Álgebra Linear (Espaços, Subespaços Vetoriais, e Mudança de Base)

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Álgebra Linear 
A dependência linear entre vetores está diretamente associada a direção que tais vetores assumem no espaço 
ℝ3. 
1) Dois vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ são linearmente dependentes, se só se 𝑣1⃗⃗⃗⃗ // 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , logo 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝑣2⃗⃗⃗⃗ (as barras duplas 
indicam paralelismo). 
2) Três vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝑣3⃗⃗⃗⃗ são linearmente dependentes se forem paralelos a um mesmo plano, ou seja, um 
vetor pode ser escrito como composição dos outros dois. 
3) Quatro ou mais vetores são sempre linearmente dependentes em ℝ3. 
Teorema 1: Se {𝑣1⃗⃗⃗⃗ … 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ }, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ≥ 2 é linearmente dependente, então (pelo menos) um dos vetores é 
combinação linear dos demais. 
Teorema 2: {𝑣1⃗⃗⃗⃗ … 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } é L.D. se somente se existem 𝛼1, … , 𝛼𝑛, não todos nulos, tais que 
 𝛼1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + ⋯+ 𝛼𝑛𝑣 𝑛 = 0. Dessa forma, o vetor de coeficiente não nulo é uma combinação linear dos demais, 
da forma: 𝑣 𝑖 = −
1
𝛼𝑖
∙ (𝛼1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + ⋯+ 𝛼𝑛𝑣 𝑛). 
Obs.: Para denominarmos {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } L.I. a sequência lógica é a seguinte: 
 ((𝛼1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + ⋯+ 𝛼𝑛𝑣 𝑛 = 0) ⇒ 𝛼1, … , 𝛼𝑛 = 0) ⇒ 𝐿𝐼, uma vez que caso a soma seja nula, e os coeficientes 
também sejam nulos, não implicam ser L.I., pois para coeficientes nulos, a soma de vetores L.D. também é 
identicamente nula, mas se a única forma da soma ser nula é com coeficientes nulos, então o conjuntos de 
tais vetores é L.I. 
Teorema 3: Uma base de ℝ3 é qualquer sequência de três vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝑣3⃗⃗⃗⃗ L.I., uma vez que qualquer vetor 
�⃗⃗� é escrito como combinação linear dos outros três (�⃗⃗� = 𝛼1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + 𝛼3𝑣3⃗⃗⃗⃗ ) onde 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 são únicos, 
uma vez que se existissem outros coeficientes que satisfizessem, então : 
 (𝛽1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝛽2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + 𝛽3𝑣3⃗⃗⃗⃗ ) − (𝛼1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + 𝛼3𝑣3⃗⃗⃗⃗ ) = 0, logo: 
 (𝛽1 − 𝛼1)𝑣1⃗⃗⃗⃗ + (𝛽2 − 𝛼2)𝑣2⃗⃗⃗⃗ + (𝛽3 − 𝛼3)𝑣3⃗⃗⃗⃗ = 0, como são L.I. esses coeficientes são zero, logo 𝛼𝑖 = 𝛽𝑖. 
Teorema 4: Em ℝ3, numa dada base fixada, temos três vetores: 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , = (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3), 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (𝛽1, 𝛽2, 𝛽3), 𝑒 𝑣3⃗⃗⃗⃗ =
(𝛾1, 𝛾2, 𝛾3), então esses três vetores são L.I. se somente se det [
𝛼1 𝛼2 𝛼3
𝛽1 𝛽2 𝛽3
𝛾1 𝛾2 𝛾3
] ≠ 0, pois, resolvendo o sistema 
homogêneo associado: 
 {
𝑥1𝛼1 + 𝑥2𝛽1 + 𝑥3𝛾1 = 0
𝑥1𝛼2 + 𝑥2𝛽2 + 𝑥3𝛾2 = 0
𝑥1𝛼3 + 𝑥2𝛽3 + 𝑥3𝛾3 = 0
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑖 𝑠ã𝑜 𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚 𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 
Se o determinante for diferente de zero, a única solução é 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 0, logo L.I. 
