apostila de análise combinatória

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
A Análise Combinatória é uma parte da Matemática que estuda e desenvolve 
métodos para a resolução de problemas que envolvem contagem. 
A origem dos problemas de contagem está ligada a jogos de loterias, ainda no 
século XVII. As primeiras publicações a respeito pareceram com Blaise 
Pascal e Pierre de Fermat. Alem desses ilustres personagem, muitos outros 
posteriormente desenvolveram estudos, com destaque para os suíços Jaques 
Bernoulli e Leonhard Euler e para o alemão Gottfried W. Leibniz. Esta nossa 
primeira aula não consiste, em dar absolutamente uma maneira formal para a 
resolução de problemas de contagem por meio de fórmulas, mas sim algumas 
técnicas de contagem de todos os casos possíveis de um acontecimento, como 
a árvore das possibilidades e o princípio fundamental da contagem. Vejamos 
alguns problemas. 
 
 Ex: 1) Para a eleição da associação de Pais e Mestres da Escola, há três 
candidatos a presidente e dois a vice-presidente . 
 
 (D) Dárcio
(B) Beatriz
 presidente- vicea Candidatos 
(C) Carmem
(F) Fábio
 (A) Arnaldo
 presidente a Candidatos








Quais e quantos são os possíveis resultados dessa eleição ? 
 
Vamos fazer um esquema de resolução para representar os possíveis 
resultados, ao qual daremos o nome de árvore das possibilidades. 
 
Ex: 2) Uma moeda tem duas faces: cara(K) e coroa(C). Lança-se a moeda três 
vezes consecutivas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quais e 
quantos são os resultado possíveis ? 
 
Construindo a árvore das possibilidades , temos: 
 
 
São possíveis 8 resultados. 
 
Ex: 3) Quais e quantos são os números de três algarismos distintos que 
podemos formar usando os algarismos 2, 5 e 7 ? 
 
Construindo a árvores das possibilidades, temos: 
 
 
 
São 6 os possíveis resultados. 
 
Ex: 4) Fabíola, Gerson, Hélio, Ivelise e Jacira disputam 2 vagas no conselho 
da escola. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com os 5 
alunos. 
Construindo a árvore das possibilidades, temos: 
 
São 10 comissões de dois alunos, pois as comissões FG = GF, FH = HF, 
HG = GH, FI = IF, GI =IG, IH = HI, FJ = JF, GJ = JG, HJ = JH e IJ = JI 
 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 
 
Vamos aprender agora a determinar o número de possibilidades de ocorrência 
de evento , sem a necessidade de descrever todas as possibilidades. 
Considere a seguinte situação: 
André tem 2 Bermudas ( preta e cinza) e 4 camisetas (branca, verde, amarela e 
roxa). 
De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma bermuda e 
uma camiseta ? 
 
 Construindo a árvore das possibilidades, temos: 
 
 
 
Observe que : 
 
ACONTECIMENTO DESCRIÇÃO DAS 
POSSIBILIDADES 
NÚMERO DE 
POSSIBILIDADES 
Escolha da bermuda P, C 2 
Escolha da camiseta B, V, A , R 4 
 
Há duas possibilidades de escolher uma bermuda. Para cada uma delas, quatro 
possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número total de maneiras 
diferentes de André se vestir é 2 . 4 = 8. 
Como o número de resultados foi obtido por meio de multiplicação, dizemos 
que foi aplicado o princípio multiplicativo. Vamos enunciá-lo: 
Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independente, de 
tal modo que: 
p1 é o número de possibilidade da 1ª etapa, p2 o número de possibilidades da 
segunda etapa, ...., pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa, então: 
 
p1.p2....pk é o número de possibilidades total de um acontecimento 
ocorrer. 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
Ex: 1) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de 
carne, 5 variedades de bebida e 3 de sobremesa diferentes. Uma pessoa deseja 
comer uma salada, uma carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas 
maneiras distintas ela pode fazer o pedido ? 
 
Acontecimentos Descrição das 
possibilidades 
Número das 
possibilidades 
Escolha de uma salada S1, S2 2 
Escolha de um prato de carne C1, C2, C3, C4 4 
Escolha de uma bebida B1, B2, B3, B4, B5 5 
Escolha de uma sobremesa So1, So2, So3 3 
 
Usando o princípio multiplicativo, o número de maneiras de o pedido ser feito 
é igual a: 
2. 4. 5. 3 = 120 maneiras 
 
Ex: 2) Os números de telefones de uma cidade têm 8 algarismos. Determine a 
quantidade de telefones a serem instalados, sabendo que os números não 
devem começar com zeros. 
 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
 
Usando o princípio multiplicativo, o número máximo de telefones é: 
 
9. 10.10.10.10.10.10.10 = 90 000 000 
 
Vamos estudar agora problemas de contagem relacionados a algumas formas 
de organizar ou agrupar elementos de um conjunto. 
 
Arranjo Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de 
outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. 
Fórmula do arranjo simples: )!(
!
, pn
nA pn
−
= 
Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam uma corrida. 
Supondo que todas terminem a prova, quantas são as possibilidades de 
chegada para os três primeiros lugares ? 
9 10 10 10 10 10 10 10 
Resolução: n = 4 e p = 3 24
!1
!4
)!34(
!4
)!(
!
,
==
−
=
−
=
pn
nA pn 
Existem 24 possibilidades diferentes de chegada para os três primeiros 
lugares. 
 
Combinação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente 
de outro apenas pela natureza dos seus elementos componentes. 
Fórmula da Combinação Simples: )!(!
!
; pnp
nC pn
−
= 
 
Ex: Quatro pessoas ( Arnaldo, Bento, Carlos, Daniel) disputam 3 vagas no 
conselho da escola. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com 
os 4 alunos ? 
Resolução: n= 4 e p = 3 4
!1!.3
!4
)!34(!3
!4
)!(!
!
; ==
−
=
−
=
pnp
nC pn 
Podemos formar 4 comissões. 
 
Permutação Simples: É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente 
de outro apenas pela ordem de seus elementos. 
Fórmula da permutação simples: Pn = n! 
 
Ex: Determine quantos são os anagramas da palavra ROMA ? 
 
Resolução: Pn = n! = 4! = 24 
 
Portanto existem 24 anagramas. 
 
Permutação com elementos repetidos: Se tivermos n elementos dos quais, α 
são iguais A, β são iguais B ,δ são iguais a C e etc.... 
O número de permutações distintas dos n elementos será: 
!.... !. !.
n!
 
..., , 
δβα
δβα
=nP 
Ex: Quantos anagramas tem a palavra ARITMÉTICA ? 
 
Resolução: n = 10, a letra A, repete 2 vezes (α = 2), a letra I repete 2 vezes 
 (β = 2) e a letra T repete 2 vezes ( δ = 2 ), portanto: 
 
 453600
2! 2!. 2!.
!10
 2 2, 2,
10 ==P anagramas 
 
 
 
 
 
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI 
 
 
UNITAU 
 
 
 
APOSTILA 
 
 
 
NOÇÕES DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
 
 
PROF. CARLINHOS