Distâncias notáveis (Entre Retas, Planos e Pontos), Cônicas (Elipse, Hipérbole, e Parábola) e Mudança de Coordenada (completo)

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Planos 
 Todo plano tem como característica chave, um vetor ortogonal ao mesmo. Portanto, tomando este vetor �⃗� =
(𝑎, 𝑏, 𝑐) normal ao plano α, que passa pelo ponto 𝑃 = (𝑎0, 𝑏0, 𝑐0) pertencente ao plano 𝛼, para saber se um ponto 
qualquer 𝑄 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) pertence a este plano, é necessário que o produto interno entre o vetor �⃗� e o vetor formado 
pela união 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥 − 𝑎0, 𝑦 − 𝑏0, 𝑧 − 𝑐0) seja nulo. Assim: 〈�⃗� , 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗〉 = 𝑎(𝑥 − 𝑎0) + 𝑏(𝑦 − 𝑏0) + 𝑐(𝑧 − 𝑐0) = 0. 
Chegando assim à equação geral do plano: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑 = 𝑎𝑎0 + 𝑏𝑏0 + 𝑐𝑐0. Variando o 𝑑 obtemos a 
família de planos paralelos e com mesmo vetor normal. 
 Dica: Os coeficientes do vetor normal, é respectivamente os coeficientes de 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 da equação do plano. 
Outra forma de descrever o plano que passa por 𝑃 = (𝑎0, 𝑏0, 𝑐0) e tem como vetor normal �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐), é o 
conjunto de pontos 𝑋 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∶ 〈𝑋, �⃗� 〉 = 〈�⃗� , 𝑃〉, identicamente à 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑎𝑎0 + 𝑏𝑏0 + 𝑐𝑐0. 
Ou ainda podemos definir um único plano que contém três pontos não-colineares 𝑃1 = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1), 𝑃2 =
(𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) e 𝑃3 = (𝑎3, 𝑏3, 𝑐3), dos quais podemos encontrar pelo menos dois vetores de diferentes direções, e por 
fim encontrar um vetor normal ao plano ao realizar o produto vetorial entres tais vetores. 
Uma forma análoga de definir uma equação de plano é através de um ponto 𝐴 e dois vetores �⃗� e 𝑣 LI 
(linearmente independentes, ou seja, um não é múltiplo escalar do outro) pertencentes ao plano (e que 
geram o mesmo), e então, um ponto qualquer (𝑥, 𝑦, 𝑧) de tal forma que 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗, �⃗� e 𝑣 sejam LD, ou seja, sejam 
paralelos a um mesmo plano, de forma que o det [
𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗
�⃗� 
𝑣 
] = 0, chegando assim na equação geral do plano. 
Eq. Vetorial do plano 𝑋 = 𝐴 + 𝜆�⃗� + 𝜇𝑣 
 Obs.: Dizemos que dois planos são paralelos (distintos ou coincidentes) quando os vetores normais aos 
mesmos são LD, caso contrário, são planos concorrentes, onde a intersecção entre eles é uma reta, cujo vetor diretor 
é dado pelo produto vetorial dos vetores normais dos dois planos, uma vez que ele é binormal. 
Retas 
Da intersecção de dois planos não-paralelos obtemos uma reta, que sabemos ter uma coordenada livre e, 
