Memorex Matemática

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MEMOREX
MATEMÁTICA
@UAIRESUME
MEMOREX
MATEMÁTICA
@UAIRESUME
mini apostila, no estilo
memorex, que constitui um
recurso didático extremamente
útil e prático para ser usada
como método de revisão
nela contém observações
pontuais para a revisão,
abordando todos assuntos de
matemática
NOMENCLATURA 
a
n a é o radicando é o radical
 é o índice
OBSERVAÇÕES COMUNS
x = 492 
2 x = 49
x = 7+-
PROPRIEDADES
a = 
m__n a a . bm a = . 
n n
 a = __
n 
___a 
n 
b
n a 
n m
=
n 
a =
n.p
a m m.p
m
a = 
2__ = 
5
2__ .
5
____ = 5
5
_____ 4__ = 
5
4__ .
5
____ = 5
5
_____
_______ =2 _______ .2 _______ =
_______ =3 _______ .3 _______ = _________
toda potência de expoente 1 é igual a base 
ex.: a = a
toda potência de expoente 0 é igual a 1
ex.: a = 1
a = a . a . a . ... . a a = 1 
n
n fatores
-n
___
an
1
0
PROPRIEDADES
a . a = am n m+n
a = am m-n___
an
(a ) = a m n m.n
(a . b) = a . b 
n n n
a = n__
b(
( a n___
bn
n 
2 
49 = 7
- 8 = -2
par
x x ≥ 0
ímpar
x x ∈ R
n n
a b
b (
(
a m
n 
a 
n m.n
CASOS (exemplos)
2 5
5
4 25
53 3
3 
3 
2
2
3 
5 + 3 5 + 3 5 - 3
5 - 3
5 - 3
3 2 - 5 3 2 - 5
3 2 + 5
3 2 + 5 7
-9 2 - 15
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
(a + b) = a + 2ab + b 
2 2 2
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS
TERMOS (a - b) = a - 2ab + b 2 2 2
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
DE DOIS TERMOS
(a - b) . (a + b) = a - b 2 2
CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b 
3 3 2 2 3
CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a - b) = a - 3a b + 3ab - b 
3 3 2 2 3
FATOR COMUM ax + ay = a(x + y)
AGRUPAMENTO
gx + gy + bx + by = x(g+b) + y(g+b) = (x+y)(a+b)
DIFERENÇA DE QUADRADOS
a - b = (a+b)(a-b)2 2
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
(a + b) = a + 2ab + b 
2 2 2
TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU
ax + bx + c = a(x - x )(x - x )2 1 2
y = ax + b a: coeficiente angular
b: coeficiente linear / ponto em que a reta
corta o eixo y
a
b
positivo negativo zero
crescente decrescente constante
acima da origem abaixo da origem contém a origem
EXERCÍCIO
Em uma sala existem quatro lâmpadas. A
primeira acende a cada 27 minutos, a segunda
a cada 45 minutos, a terceira a cada hora e a
quarta lâmpada só acende quando as outras
três estiverem acesas ao mesmo tempo. Em um
certo momento as quatro lâmpadas estão
acesas. Quantas horas após esse momento as
quatro lâmpadas voltarão a estar acesas
simultaneamente?
resolução: mmc 27, 45, 60 = 540 min = 9 horas
Três barbantes que medem respectivamente
24m, 84m e 90m foram cortados em pedaços
iguais do maior tamanho possível, sem deixar
sobras. Determine o número de pedaços obtidas
e o tamanho de cada um deles.
resolução: mdc 24, 84, 90 = 6 m 
24/6 = 4 | 84/6 = 14 | 90/6 = 15
4 + 14 + 15 = 33 pedaços
RESOLUÇÃO: substituição da variável. No
lugar de x podemos colocar outra variável,
como por exemplo y.