Obs.: Caso o determinante seja igual a zero, significa que (pelo menos) um vetor é combinação linear dos 
demais, ou seja, essa linha da matriz pode ser anulada por operações elementares (lembre-se que operações 
elementares não alteram características da matriz, ou seja, se com operações elementares fomos capazes de 
anular uma dada linha da matriz, significa que aquela linha já continha informação repetidas, implicando em 
determinante nulo desde o princípio). 
Teorema 5: Uma base de vetores {𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗⃗ } é ortonormal se (𝑒1⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝑒2⃗⃗ ⃗), ( 𝑒1⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝑒3⃗⃗ ⃗), ( 𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ ⊥ 𝑒3⃗⃗ ⃗), e 
‖𝑒1⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝑒2⃗⃗ ⃗‖ = ‖ 𝑒3⃗⃗ ⃗‖ = 1. Em bases ortonormais, seja 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 ∙ 𝑒1⃗⃗ ⃗ + 𝛽 ∙ 𝑒2⃗⃗ ⃗ + 𝛾 ∙ 𝑒3⃗⃗ ⃗ = (𝛼, 𝛽, 𝛾), é válida a 
propriedade: ‖𝑣1⃗⃗⃗⃗ ‖ = √𝛼
2 + 𝛽2 + 𝛾2, uma vez que cada vetor tem módulo unitário, toda coordenada é 
múltipla do vetor unitário, e possui componente igual à coordenada, e tais coordenadas são ortogonais entre 
si, possibilitando a dupla aplicação do teorema de Pitágoras. 
 
Projeção 
Podemos projetar um vetor qualquer �⃗� , na direção de um versor 𝑣 (‖𝑣 ‖ = 1), a fim de obter um novo vetor 
𝑢′⃗⃗ ⃗ que satisfaz a equação 𝑢′⃗⃗ ⃗ = 𝛼 ∙ 𝑣 , uma vez que 𝑢′⃗⃗ ⃗ ∥ 𝑣 . Tal vetor 𝑢′⃗⃗ ⃗ é obtido através da trigonometria, onde 𝜃 é o 
ângulo entre tais vetores, de tal forma que ‖𝑢′⃗⃗ ⃗‖ = ‖�⃗� ‖ cos 𝜃 , 𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣 é 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 . : ‖𝑢′⃗⃗ ⃗‖ = ‖�⃗� ‖‖𝑣 ‖ cos 𝜃, 
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑢′⃗⃗ ⃗ = 〈�⃗� , 𝑣 〉 ∙ 𝑣 . 
Notação: a projeção de �⃗� na direção de 𝑣 também pode ser escrita como 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� 
�⃗⃗� . 
Note que (�⃗� − 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� 
�⃗⃗� ) ⊥ 𝑣 , uma vez que 〈�⃗� − 𝑝𝑟𝑜𝑗
�⃗� 
�⃗� , �⃗� 〉 = 0, pois desenvolvemos obtemos: 〈�⃗� , �⃗� 〉 −
〈𝑝𝑟𝑜𝑗
�⃗� 
�⃗� , �⃗� 〉 = 〈�⃗� , �⃗� 〉 − 〈
〈�⃗� ,�⃗� 〉
‖�⃗� ‖2
∙ �⃗� , �⃗� 〉 = 〈�⃗� , �⃗� 〉 − 〈�⃗� , �⃗� 〉 = 0. 
Estendendo esse recurso, para vetores 𝑣 𝑒 �⃗� quaisquer não-nulos, sempre poderemos projetar �⃗� sobre a 
direção do versor (módulo unitário) na direção de 𝑣 , ou seja 𝑣′⃗⃗⃗ =
�⃗� 
‖�⃗� ‖
. Obtemos assim que 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� ′
�⃗⃗� = 〈�⃗� , 𝑣′⃗⃗⃗ 〉 ∙ 𝑣′⃗⃗⃗ , 
botando em função do vetor original �⃗� , temos 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� 
�⃗⃗� = 〈�⃗� ,
�⃗� 
‖�⃗� ‖
〉 ∙
�⃗� 
‖�⃗� ‖
 . : 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� 
�⃗⃗� =
〈�⃗⃗� ,�⃗� 〉
‖�⃗� ‖2
∙ 𝑣 . 