portanto, uma variável livre. Assim, podemos parametrizar uma reta 𝑟 qualquer em ℝ3 com base em um ponto 𝑃 ∈ 𝑟 
em específico, e um vetor 𝑣 (direção) que passa exatamente por esse ponto, da seguinte forma: 𝑟(𝑡) = 𝑃 + 𝑡𝑣 . Essa 
equação é encontrada após resolução do sistema de equações lineares com um parâmetro livre, e adequando a tal 
forma, que pode ser ainda desenvolvida para: {
𝑥 = 𝑃1 + 𝑡𝑣1
𝑦 = 𝑃2 + 𝑡𝑣2
𝑧 = 𝑃3 + 𝑡𝑣3
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) 𝑒 𝑃 = (𝑃1, 𝑃2, 𝑃3). Isolando o 
parâmetro 𝑡 e agrupando, temos a forma simétrica da reta: 
𝑥−𝑃1
𝑣1
=
𝑦−𝑃2
𝑣2
=
𝑧−𝑃3
𝑣3
 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑣1 ≠ 0, 𝑣2 ≠ 0, 𝑣3 ≠ 0 
Para detectarmos se duas retas 𝑟: 𝐴 + 𝜆 ∙ �⃗� 𝑒 𝑠: 𝐵 + 𝛾 ∙ 𝑣 são reversas, podemos calcular o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 
verificar através do determinante da matriz [
�⃗� 
𝑣 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
] se tais vetores são 𝐿. 𝐼. Caso elas não sejam L.I., ou seja, o 
determinante dessa matriz seja nulo, significa que as retas 𝑟 𝑒 𝑠 são coplanares. Então, analisamos o par �⃗� 𝑒 𝑣 , caso 
sejam L.D, tais retas são paralelas, cc., concorrentes. 
Ângulos 
Obs.: Apesar de não ser possível medir o ângulo entre duas retas reversas diretamente, o ângulo entre as retas 
é dado a partir de uma reta auxiliar �̂� que é paralela a uma, e concorrente à outra. E então encontramos o valor do 
ângulo com auxílio da equação do produto interno |cos 𝜃| =
|〈𝑟 ∙𝑠 〉|
‖𝑟 ‖∙‖𝑠 ‖
, onde 𝑟 𝑒 𝑠 são os vetores diretores das retas 
𝛼(𝑡) = 𝑃1 + 𝑡𝑟 𝑒 𝛽(𝑞) = 𝑃2 + 𝑞𝑠 . 
Duas retas podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. Já dois planos, ou são paralelos, ou se interceptam 
numa reta. De forma similar, se calcula o ângulo entre dois planos, usando como vetores os vetores normais a cada 
plano. 
Distâncias notáveis 
a) Entre um plano 𝜋 ∶ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 e um ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0). Como queremos sempre a 
menor distância, estamos nos referindo a linha imaginária que une o ponto ao plano, e forma 90° com 
este, correspondendo então, à um múltiplo escalar do vetor normal, e que intercepta o plano no ponto 
𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1). Temos então a reta 𝑟 formada pelo ponto fora do plano, e o ponto no plano. 
𝑟(𝑡) = 𝑃0 + 𝑡�⃗� , e como 𝑃1 pertence a reta, temos: {
𝑥1 = 𝑥0 + 𝑡𝑎
𝑦1 = 𝑦0 + 𝑡𝑏
𝑧1 = 𝑧0 + 𝑡𝑐
. No entanto, o ponto 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 
também satisfaz a equação do plano, então obtemos: 𝑎(𝑥0 + 𝑡𝑎) + 𝑏(𝑦0 + 𝑡𝑏) + 𝑐(𝑧0 + 𝑡𝑐) =
𝑑 . : 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑡(𝑎
2 + 𝑏2 + 𝑐2) + 𝑑 = 0. Logo, chegamos à equação na forma: 
𝑡 =
−(𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑)
(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2)
 𝑜𝑛𝑑𝑒 (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) ≠ 0 
 
