Lista 4 - Enigmas

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Ciência e Tecnologia de Materiais - Prof. Dr. Michel Chaves 
 
 
2ª Lista de Exercícios – Estrutura Cristalina 
Enigmas 
01) Explique por que as propriedades dos materiais policristalinos são, na maioria das 
vezes, isotrópicas. 
Para muitos materiais policristalinos, as orientações cristalográficas dos grãos 
individuais são totalmente aleatórias. Sob essas circunstâncias, embora cada grão possa 
ser anisotrópico, uma amostra composta pelo agregado de grãos se comporta de maneira 
isotrópica. 
 
 
02) Liste as coordenadas dos pontos para todos os átomos que 
estão associados à célula unitária CFC. 
0,0,0 1, ½,½ 0,0,1 ½,½,0 
1,0,0 ½,0,½ 1,0,1 ½,½,1 
0,1,0 ½,1, ½ 0,1,1 
1,1,0 0, ½,½ 1,1,1 
03) Mostre que o fator de empacotamento atômico para a estrutura CCC vale 0,68. 
𝑭𝑬𝑨 = 𝒏º.
𝑽á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔
𝑽𝒄
= 𝟐.
𝟒
𝟑 𝝅𝑹
𝟑
𝒂𝟑
=
𝟖
𝟑 𝝅𝑹
𝟑
(
𝟒𝑹
√𝟑
)
𝟑
=
𝟖
𝟑
𝝅𝑹𝟑.
𝟑√𝟑
𝟔𝟒𝑹𝟑
=
𝝅√𝟑
𝟖
 
𝑭𝑬𝑨 = 𝟎, 𝟔𝟖 
04) Mostre que o fator de empacotamento atômico para a estrutura HC vale 0,74. 
𝑭𝑬𝑨 = 𝒏º.
𝑽á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔
𝑽𝒄
= 𝟔.
𝟒
𝟑 𝝅𝑹
𝟑
𝑨𝒃. 𝒄
=
𝟐𝟒
𝟑 𝝅𝑹
𝟑
𝟔.
𝒂𝟐√𝟑
𝟒 𝒄
=
𝟐𝟒
𝟑 𝝅𝑹
𝟑
𝟔.
𝒂𝟐√𝟑
𝟒 𝟏, 𝟔𝟑𝟑𝒂
 
𝑭𝑬𝑨 =
𝟐𝟒
𝟑 𝝅𝑹
𝟑
𝟔.
𝒂𝟑√𝟑
𝟒 𝟏, 𝟔𝟑𝟑
=
𝟐𝟒
𝟑 𝝅𝑹
𝟑
𝟔.
𝟖. 𝑹𝟑√𝟑
𝟒 𝟏, 𝟔𝟑𝟑
=
𝟐𝟒
𝟑
𝝅.
𝟒
𝟒𝟖. √𝟑. 𝟏, 𝟔𝟑𝟑
= 𝟎, 𝟕𝟒 
 
 
05) Mostre que para a estrutura atômica CCC o comprimento da aresta da célula unitária 
a e o raio atômico R estão relacionados pela expressão: 
𝑎 =
4𝑅
√3
 
 
𝑵𝑷𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒂𝟐 
𝑵𝑸𝟐 = 𝑵𝑷𝟐 + 𝒂𝟐 = 𝑵𝑷𝟐 = 𝟑𝒂𝟐 = (𝟒𝑹)𝟐 
𝑎 =
4𝑅
√3
 
 
 
06) No interior de uma célula unitária cúbica desenhe as seguintes direções: 
a) [101] e) [111] 
b) [211] f) [212] 
c) [102] g) [312] 
d) [313] h) [301] 
 
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2ª Lista de Exercícios – Estrutura Cristalina 
07) Esboce no interior de uma célula unitária cúbica simples os seguintes planos: 
a) (101) e) (111) 
b) (211) f) (212) 
c) (012) g) (312) 
d) (313) h) (301) 
 
08) Desenhe uma célula unitária ortorrômbica, e no interior dessa célula represente uma 
direção [21̅1]. 
 
z 
y 
x 
09) Desenhe uma célula unitária tetraédrica, e no interior dessa célula represente uma 
direção [1̅01]. 
 