Obs.: projeção, módulo e produto escalar (feito coordenada a coordenada) só pode ser feito em bases 
ortonormais, assim como o vetor normal a um plano só é dado pelos coeficientes de 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 nesse subconjunto de 
bases. 
Mudança de base em ℝ𝟑 
 Muitas vezes temos que descrever uma situação em uma determinada base, que não é a mais adequada ao 
problema, como por exemplo utilizar a base canônica (𝑖̂, 𝑗̂, �̂�) para descrever curvas no espaço. Nesses casos, utilizar 
outra base, com outros vetores LI (como vetor 𝑇 tangente a curva, o vetor 𝑁 normal a curva, e o vetor 𝐵, binormal a 
𝑇 𝑒 𝑁, dado pelo produto vetorial 𝑇 × 𝑁 – triedro de frenet), torna o problema mais simples de resolver. Para estes 
casos, devemos também ter uma fórmula para converter as coordenadas de um mesmo ponto entre duas bases 
quaisquer. 
 Seja 𝐸 uma base de ℝ3, composto pelos três vetores 𝐿𝐼 {𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗}, e 𝐵 outra base, com vetores {𝑏1⃗⃗ ⃗, 𝑏2⃗⃗⃗⃗ , 𝑏3⃗⃗⃗⃗ }, 
de tal forma que cada 𝑏𝑖⃗⃗⃗ seja escrito como uma combinação linear de {𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗, 𝑒3⃗⃗ ⃗}, na forma: 
{
 
 
 
 𝑏1
⃗⃗⃗⃗ = 𝛼1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝛽1 ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ + 𝛾1 ∙ 𝑒3⃗⃗⃗⃗ 𝑜𝑢 (𝛼1, 𝛽1, 𝛾1)𝐸
𝑏3⃗⃗⃗⃗ = 𝛼2 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝛽2 ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ + 𝛾2 ∙ 𝑒3⃗⃗⃗⃗ 𝑜𝑢 (𝛼2, 𝛽2, 𝛾2)𝐸
𝑏3⃗⃗⃗⃗ = 𝛼3 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝛽3 ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ + 𝛾3 ∙ 𝑒3⃗⃗⃗⃗ 𝑜𝑢 (𝛼3, 𝛽3, 𝛾3)𝐸
 , todo ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐵 pode ser escrito como 
𝑃 = 𝑥 ∙ 𝑏1⃗⃗⃗⃗ + 𝑦 ∙ 𝑏2⃗⃗⃗⃗ + 𝑧 ∙ 𝑏3⃗⃗⃗⃗ 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
𝑃 = 𝑥 ∙ (𝛼1 ∙ 𝑒1⃗⃗ ⃗ + 𝛽1 ∙ 𝑒2⃗⃗ ⃗ + 𝛾1 ∙ 𝑒3⃗⃗ ⃗) + 𝑦 ∙ (𝛼2 ∙ 𝑒1⃗⃗ ⃗ + 𝛽2 ∙ 𝑒2⃗⃗ ⃗ + 𝛾2 ∙ 𝑒3⃗⃗ ⃗) + 𝑧 ∙ (𝛼3 ∙ 𝑒1⃗⃗ ⃗ + 𝛽3 ∙ 𝑒2⃗⃗ ⃗ + 𝛾3 ∙ 𝑒3⃗⃗ ⃗) 
Que pode ser reagrupado em: 
𝑃 = (𝛼1 ∙ 𝑥 + 𝛼2 ∙ 𝑦 + 𝛼3 ∙ 𝑧) ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + (𝛽1 ∙ 𝑥 + 𝛽2 ∙ 𝑦 + 𝛽3 ∙ 𝑧) ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ + (𝛾1 ∙ 𝑥 + 𝛾2 ∙ 𝑦 + 𝛾3 ∙ 𝑧) ∙ 𝑒3⃗⃗⃗⃗ 
Essa fórmula tem o formato matricial, tal que: 
[
𝑎
𝑏
𝑐
]
𝐸
= [
𝛼1 𝛼2 𝛼3
𝛽
1
𝛽
2
𝛽
3
𝛾1 𝛾2 𝛾3
]
𝐵𝐸
∙ [
𝑥
𝑦
𝑧
]
𝐵
em que o ponto 𝑃 na base 𝐸 é dado pelas coordenadas (𝑎, 𝑏, 𝑐). 
