Determine o valor de n para que seja de 30º o ângulo entre as retas. 
a. 𝑟1:
𝑥−2
4
=
𝑦
5
=
𝑧
3
 e 𝑟2: {
𝑦 = 𝑛𝑥 + 5
𝑧 = 2𝑥 − 2
 
 
Resolução: 
Cos θ = 
|𝑣1.𝑣2|
|𝑣1|.| 𝑣2|
 
 
√3
2
 = 
|(4,5,3).(1,𝑛,2)|
|√42+52+3²|.|√12+𝑛²+2²|
 
 
√3
2
 = 
|4+5𝑛+6|
|√50|.|√5+𝑛²|
 
 
√3
2
 = 
5𝑛+10
√50(5+𝑛2)
 
 
√3√50(5 + 𝑛2)= 2 * (5n + 10) 
 
150 * (5 + n²) = (20 + 10n)² 
750 + 150n² = (20 + 10n) * (20 + 10n) 
750 + 150n² = 400 + 400n + 100n² 
150n² - 100n² - 400n + 750 – 400 = 0 
50n² - 400n + 350 = 0 
 
𝑛 =
−(−400)±√(−100)2−4.50.350
2.50
 
 
𝑛 =
400±√160000−70000
100
 
 
𝑛 =
400±300
100
 
 
𝒏′ =
𝟕𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟕 
 
𝒏" =
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏 
 
 
Portanto, a letra n deve ser substituída pelo número 1 ou 7 para 
chegarmos ao ângulo de 30º.