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Solução da Primeira Lista de Exercícios de Eletromagnetismo 1 2_2020 
1) Determine as seguintes dimensões físicas em comprimentos de onda, isto é, suas dimensões elétricas: 
a) Uma antena monopolo de transmissão AM de 180 ft (altura) transmitindo em 1 MHz. (assuma neste item 
uma velocidade de propagação de 3,0x10
8
 m/s). 
 b) Uma trilha de 3 in (polegadas) em uma placa de circuito impresso (assuma neste item uma velocidade de 
propagação de 1,5x10
8
 m/s e frequência de 3 GHz), sendo1 polegada = 2,54 centímetros. 1pé =12 polegadas. 
 
1) 
a) 180x12x2,54=5.486,4 cm=54,86m λ=300m em 1 MHz logo d=54,86/300 
d=0,1829 λ 
b) 3x2,54=7,62 cm λ=1,5x10
8
/3x10
9
 =0,05 m=5cm d=7,62/5=1,524 λ 
 
 
2) Dado o vetor , o vetor e o vetor determine: 
a) 
b) 
c) Sendo os vetores posicionados em um ponto comum e ambos com relação ao mesmo sistemas de 
coordenadas, determine o ângulo entre os vetores. 
Obs. Atenção com as definições de produto escalar e produto vetorial (x). 
 
2) 
a) Impossível produto vetorial com escalar (não definido). 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
3) Uma película plana carregada com densidade de s = 4 C/m
2
 está localizada em z = -0,5 m. O eixo y 
contém uma distribuição uniforme l = -6 C/m. Calcule o fluxo elétrico na superfície superior de um cubo 
de 2 m de aresta, centrado na origem, como indica a figura abaixo. 
 
 
3) A solução pode ser obtida da lei de Gauss, devido a simetria. Para o plano o fluxo total é 16µC, sendo 
totalmente o campo dirigido para z e –z apenas, devido a distribuição infinita de cargas. Assim, na superfície 
superior temos 8µC. Para a linha temos um fluxo total de -12 µC, porém simetricamente dirigido na direção 
radial (coordenadas cilíndricas). Logo, pela simetria, na superfície superior temos -3µ. Logo temos um total 
de 5µC na superfície superior do cubo. 
4) A distribuição de potencial 
22
10
yx
V

 corresponde a um campo bidimensional não uniforme, sendo V 
dado em volts e x e y em decímetros. Sabendo-se que o campo elétrico é na direção oposta ao gradiente do 
potencial, determine o vetor campo elétrico em volts por metro no ponto (2,1) cm ( x=2 cm, y=1 cm). 
 
4) )ˆˆ(
)(
20
ˆˆ
222
yyxx
yx
y
y
V
x
x
V
Vgrad 







 (note que x e y em dm e não em m , logo no ponto (2,1) 
cm, resultando (0,2;0,1) dm o campo elétrico fica ( 
. 
 
 
 
 
5) As superfícies esféricas r = 2, 4 e 6 m possuem densidades superficiais de cargas iguais a 100 µC/m
2
, 
-30 µC/m
2
 e 6 µC/m
2
, respectivamente. Determine o módulo de , isto é, o módulo da densidade de fluxo 
elétrico para r = 5 m. 
 
5) Da lei de Gauss, para r = 5 m, temos envolvidas as superfícies r=2 m e r=4 m. Para r = 2, sendo a quantidade de cargas (100 
µC/m
2
) e e para r = 4m -6,032 mC 
 Totalizando Qt=-1 mC. 
 
 
 
 
 
Se +30µC para r=4 m, resulta 
 
Q=11 mC 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine a carga contida na distribuição 
volumétrica de cargas, dada em coordenadas 
esféricas por: C/m3 em um volume 
definido por: 
2/0,2/0,3r0  . 
 
 
6) Sendo drddsenrdv 2 , o diferencial de volume em coordenadas esféricas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) A porção de um potencial 
bidimensional é mostrado na 
figura ao lado. A rede de 
linhas está espaçada de 1 
milímetro. Determine E em 
coordenadas cartesianas no 
ponto X. 
 