Observe ainda que essa matriz mudança de base pode ser reescrita na forma: 
[
𝛼1 𝛼2 𝛼3
𝛽
1
𝛽
2
𝛽
3
𝛾1 𝛾2 𝛾3
]
𝐵𝐸
= [𝑏1⃗⃗⃗⃗ 𝑏2⃗⃗⃗⃗ 𝑏3⃗⃗⃗⃗ ]𝐵𝐸 , com seus coeficientes escritos na vertical. 
Obs.: Essa matriz mudança é sempre invertível, e sua inversa é exatamente a matriz mudança 𝐸𝐵. 
[𝑢]𝐸 = 𝑀𝐵𝐸 ∙ [𝑢]𝐵 
Orientações no Espaço 
 Fixada uma base 𝐸 em 𝑉3 {𝑒1⃗⃗⃗⃗ ,𝑒2⃗⃗⃗⃗ ,𝑒3⃗⃗⃗⃗ }, uma segunda base 𝐹 pode pertencer a dois grupos de bases A e B onde: 
a) 𝐴 ∩ 𝐵 = 0 
b) 𝐹 ∈ 𝐴 ⟹ det(𝑀𝐹𝐸) > 0 
𝐹 ∈ 𝐵 ⟹ det(𝑀𝐹𝐸) < 0 
Duas bases 𝐸, 𝐹 𝑑𝑒 𝑉3 tem mesma orientação se e somente se o determinante da matriz de mudança de base 
é positivo. 𝑀𝐹𝐸 > 0. A escolha de 𝐸define uma orientação para o espaço. (duas bases apresentam a mesma orientação 
se podemos sobrepô-las de forma que, causando pequenas alterações em seus vetores, o conjunto nunca deixa de ser 
LI). As bases 𝐹: {𝑓
1
⃗⃗ ⃗⃗ ,𝑓
2
⃗⃗ ⃗⃗ ,𝑓
3
⃗⃗ ⃗⃗ }, e 𝐸: {𝑒1⃗⃗⃗⃗ ,𝑒2⃗⃗⃗⃗ ,𝑒3⃗⃗⃗⃗ }, tenham a mesmaorientação, se e somente se, conseguimos fazer 
pequenas alterações em tais vetores, de forma que 𝑒1⃗⃗ ⃗ se sobrepunha com 𝑓1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗ com 𝑓2⃗⃗ ⃗, e 𝑒3⃗⃗ ⃗ com 𝑓3⃗⃗ ⃗, 
necessariamente na mesma ordem. 
Dada uma base fixa 𝐸: {𝑒1⃗⃗⃗⃗ ,𝑒2⃗⃗⃗⃗ ,𝑒3⃗⃗⃗⃗ }, o produto vetorial entre dois vetores �⃗� 𝑒 𝑣 , é um terceiro vetor, de 
forma que a nova base {�⃗� , 𝑣 , �⃗� × 𝑣 } nessa ordem, tem a mesma orientação da base 𝐸, ou seja, a matriz 
mudança de base tem determinante positivo. (Por isso, na base canônica, utilizamos a regra da mão direita 
ao realizarmos o produto vetorial). 