equação do 4° - possui 4 raízes
ex.: 2x - 7x - 4 = 0 x = (x ) x = y
 2y - 7y - 4 = 0 y'= 4 y''= - 1/2
x = 4 x = 2 x = - 1/2 x ∈ R
2
24 4 2 2 2
2
2 2
DIVISIBILIDADE POR 2
um número é divisível por 2 se esse número for
par, se o algarismo das unidades terminar em
0,2,4,6 ou 8
DIVISIBILIDADE POR 3
um número é divisível por 3 se a soma de seus
algarismos for um número divisível por 3
DIVISIBILIDADE POR 4
um número é divisível por 4 se o número
formado pelos dois últimos algarismos for
também divisível por 4
DIVISIBILIDADE POR 5
um número é divisível por 5 se o algarismo das
unidades for 0 ou 5
DIVISIBILIDADE POR 6
um número é divisível por 6 se ele for divisível
por 2 e por 3
DIVISIBILIDADE POR 8
um número é divisível por 8 se o número
formado pelos seus três últimos algarismos
também for divisível por 8
DIVISIBILIDADE POR 9
um número é divisível por 9 quando a soma de
seus algarismos resultar em um número
divisível por 9
ex.: determine o mmc entre os números 12, 15, 20
REGRA PRÁTICA 
12 15 20 2
6 15 10 2 
3 15 5 3
1 5 5 5 
1 1 1
mmc = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
ex.: determine o mdc entre os números 12 e 18
REGRA PRÁTICA 
12 18 2 *
6 9 2
3 9 3 *
1 3 3 
1 1 1
mdc = 2 . 3 = 6 
resolução: fatoração simultânea de números
inteiros
EXERCÍCIO
é a igualdade entre duas ou mais razões
a = c = x__ __ __ = k (constante de proporcionalidade)
 b d y 
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
as grandezas a e b são diretamente
proporcionais se a = k__
b
exercício: Três amigas, Roberta, Beatriz e
Andréia, abriram uma loja. Roberta entrou com
R$ 6.000,00. Beatriz com R$ 9.000,00 e Andréia
com R$ 12.000,00. No primeiro ano a loja teve
um lucro de R$ 540.000,00 que será dividido de
forma proporcional aos valores integralizados por
elas na abertura do negócio. Quanto cada uma
deverá receber.
resolução: 
R B A R + B + A 540 000_____ = _____ = _____ = ________ = ________ = 20
6000 9000 12000 27000 27000
R = 6000 . 20 = 120 000 B = 9000 . 20 = 180 000
A = 12000 . 20 = 240 000
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
as grandezas a e b são inversamente proporcionais
se uma delas é proporcional ao inverso da outra, ou
seja, a . b = k
exercício: José recebeu um prêmio de R$3 000,00
e irá dividi-lo entre sus três filhas de forma
inversamente proporcional a suas idades.
Sabendo que suas filhas têm 20 anos, 15 e 12
anos, determine a quantia que cada uma receberá
resolução: 
A B C A + B + C 3000_____ = _____ = _____ = ________ = ________ = 15 000
20 15 12 20 15 12 60
__ ___ ___ __ __ __ _______1 1 1 1 + 1 + 1 3 + 4 + 5
A = 15000/20 = 750 B = 15000/15 = 1000
C = 15000/12 = 1250
é tudo aquilo que pode ser medido, contado ou
comparado
exemplos: D (diretamente) e I (inversamente)
( I ) velocidade e tempo
( D ) velocidade e distância
( D ) tempo e distância
( I ) quantidade de operários e tempo
( I ) horas trabalhadas por dia e tempo de
realização de um serviço
( I ) eficiência e quantidade de operários
GRANDEZAS 
EXERCÍCIO
Um jardineiro consegue cortar a grama de um gramado,
em forma de quadrado com 120m de lado, em 15 horas.
Quantas horas o mesmo jardineiro levaria para cortar
um gramado de 6000 m de área?
resolução:
2
120 . 120 = 14400 m 14 400 m - 15h
 6 000 m - x x = 6h 15min
2 2
2
é uma regra prática para resolver problemas que
envolvam três ou mais grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais
EXEMPLOS
Numa gráfica existem 3 impressoras off set que
funcionam sem parar, 10 horas por dia, durante 4
dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado
umas das impressoras e necessitando-se imprimir,
em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por dia
deverão funcionar ininterruptamente as duas
máquinas restantes?
resolução (MACETE) :
 processo produto
imp. h/dia dias folhas
 3 10 4 240 000
 2 x 6 480 000
2 . x . 6 . 240 000 = 3 . 10 . 4 . 480 000
x = 20 dias
ex.: 1 : 24
medida na realidade
medida no modelo SEMPRE A
 MESMA UNIDADE
resolução: regra de três
PORCENTAGEM DE UMA QUANTIA
Qual é o valor de 30% de R$80,00?
80 . 30 = 24___
100
AUMENTO DE x% DE UM VALOR A
Aumente em 30% o valor 400:
400 . 1,30 = 520
DESCONTO DE x% DE UM VALOR A
Desconto de 40% no valor 600:
100% - 40% = 60% 600 . 0,60 = 360AUMENTOS E DESCONTOS
SUCESSIVOS
Para compor vários aumentos e/ou 
descontos basta multiplicar os vários 
fatores individuais e obter o fator acumulado
J = C . i . t
acréscimos somados ao capital inicial ao final de
um determinado período
acréscimos somados ao capital, ao fim de um
período, formando um novo período
M = C . (1 + i) t
An = A + (n - 1) . r1
CLASSIFICAÇÃO
crescente: razão > 0
constante: razão = 0
decrescente: razão < 0
PA DE 3 TERMOS
PA de 3 termos: (x - r, x, x + r)
exercício: Numa PA decrescente de três termos, a
soma desses termos é -6 e o produto é 64.
