Cálculo IV - Aula 1 e 2

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Cálculo IV – ESTÁCIO DE SÁ
 
1. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2] 
 
 
 
1 
 
 
8 
 
 
zero 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(-e + e -1) (pi2/8) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem 
como idéia principal ? 
 
 
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função 
encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R 
(nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se 
definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n 
subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se 
definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n 
subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função 
encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R 
(nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 
2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6, tem como solução e geometricamente define: 
 
 
Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área. 
 
 
Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume. 
 
 
Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume. 
 
 
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1. 
 
 
Determine o volume do sólido S que é delimitado 
pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os 
planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 
 
 
 
48 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
40 
 
 
35 
 
 
49 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = ex2ex2, ou 
seja, eu onde u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e 0<= y <= x 
 
 
 (e−1)2(e−1)2 
 
 
e 
 
 
1/2 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
e - 1 
 
 
 
Explicação: 
∫10∫x0eudydxondeu=x2∫01∫0xeudydxondeu=x2 
∫10yex2dx∫01yex2dx passando os limites de integracao de y temos ∫10xex2dx∫01xex2dx 
chame u = x2 e du = 2x dx 
∫12eudu=12ex2∫12eudu=12ex2 aplicando os limites de integracao encontra-se=e−12=e−12 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z 
= 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é 
dada por (x,y,z) = z. 
 
 
2ππ/3 u.m 
 
 
ππ u.m 
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2ππ u.m 
 
 
Será (17 ππ) / 8 u.m 
 
 
7 ππ u.m 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo 
do parabolóide z = 4 - x2 - y2 e acima do plano z = 0. Qual foi o 
volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos 
estão corretos. 
 
 
2 ππ 
 
 
8π8π 
 
 
3π53π5 
 
 
7π37π3 
 
 
2π32π3 
 
 
 
Explicação: 
O domínio D interior a interseção de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0 entao temos 
0 = 4 - x2 - y2 ou x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: 
Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também. 
V 
= ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r
2)rdrdθ 
(4r22−r44)|20θ|2π0=8π(4r22−r44)|02θ|02π=8π 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da 
função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x está no 
intervalo 1≤x≤41≤x≤4 e y esta no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 . 
Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo 
de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no 1≤x≤41≤x≤4 e 1≤y≤21≤y≤2 . O 
que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação 
sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no intevalo 
dado ? 
 
 
A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = 
[1,4]x[1,1] e altura k = 6 
 
 
A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = 
[1,5]x[1,2] e altura k = 4 
 
 
A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = 
[1,4]x[1,2] e altura k = 4 
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A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = 
[1,4]x[1,2] e altura k = 1 
 
 
A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = 
[1,1]x[1,2] e altura k = 2 
 
 
 
Explicação: 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às 
variáveis x, y onde x varia 1≤x≤41≤x≤4 e y varia no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 e especificar para turma 
o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e 
sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy: 
∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141dxdy=∫12xdy Passando os limites de integração de x 
temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy 
3∫21dy=3y3∫12dy=3y Passando os limites de integração de y teremos 3 ( 2-1) = 3 
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] 
e altura k = f(x,y) = 1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde 
D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela 
parábola y2 = 2x + 6. 
 
 
 
22 
 
 
36 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
30 
 
 
56 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos: 
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz 
 
 
4/27 
 
 
-27/4 
 
 
-7/4 
 
 
7/4 
 
 
27/4 
 
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8. 
 
 
Calcular o volume do 
sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-
z ∫20∫02 dxdydz. 
 
 
 
1.5 
 
 
3 
 
 
2 
 
 
1 
 
 
2.5 
 
 
 
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