Para encontrarmos então a distância entre o ponto 𝑃0 e o plano 𝜋, fazemos a distância entre 𝑃0 e 𝑃1, 
dada por: √((𝑥0 + 𝑡𝑎) − 𝑥𝑜)
2 + ((𝑦0 + 𝑡𝑏) − 𝑦𝑜)
2 + ((𝑧0 + 𝑡𝑐) − 𝑧𝑜)
2 = √(𝑡𝑎)2 + (𝑡𝑏)2 + (𝑡𝑐)2 =
√𝑡2(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) = |𝑡|√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2. Substituindo 𝑡, chegamos à equação final: 
 
 𝑑(𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 − 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜) =
|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|
(𝑎2+𝑏2+𝑐2)
∙ √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 =
|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|
√𝑎2+𝑏2+𝑐2
=
(|〈�⃗� ,𝑃0〉+𝑑|)
‖�⃗� ‖
 
 
Usando o cálculo de projeção, podemos escolher um ponto 𝐴 qualquer que satisfaz a equação do 
plano, montar o vetor 𝐴𝑃0⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e projetá-lo na direção de �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐). O valor dessa distância é 
justamente o módulo desse vetor projeção. Assim 𝑑 = ‖𝑝𝑟𝑜𝑗𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
�⃗� 
‖ = ‖
〈𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗,�⃗� 〉
‖�⃗� ‖2
∙ �⃗� ‖ =
|〈𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗,�⃗� 〉|
‖�⃗� ‖
= 
|𝑎(𝑥0 − 𝑥) + 𝑏(𝑦0 − 𝑦) + 𝑐(𝑧0 − 𝑧)|
‖�⃗� ‖
=
|(𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0) − (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧)|
‖�⃗� ‖
=
|(𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0) − (−𝑑)|
‖�⃗� ‖
 
 
b) Entre um ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e uma reta 𝑟 : {
𝑥2 = 𝑥1 + 𝑡𝑎
𝑦2 = 𝑦1 + 𝑡𝑏
𝑧2 = 𝑧1 + 𝑡𝑐
 onde o vetor diretor da reta é 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). 
Como queremos a menor distância, queremos a norma de um vetor que é ortogonal ao vetor diretor 𝑣 , e, 
portanto, o produto interno entre eles é nulo, 〈𝑃2𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝑣 〉 = 0, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃2 é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 
𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 à 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 , 𝑒 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑃2𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ é 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 á 𝑣 . Assim, encontramos 
o parâmetro 𝑡, e consequentemente o ponto 𝑃2, logo, estamos aptos a encontrar a norma de 𝑃2𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 
 
Ou podemos projetar o vetor 𝑋1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑋1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) é o ponto característico da reta. Então, o 
ponto de menor distância do ponto 𝑃0 á reta, será representado por 𝑋1 + 𝑝𝑟𝑜𝑗 �⃗� 
𝑋1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 
Outra maneira possível é baseada no cálculo do produto vetorial, que nos dá a área do paralelogramo. 
Tendo o ponto 𝑃1 da equação da reta, e o ponto 𝑃0 fora desta, podemos formar um triângulo retângulo 
Δ𝑃1𝑃0𝐵 onde 𝐵 é um ponto genérico pertencente a reta, e �̂� é um ponto de tal forma que a área 
Δ𝑃1𝑃0𝐵 =
1
2
(‖�⃗� × 𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖), onde �⃗� é o vetor diretor da reta . Mas também sabemos que a área de um 
triângulo é 
1
2
(𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎). Logo temos que 
1
2
(‖�⃗� × 𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖) =
1
2
(‖�⃗� ‖ ∙ ℎ), 
𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 ℎ =
‖�⃗⃗� ×𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖
‖�⃗⃗� ‖
. 
c) Entre uma reta 𝑟 : 𝐴 + 𝜆�⃗� e uma reta 𝑠 : 𝐵 + 𝜆�⃗� reversas. A distância é dada geometricamente a 
partir da razão do volume formado pelos vetores �⃗� , �⃗� 𝑒 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, e sua base. Assim 𝑑 =
|�⃗� ×�⃗� ∙𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗|
‖�⃗� ×�⃗� ‖
 
Cônicas 
 A classificação como cônica para hipérboles, elipses e parábolas advém de que é possível obtê-las a partir de 
dois cones unidos pelosvértices. No espaço, as equações que descrevem tais curvas são da forma 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 +
𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2 ≠ 0. 
a) Elipse: Uma elipse é o conjunto de pontos 𝑃 = (𝑥, 𝑦), de modo que a soma das distâncias de 𝑃 até dois pontos 
fixados 𝑓1, 𝑓2 (focos) é constante. 
 
|𝑓1𝑓2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 2𝑐 ⇒ |𝑓1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | + |𝑓2𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = 2𝑎 . : 𝑐𝑜𝑚 𝑎 > 𝑐. 
 
A equação de uma elipse na forma característica (focos simétricos e sobre o eixo 𝑥) é dada resolvendo 
a equação das distâncias acima, para focos 𝑓1 = (−𝑐, 0) 𝑒 𝑓2 = (𝑐, 0) é 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. 
Prova: |𝑓1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | + |𝑓2𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = 2𝑎 . : √(𝑥 + 𝑐)
2 + 𝑦2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎. 
 