 
 
 
 
 
 
10) Quais são os índices para as direções 
indicadas pelos dois vetores no seguinte desenho? 
D1 = [212̅̅̅̅ ] 
D2 = [102] 
 
 
 
11) Quais os índices para as direções mostradas na figura: 
 
A = [�̅�𝟏𝟎] 
B = [𝟏𝟐𝟏] 
C = [𝟎�̅��̅�] 
D = [𝟏�̅�𝟏] 
 
 
 
 
 
 
z 
y 
x 
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2ª Lista de Exercícios – Estrutura Cristalina 
 
12) Quais são os índices dos planos mostrados na figura a seguir: 
 
P1 = (211) 
P2 = (01̅0) 
 
 
 
 
 
13) Quais são os índices dos planos 
mostrados na figura a seguir: 
PA = (𝟏𝟏�̅�) 
PB = (𝟐𝟑𝟎) 
 
 
 
 
 
14) Quais são os índices dos planos mostrados 
na figura a seguir: 
PA = (�̅�𝟏𝟎) 
PB = (𝟏𝟐𝟐) 
 
 
 
 
15) Quais são os índices dos planos 
mostrados na figura a seguir: 
PA = (𝟐𝟏�̅�) 
PB = (𝟎𝟐�̅�) 
 
 
 
 
Problemas 
16) Se o raio atômico do chumbo vale 0,175 nm, calcule o volume de sua célula unitária 
em metros cúbicos, dado que o chumbo apresenta estrutura CFC. (1,2.10-28 m³) 
𝑉 = 𝑎3 = (2𝑅√2)
3
= (2.0,175.10−9√2)
3
= 1,2.10−28𝑚3 
17) O molibdênio possui uma estrutura cristalina CCC, um raio atômico de 0,1363nm e 
peso atômico de 95,94 g/mol. Calcule e compare a sua massa específica teórica com o 
valor experimental encontrado no livro CALLISTER, W. D.; RETHWISCH, D. 
G. Ciência e engenharia de materiais: uma introdução. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
(10.22 g/cm³). 
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝑐𝑁𝐴
=
2.95,94
𝑎36,02.1023
2.95,94
(
4.0,1363.10−9
√3
)
3
6,02.1023
= 10,22.106
𝑔
𝑚3
(
1𝑚3
106𝑐𝑚3
) = 10,22
𝑔
𝑐𝑚3
 
 
18) Algum metal hipotético possui a estrutura cristalina cúbica 
simples que está mostrada na figura. Se o seu peso atômico vale 
74,5 g/mol e o raio atômico 0,145 nm, calcule a sua massa 
específica. (5,07 g/cm³) 
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝑐𝑁𝐴
=
1.74,5
𝑎3. 6,023.1023
=
1.74,5
(2𝑅)3. 6,023.1023
 
𝜌 =
1.74,5
(2.0,145.10−9)3. 6,023.1023
= 5,07.106
𝑔
𝑚3
(
1𝑚3
106𝑐𝑚3
) = 5,07
𝑔
𝑐𝑚3
 
19) Calcule o raio de um átomo de paládio, dado que o Pd tem uma estrutura cristalina 
CFC, uma massa específica de 12 g/cm³ e um peso atômico de 106,4 g/mol. (0,138nm) 
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2ª Lista de Exercícios – Estrutura Cristalina 
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝑐𝑁𝐴
→ 𝑉𝑐 =
𝑛𝐴
𝜌𝑁𝐴
→ (2𝑅√2)
3
=
𝑛𝐴
𝜌𝑁𝐴
→ 𝑅 = √
𝑛𝐴
16√2𝜌𝑁𝐴
3
= √
4.106,4
16√2. 12.106. 6,02.1023
3
= 0,138𝑛𝑚 
 
20) A seguir é apresentada uma célula unitária para um 
metal hipotético. 
a) A qual sistema cristalino pertence essa célula 
unitária? Tetragonal 
b) Como essa estrutura cristalina seria chamada? 
Tetragonal de Corpo Centrado 
c) Calcule a massa específica do material, dado que o seu peso atômico vale 141 g/mol. 
(8,49 g/cm³) 
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝑐𝑁𝐴
= 𝜌 =
2.141
(0,35.10−9. 0,35.10−9. 0,45.10−9)6,02.1023
= 8,5.106
𝑔
𝑚3
(
1𝑚3
106𝑐𝑚3
) = 8,5
𝑔
𝑐𝑚3