Média, Mediana e Moda para Dados Agrupados

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Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 4 
 
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Média, Mediana e Moda para Dados Agrupados 
 
Se, por algum motivo, não se tiver acesso aos dados de uma amostra, mas apenas à sua tabela 
de freqüências ou ao seu histograma não será possível calcular exatamente os valores da sua 
média, da sua mediana e da sua moda. Neste caso, o melhor que se pode fazer é calculá-las 
aproximadamente. Tomemos como exemplo a tabela a seguir: 
 
Medidas da capacidade vital de 50 adultos do sexo masculino entre 18 e 27 anos de idade 
(Santa Casa de São Paulo, 1974). 
 
Capacidade 
Vital ( ) Freqüência 
Freqüência 
Acumulada 
4,0 ├ 4,5 8 8 
4,5 ├ 5,0 11 19 
5,0 ├ 5,5 5 24 
5,5 ├ 6,0 15 39 
6,0 ├ 6,5 6 45 
6,5 ├ 7,0 2 47 
7,0 ├ 7,5 2 49 
7,5 ├ 8,0 1 50 
Total 50 
Fonte: Depto. de Provas Funcionais Pulmonares - Santa Casa/SP. 
 
Para se calcular a média das medidas acima, que só são fornecidas na forma de uma tabela de 
freqüências, vai-se supor que todas as medidas que caem dentro de um intervalo de classe 
são iguais ao ponto médio daquele intervalo. Portanto, para cada intervalo calcula-se o seu 
ponto médio e considera-se que ele ocorre com a mesma freqüência da classe. Desta 
maneira, a aproximação que se faz para os dados desconhecidos deste problema é a seguinte: 
 
Dados (pontos 
médios das classes) 
4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 Total 
Freqüências 8 11 5 15 6 2 2 1 50 
 
Considerando os dados da tabela aproximada como sendo os dados verdadeiros para o 
problema, basta agora usar a fórmula da média aritmética para obter a média da distribuição: 
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 2 
ℓ44,5
50
272
1226155118
175,7225,7275,6625,61575,5525,51175,4825,4
8
1
8
1 ==
+++++++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
==
∑
∑
=
=
i
i
i
ii
f
xf
x 
Para calcular a mediana, também teremos que fazer uma aproximação. Inicialmente, temos 
que determinar o intervalo de classe no qual ela se encontra. Como existem 50 dados, a 
mediana será a média entre o 25o e o 26o dado, portanto será o "dado" de ordem 25,5. 
Olhando na coluna das freqüências acumuladas da tabela, vemos que o dado de ordem 25,5 
cai dentro do quarto intervalo de classe, que vai de 5,5 a 6,0. Portanto, já sabemos que a 
mediana tem que valer entre 5,5 e 6,0. Para encontrar um valor único, vamos fazer o seguinte 
raciocínio: Dentro do intervalo que vai de 5,5 a 6,0 temos 15 dados (veja na tabela). Não 
sabemos os valores exatos desses dados, mas vamos supor que eles varrem o intervalo de 5,5 
a 6,0 de maneira uniforme. Como este intervalo tem 6,0 - 5,5 = 0,5 unidades, para distribuir 
15 dados uniformemente por ele temos que por um dado a cada 0,5/15 unidades. O primeiro 
dado do intervalo é o 25o do total de 50 e será colocado em 5,5 + 1.(0,5/15). O segundo dado 
do intervalo é o 26o e será colocado em 5,5 + 2.(0,5/15). Os demais dados são posicionados 
de maneira equivalente até o 15o, que ficará em 5,5 + 15.(0,5/15) = 6,0. 
 
Como o dado correspondente à mediana é o 25,5, ou seja é o de ordem 1,5 dentro da série 
dos 15 dados a serem postos dentro do intervalo, o seu posicionamento será: 5,5 + 
1,5.(0,5/15) = 5,5 + 0,05 = 5,55. 
De maneira genérica, podemos estimar a mediana de uma distribuição de dados agrupados a 
partir da fórmula: 
( )
m
aii f
hfPL .Md −+= , 
onde Li é o limite inferior da classe onde está a mediana, P é a posição da mediana no 
conjunto total dos dados (chamado de posto da mediana), fai é a freqüência acumulada até a 
classe anterior à classe onde está a mediana, h é a largura do intervalo de classe e fm é a 
freqüência da classe onde está a mediana. 
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Usando esta fórmula para calcular a mediana para o exemplo dado, temos: 
( ) ℓ 5,550,055,5
15
0,51,5.5,5
15
0,5.2425,55,5Md =+=+=−+= 
Para se calcular a moda, basta obter o ponto central do intervalo de maior freqüência. No 
caso do exemplo, o intervalo de maior freqüência é o quarto, que vai de 5,5 a 6,0. Seu ponto 
central é 5,75 ℓ . 
 
Também se pode falar de intervalo ou classe modal. Neste caso, a classe modal seria a classe 
de maior freqüência: 5,5 ├ 6,0 ℓ . 
 
Exemplo: Calcular a média, a mediana e a moda para a seguinte distribuição de freqüências. 
 
Medidas das larguras dos pulsos dos braços esquerdos de 45 alunos de ambos os sexos da 
turma de Estatística I (Biologia) do prof. Roque (2 o semestre de 1996). 
 
Largura do Pulso (cm) Freqüência Freqüência 
Acumulada 
4,8 ├ 5,1 8 8 
5,1 ├ 5,4 16 24 
5,4 ├ 5,7 3 27 
5,7 ├ 6,0 5 32 
6,0 ├ 6,3 9 41 
6,3 ├ 6,6 4 45 
Total 45 
 
Média: 
cm 57,5
45
65,250
4953168
445,6915,6585,5355,51625,5895,4
6
1
6
1
==
=
+++++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
==
∑
∑
=
=
i
i
i
ii
f
fPM
x
 
 
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Mediana: A mediana é o 23 o dado, que cai na 2a classe, que vai de 5,1 a 5,4. Esta classe tem 
16 elementos e a mediana é o 15 o deles. Portanto: 
( )
cm 38,5
28,01,5
16
3,0.151,5
16
3,0).823(1,5Md
=
=+=+=−+=−+=
m
aii f
hfPL
 
Moda: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência. Portanto: Moda = 5,25 cm. A 
classe modal é a classe de maior freqüência. Logo: Classe modal = (5,1 a 5,4) cm.