Usando artifícios matemáticos para eliminarmos as raízes, elevamos duas vezes ambos os membros 
da equação ao quadrado, e obtemos 
 
(𝑎2 − 𝑐2)𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2), 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑎2 − 𝑐2
= 1, 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎2 − 𝑐2 = 𝑏2, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
b) Hipérbole: Uma hipérbole é o conjunto dos pontos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) tais que o módulo da diferença entre as 
distâncias de 𝑃 a dois pontos fixados 𝑓1, 𝑓2 (focos) é constante. 
||𝑓1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | − |𝑓2𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ || = 2𝑎. 
A equação de uma hipérbole na forma característica (focos simétricos e sobre o eixo 𝑥) é dada 
resolvendo a equação das distâncias acima, para focos 𝑓1 = (−𝑐, 0) 𝑒 𝑓2 = (𝑐, 0) é 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐2 =
𝑎2 + 𝑏2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Parábola: Uma parábola é o conjunto dos pontos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) cuja distância até uma reta 𝑟 (diretriz) é igual a 
distância até um ponto dado 𝑓(foco), em que 𝑓 ∉ 𝑟 . Como as distâncias entre a curva e o foco, e a reta e o 
foco devem ser iguais, nossos cálculos ficam reduzidos ao máximo se 𝑓 = (0, 𝑃) 𝑒 𝑟 : 𝑦 = −𝑃, ou seja, o foco 
está sob o eixo 𝑦. Assim: √𝑥2 + (𝑦 − 𝑃)2 = 𝑦 + 𝑃, onde 𝑃 > 0. Obtemos assim: 𝑥2 = 4𝑃𝑦 
a -a 
b 
-b 
-c c 
𝑦 = −𝑏𝑥/𝑎 𝑦 = 𝑏𝑥/𝑎 
c -c a a 
Obs.: uma hipérbole não é a junção de duas parábolas, o 
gráfico da hipérbole sempre se aproxima da assíntota 
Mudança de coordenadas 
 As fórmulas adotadas acima satisfazem apenas a parcela das cônicas centradas na origem (centro é o ponto 
médio entre os focos, ou o ponto médio entre o foco e a reta diretriz), cuja função se resume 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 +
𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 desta forma, para analisarmos as cônicas centradas num ponto qualquer 𝑃 = (𝑘, 𝑙), orientamos um 
novo sistema de coordenadas 𝑥’𝑦’ centrado nesse mesmo ponto 𝑃, de tal forma que a correspondência entre os 
pontos nesses sistemas seja: {
𝑥 = 𝑥′ + 𝑘
𝑦 = 𝑦′ + 𝑙
, assim, ainda podemos encontrar a equação da cônica no sistema 𝑥’𝑦’ e 
então, por meio dessa correspondência, encontrar o equivalente em 𝑥𝑦. Caso já tenhamos a equação em 𝑥𝑦 utilizamos 
o método dos mínimos quadrados (completar quadrados) a fim de obter a equação na forma característica. Isso é 
suficiente para satisfazer as equações no formato 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0. As parcelas com 𝑥 e 𝑦 
isoladamente correspondem a translação do gráfico da cônica. 
Para satisfazer a necessidade de descrever cônicas não só transladadas, mas também rotacionadas (formato 
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, completo) devemos conhecer um método de rotacionar um ponto 𝑃 = (𝑎, 𝑏) 
até o correspondente em θ radianos, de acordo com a matriz de rotação 𝑅𝜃 = [
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] , obtida a partir de 
relações de semelhança entre triângulos formados na relação. Essa matriz, tem como propriedades fundamentais a 
manutenção da norma do vetor (posição do ponto), e rotação em 𝜃 radianos, como solicitado. 
Prova 1) Para um ponto 𝑃 = [
𝑎
𝑏
] qualquer, o ponto 𝑃′ obtido a partir da rotação do mesmo é: 
 [
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
] ∙ [
𝑎
𝑏
] = [
𝑎 cos 𝜃 − 𝑏 sin 𝜃
𝑎 sin 𝜃 + 𝑏 cos 𝜃
] , 𝑐𝑢𝑗𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 á √𝑎2 + 𝑏2 = ‖𝑃‖. 
Prova 2) Para encontrar o ângulo formado entre 𝑃 𝑒 𝑃’, usamos o produto escalar e sua definição, 
respectivamente, para provar que é identicamente igual a θ. 
 〈(𝑎, 𝑏), (𝑎 cos 𝜃 − 𝑏 sin 𝜃 , 𝑎 sin 𝜃 + 𝑏 cos 𝜃)〉 = ‖𝑃‖ ∙ ‖𝑃′‖ ∙ cos 𝛼 . : cos 𝛼 = cos 𝜃 . : 𝛼 = 𝜃 
Assim, para encontrarmos o ponto no novo sistema de coordenadas (𝑥′𝑦′), devemos multiplicar à esquerda as 
coordenadas do ponto 𝑃 pela matriz de rotação 𝑅𝜃, da forma: [
𝑥′
𝑦′
] = 𝑅𝜃 ∙ [
𝑥
𝑦]. Para reverter a rotação, usamos a 
inversa da matriz 𝑅𝜃, a 𝑅−𝜃, que basicamente é a matriz 𝑅𝜃 com o sinal do ângulo trocado. Logo, [
𝑥
𝑦] = 𝑅−𝜃 ∙
[
𝑥′
𝑦′
] , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅−𝜃 = [
cos 𝜃 sin𝜃
−sin 𝜃 cos 𝜃
], ou seja 𝑋 = 𝑅−𝜃 ∙ 𝑋′. 
A equação 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, também pode ser escrita na forma matricial através de 
𝑋𝑡𝐴𝑋 + 𝐾𝑋 + [𝐹] = 0, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑋 = [
𝑥
𝑦] , 𝐴 = [
𝑎
𝑏
2
 
