Otimização de embalagem retangular

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Aula 53
Módulo 6.3 – Otimizando áreas e volumes by A.A.
Pesquisa Operacional II
1
x
y
z
Problema 3: Uma empresa pretende 
lançar um creme com uma nova 
embalagem retangular no 
mercado. Esta embalagem 
deve conter 1 litro de 
produto e, por questões de 
Marketing, deve ter altura 
Z = 10 cm. 
Encontrar as dimensões 
da embalagem tal que o 
material gasto para a 
embalagem (área) é 
mínimo.
Embalagens econômicas 
2yz
2xz
2xy
x
y
z
Problema 3: Uma empresa pretende 
lançar um creme com uma nova 
embalagem retangular no 
mercado. Esta embalagem 
deve conter 1 litro de 
produto e, por questões de 
Marketing, deve ter altura 
Z = 10 cm. 
Encontrar as dimensões 
da embalagem tal que o 
material gasto para a 
embalagem (área) é 
mínimo.
Embalagens econômicas 
xyz
z
xy
A área total A é dada por:
A = 2xy + 2yz + 2xz (1)
O volume V é dado por:
V = xyz (2)
Dados z e V, colocar y função de x:
xy = V/z  y = (V/z)*(1/x) (3)
Embalagens econômicas 
A = 2V/z + 2V*(1/x) + 2z*x (4)
Para encontrar o valor de x tal A é mínima, usa-se:
A’ = 0  -2V/x2 + 2z = 0  
x2 = V/z  x = (V/z)1/2 
Usando x em (3): 
y = (V/z)*(1/x) = (V/z)*(z/V)1/2 
 = (V/z)1/2
Se V = 1000 cm3 e z = 10 cm: 
x2 = 100  
x = y = 10
Aplicando (3) e os valores de z e V em (1):
A = 2*x*(1/x)*(V/z)
 + 2*(V/z)*(1/x)*z 
 + 2*x*z
Embalagens econômicas 
Para provar que este ponto crítico é de mínimo, usa-se: A’’ = 0
Lembrando que: A’ = -2V/x2 + 2z
A’’ = d(-2V/x2 + 2z)/dx = -2V*(-2)/x3 = 4V/x3 
Para x = 10 e V = 1000: A’’ = 4000/(10)3 = 4 > 0 
Logo, x = y = z = 10 é ponto de mínimo. 
Total de material a ser gasto com as dimensões encontradas 
x = 10 cm, y = 10 cm e z = 10 cm usando a Eq. (1):
A = 2xy + 2yz + 2xz = 
 2*10*10 + 2*10*10 + 2*10*10 = 
 200 + 200 + 200 = 
 600 cm2
Embalagens econômicas 
x
y
z
	Parâmetro	Equação
	Volume (V)	Dado
	X	(V/z)1/2
	Y	(V/z)1/2
	Z	Dada
	Material (A)	2xy + 2yz + 2xz
Para V = 1000 cm3:
		Z = 7	Z = 8	Z = 9	Z = 10	Z = 11	Z = 12	Z = 13	Z = 14	Z = 15
	Material (A – m2)	620	607	601	600	601	604	609	616	623
X = 10
Y = 10
2V/z + 4z(V/z)1/2 = 
2V/z + 4(Vz)1/2
Embalagens econômicas 
(V/z)1/2
2V/z + 4(Vz)1/2
2xy + 2yz + 2xz
Embalagens econômicas 
	z	Área
	1	2126
	2	1179
	3	886
	4	753
	5	683
	6	643
	7	620
	8	608
	9	602
	10	600
	11	601
	12	605
	13	610
	14	616
	15	623
	16	631
	17	639
	18	648
	19	657
	20	666
A = 2V/z + 2V*(1/x) + 2z*x
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