AP3-GAI-2009-1-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Terceira Avaliação Presencial de Geometria Analítica I - Gabarito 
1/2009 – Prof. Linhares 
 
 
Nome:__________________________________________________________ 
 
Pólo:___________________________________________________________ 
 
 
Questão 1: (2,5 pontos) Verifique que tipo de cônica representa a equação abaixo: 
 
02424222 =−−−+ yxxyyx 
 
Solução: Eliminando o termo quadrático misto: 



+=
−=
θθ
θθ
´cos´
´´cos
ysenxy
senyxx
 
Substituindo na equação dada e igualando a zero o termo quadráticos misto, obtemos: 
( ) 0cos´´ 22 =− θθsenyx ∴ 0cos22 =− θθsen ∴ 02cos =θ ∴ 
2
2 piθ = 
∴ 
4
piθ = 
Logo, 







+=
−=
´
2
2
´
2
2
´
2
2
´
2
2
yxy
yxx
 
Substituindo na equação dada, obtemos ´4´2 xy = , que representa uma parábola. 
 
Questão 2: (2,5 pontos) Determine, se a equação dada abaixo representa um círculo. Em 
caso afirmativo, dizer qual o centro e o raio do círculo. 
08540444 22 =+−−+ yxyx 
Solução: 
 
085)10(4)(4 22 =−−+− yyxx . Completando os quadrados dentro dos parênteses: 
( ) 0852525104
4
1
4
14 22 =+−+−+





−+− yyxx 
∴ ( ) 085100154
2
14 2
2
=+−−−+





− yx 
∴ ( ) 01654
2
14 2
2
=−−+





− yx 
∴ ( ) 45
2
1 2
2
=−+





− yx 
que representa um círculo de centro )5,
2
1(P e raio 2=r . 
 
Questão 3: (2,5 pontos) Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto 
)2,1( −P e tem coeficiente angular 3=m . 
 
Solução: A equação cartesiana da reta é 053 =−− yx . O ponto )5,0( −Q pertence à 
reta. Logo, o vetor )3,1(=v é um vetor direção da reta. Logo, as equações paramétricas da 
reta são: 



+−=
+=
ty
tx
32
1
 
 
Questão 4: (2,5 pontos) Encontre um número real positivo λ tal que a projeção ortogonal 
do vetor )3,( λ−=u sobre o vetor )1,2(=v seja um vetor com norma (ou módulo) igual a 
5 . 
 
Solução: A projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v é dada por v
vv
vu
u
,
,
~
= . 
Logo, 
5
23,
,
,
~
λ−
===
v
vu
v
vv
vu
u . 
Assim, 5235~ =−⇔= λu ∴ 523 ±=− λ 
Portanto, 4=λ ou 1−=λ . Como λ deve ser positivo então 4=λ .