 
A solução é executada de forma aproximada usando 
Franklin_2
Typewriter
Franklin_2
Typewriter
x
Franklin_2
Typewriter
Franklin_2
Typewriter
 
 
 
 
 
 
 1000 V/m 
Valores aproximados. 
 
8) A figura (a) ilustra linhas de transmissão formadas por fitas condutoras sobre um plano de terra condutor. 
Se a largura de cada fita for de 0,4 cm e a separação entre as fitas e o plano de terra for de 2 mm, determine 
a permissividade elétrica em F/m para que a capacitância de 10 cm de cada fita com relação ao plano de 
terra seja de 4 nF. Considere o campo elétrico confinado como ilustra a figura (b), onde a capacitância fica 
diretamente proporcional a área das placas e a permissividade elétrica entre elas, porém inversamente 
proporcional a separação entre as placas. 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
8) 
 
 
9) Um capacitor no estágio de amplificação final de um rádio transmissor consiste de 8 placas quadradas de 
alumínio (conectadas eletricamente) de 2 mm de espessura e 200 mm de lado como um dos eletrodos. O 
outro eletrodo consiste de 7 placas de mesmas dimensões intercaladas entre as 8 placas tal que existe um 
espaçamento de 8 mm entre as placas. Desconsiderando campos de borda e sabendo que 
m
F


36
10 9
0

 , 
encontrar: a capacitância; a tensão de ruptura, se o campo elétrico máximo é igual a 310
6
 V/m. 
 
 
9) As 15 placas formam 14 capacitores de placas planas em paralelo. Para cada capacitor, a capacitância é: 
F
d
A
C 11
3
239
0 10425,4
108
)10200(
36
10 








 
Como existem 14 capacitores em paralelo, a capacitância equivalente é: 
FCeq
1011 102,610425,414   
b) A tensão entre as placas é: V = Ed, logo kVV 24108103 36   
 
 
 
 
10) Próximo a um receptor, no ar, se uma estação FM emite um sinal tendo: 
 
 
 
 . 
Na forma fasorial o campo do item a fica para x = 0: 
 . Considerando um outro campo, 
na mesma frequência e localização, 
 , determine na forma polar (módulo e fase) os 
fasores resultantes: 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
10) 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
11) Uma corrente de 0,33 A está fluindo na direção (paralelo ao eixo z) em um filamento situado no 
vácuo, e que passa pelo ponto (3, -4, 0). Encontre , em coordenadas retangulares, no ponto (0,1,0) se o 
filamento se estende no intervalo -5<z<5. Note que para um segmento de corrente no eixo z, tem-se: 
 
 
E a relação entre vetores unitários: 
 
 
 
 
11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. O ângulo ϕ a partir de x 
 
 
12) Qual a tensão entre os pontos a e b do circuito a seguir:.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O circuito da segunda malha está em aberto não circulando corrente. Porém circula corrente na primeira malha, mas não afeta o 
cálculo da fem ( a qual está em todo o percurso) 
Note que o sinal negativo não usado na primeira expressão cálculo V1 pelo fato que a fonte foi polarizada de forma a fornecer 
corrente que contraria o campo. 
 
 
13) Uma onda de 1,5 GHz, senoidal, distante da fonte radiante, no vácuo, podendo ser considerada uma 
onda plana uniforme, apresenta uma campo elétrico E=21,7 V/m (valor de pico). Determine o valor eficaz 
(rms) da densidade de corrente de deslocamento. 
 
13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Uma onda plana uniforme tem como componente de campo elétrico apenasEx, a qual pode ser descrita 
como ztEE
x
  cos(
0
) V/m, e está ilustrada a seguir com relação ao espaço e ao tempo. Determine 
a impedância intrínseca do meio (onde a onda se propaga). 
 . 
14) 
 . 
Podemos inicialmente determinar dos gráficos que T=2000x10
-9
 s logo f=1/T=500 kHz. Também dos 
gráficos, =100m e v/f= logo v = 0,5x10
8
 m/s. Supondo meio não magnético, e sendo 
r
v

81031 .
 
tem-se que a constante dielétrica é 
 
 
 
 
 
 Logo, a impedância intrínseca do meio fica