𝑏
2
𝑐
] 𝑒 𝐾 = [𝑑 𝑒]. Como o coeficiente que multiplica o termo 𝑥𝑦, 
está localizado na diagonal secundária, caso consigamos escrever essa matriz em outro sistema de coordenadas de tal 
forma que a matriz 𝐵 seja diagonal, solucionamos o problema da identificação da cônica. Para isso, fazemos: 
𝑋𝑡𝐴𝑋 + 𝐾𝑋 + [𝐹] = 0,𝑚𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑋 = 𝑅−𝜃 ∙ 𝑋
′, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑋′
𝑡
∙ 𝑅−𝜃
𝑡 ∙ 𝐴 ∙ 𝑅−𝜃 ∙ 𝑋
′ + 𝐾𝑅−𝜃 ∙ 𝑋
′ + [𝐹] = 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜 
𝑎 𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐵 = 𝑅−𝜃
𝑡 ∙ 𝐴 ∙ 𝑅−𝜃 , 𝑎 𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐾
′ = 𝐾𝑅−𝜃, 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 
𝑋′
𝑡
∙ 𝐵 ∙ 𝑋′ + 𝐾′ ∙ 𝑋′ + [𝐹] = 0 
 Como queremos que a matriz 𝐵 seja diagonal, resolvemos 𝐵 = 𝑅−𝜃
𝑡 ∙ 𝐴 ∙ 𝑅−𝜃, e igualamos os valores na 
diagonal secundária à zero, o que vai nos dar o valor exato de 𝜃. 
Como encontrar 𝜃: 
1) Achamos as raízes 𝑎’ 𝑒 𝑐’ do polinômio característico 𝑝(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼). Essas raízes vão corresponder 
aos valores da diagonal principal. 
2) Resolvemos o sistema homogêneo (𝐴 − 𝑎’𝐼)�⃗� = 0, onde ‖�⃗� ‖ = 1. 
3) Para �⃗� = (𝑢1, 𝑢2), 𝜃 = arccos(𝑢1) 
Quádricas 
 São objetos em ℝ3 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 + 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧 + 𝑔𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑖𝑧 + 𝑗, 𝑙𝑜𝑔𝑜 
𝑄 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 |𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0} 
 Podemos identificar o objeto em questão através de projeções nos eixos 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 𝑜𝑢 𝑦𝑧, e análise minuciosa da 
equação de cada projeção, e tendo apoio de cortes em diferentes valores de 𝑧 (curvas de nível), podendo gerar objetos 
tridimensionais como elipsoides, hiperboloides, paraboloides, hiperboloide de duas folhas, cone elíptico, paraboloides 
elípticos e hiperbólicos, cilindros.