Da propriedade de que a nova base 𝐹: {�⃗� , 𝑣 , �⃗� × 𝑣 }, deve ter a mesma orientação de 𝐸, provamos 
que o produto vetorial é anti-comutativo, ou seja �⃗� × 𝑣 = −𝑣 × �⃗� , pois, a matriz mudança de base de 
𝐾: {𝑣 , �⃗� , 𝑣 × �⃗� } para base 𝐸 também deve ter determinante positivo, porém como temos duas colunas 
trocadas de posição (que sabemos que altera o determinante da matriz para o oposto do original), torna-se 
necessário que a coluna de 𝑣 × �⃗� seja a mesma coluna de �⃗� × 𝑣 porém multiplicada por (−1). Logo: 
�⃗� × 𝑣 = −𝑣 × �⃗� . 
 Espaços e Subespaços Vetoriais 
𝑉 é um espaço vetorial se estiver munido de uma 𝑠𝑜𝑚𝑎 e um 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 por um escalar real e: 
a) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
b) (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 
c) 𝛼(𝛽 ∙ 𝑢) = (𝛼 ∙ 𝛽)𝑢 
d) 0 ∈ 𝑉 
e) 0 + 𝑢 = 𝑢 
f) 1 ∙ 𝑢 = 𝑢 
g) 𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 
h) (𝛼 + 𝛽)𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 
Exemplos: 𝑉3 no espaço; ℝ𝑛 das 𝑛-uplas; 𝑀𝑚×𝑛(ℝ) matrizes 𝑚 × 𝑛; 𝒫(ℝ) polinômios; 𝒫𝑛(ℝ) polinômios de 
grau ≤ 𝑛. 
Definição: 𝑈 ⊂ 𝑉 é um subespaço vetorial do espaço 𝑉, se 𝑈 for um espaço vetorial fechado em si mesmo 
com as operações induzidas por 𝑉. 
Caracterização: 𝑈 ⊂ 𝑉 é subespaço se: 
i) 0 ∈ 𝑈 ii) 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑈 ⟹ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑈 iii) 𝛼 ∈ ℝ, 𝑢 ∈ 𝑈 ⟹ 𝛼 ∙ 𝑢 ∈ 𝑈 
Bases 
𝑋 ⊂ 𝑈 é uma 𝑏𝑎𝑠𝑒 se 𝑋 é formado por vetores 𝐿𝐼 e 𝑆(𝑋) = 𝑈, assim, por tais vetores serem 𝐿𝐼, existe uma 
maneira única de descrever os vetores desse espaço em função das suas coordenadas 𝑋(𝑆𝑃𝐷 −
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜). Se o conjunto 𝑋 é apenas gerador, mas não é 𝐿𝐼, significa que um elemento 
genérico do espaço não é denotado de forma única (𝑆𝑃𝐼). E se não é nem gerador, o sistema linear associado é 
impossível (𝑆𝐼). 
Se 𝑈 possui base finita, então duas bases desse mesmo 𝑈 tem o mesmo número de vetores (dimensão). 
Teorema do completamento: Para um espaço 𝑈 de dimensão 𝑛, o número máximo de vetores 𝐿𝐼 que podemos 
encontrar nesse espaço é 𝑛 (a dimensão é a quantidade de parâmetros de um espaço). Assim, se tivermos um conjunto 
com 𝑚 vetores 𝐿𝐼, onde 𝑚 < 𝑛, podemos inserir vetores de forma a continuar 𝐿𝐼, até 𝑚 = 𝑛. Do contrário, se tivermos 
um conjunto gerador com 𝑚 > 𝑛 elementos, podemos tirar os vetores que são combinação linear até 𝑚 = 𝑛. Em 
ambos os casos, assim, obteremos uma base de 𝑈. Um conjunto gerador de 𝑈, com 𝑚 > 𝑛 elementos, contém uma 
base de 𝑈. Um conjunto 𝐿𝐼 com 𝑚 < 𝑛 elementos, está contido em uma base de 𝑈. 
Soma, intersecção e união de bases – vetores, matrizes e polinômios. 
Obs.: A dimensão é a quantidade de variáveis que parametrizam o espaço solução do sistema. 
dim(𝑈 + 𝑉) + dim(𝑈 ∩ 𝑉) = dim(𝑈) + dim(𝑉)