Determine a PA
resolução: r < 0 x - r + x + x + r = -6
3x = -6 | x = -2 (-2 -r).(-2).(-2 +r) = 64 | r = 6
r(decrescente) = -6 PA (4, -2, -8)
+-
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA
Sn = (A + A ) . n1 n___________
2
An = A . q 1 n - 1 q = An___
An - 1
PROPRIEDADES
em uma PG de três termos, o termo central é 
igual à média geométrica entre os outros dois
exercício: Determinar o x de modo que a 
sequência (3, x + 2, 3x) seja uma PG crescente
resolução: (x + 2) = 3 . 3x | x + 4x + 4 = 9x | x' = 4
 e x'' = 1 PG (3, 6, 12) e PG (3, 3, 3) 
2 2
PG DE 3 TERMOS
PG de 3 termos (forma genérica): ( x , x, x .q)__
q
SOMA DOS n TERMOS DE UMA PG
Sn = A . (q - 1)1 n__________
q - 1
SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG
S = A 1____
1 - q
REPRESENTAÇÃO DIAGRAMA
DE VENN
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
REPRESENTAÇÃO POR
PROPRIEDADE
A = {a, e, i, o, u} a ∈ A c ∉ A
OPERAÇÕES: UNIÃO
REPRESENTAÇÃO POR CHAVES
 {a} ⊂ A {c} ⊅ A
a
e
i
o
u c
A = {1, 2, 3, 4, 5} 
A = {x ∈ ℕ | x ≤ 5} 
ex.: A = {1, 2, 3, 4} 
B = {3, 4, 5}
pertencem ao conjunto A ou conjunto B
X
Y
X Y
C = B - A
ex.: A = {3, 4, 6, 7} 
B = {2, 3, 4, 5}
C = {8, 9}
A ∩ B = {3, 4}
A ∩ C = { }
pertencem ao conjunto A e não pertencem
ao conjunto B
OPERAÇÕES: INTERSECÇÃO
pertencem ao conjunto A e conjunto B
OPERAÇÕES: DIFERENÇA
ex.: A = {4, 5, 6, 7} 
B = {4, 6, 8}
C = {8, 9, 10}
A - B = {5, 7}
A - C = {4, 5, 6, 7} = A
OPERAÇÕES: COMPLEMENTAR
A
B
X
Y
X Y
X
Y
B
A
X Y
pode ser representado por uma razão entre dois
números inteiros 
um número racional pode ser:
um número inteiro
um decimal exato
uma dízima períodica
CONJUNTO NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
representação decimal com infinitas casas
decimais não periódicas 
não podem ser representados por uma razão
entre dois números inteiros
união entre o conjunto dos números racionais com
o conjunto dos números irracionais resulta no
conjunto dos números reais (R)
CONJUNTO NÚMEROS NATURAIS (ℕ)
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} ℕ* = {1, 2, 3, 4, ...}
CONJUNTO NÚMEROS INTEIROS (Z)
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
CONJUNTO NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Q = | a ∈ Z e b ∈ Z*__
CONJUNTO NÚMEROS REAIS (R)
I
R
N
Z
Qa
b
ex''.: 8! = 8! = 1________
10 . 9 . 8!
ex'.: Em um campeonato de futebol, participam
20 times. Quantas são as possibilidades para
os três primeiros lugares?
A = 20! = 20 . 19 . 18 . 17! = 684020,3 _____
(20-3)!
_____________
17!
1! = 1
não existe fatorial de número negativo
sequência de multiplicações decrescente
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 2 . 1
0! = 1
ex'.: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
importa a ordem
A = n!n,p _____
(n-p)!
n = quantidade de elementos 
do conjunto
p = representa a união dos elementos na
formação dos agrupamentos
n! 
__
10!
__
90
C = 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6! = 5040_______
(10-6)! 6!
_____________
4 . 3 . 2 . 1 6!
não importa a ordem C = n!n,p _______
(n-p)! p!
ex'.: Uma prova consta de 10 questões, das
quais o aluno deve escolher apenas 6 para
responder. De quantas formas ele poderá
escolher as 6 questões?
_____ = 210
24
SIMPLES P = n!n
para anagramas sem repetição
usa-se todas as letras
ex'.: Com relação a palavra ESCOLA, quantos
anagramas existem?
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
COMPOSTA com repetição
P = n! *a,b,c: quantidade de letras 
repetidas
ex'.: Com relação a palavra NATALINA,
quantos anagramas existem?
P = 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3! = 3360______
2! 3!
______
a! b! c!
__________________ 
2 . 1 3!
N repete duas vezes e A repete 3 vezes
2,3
8
a,b,c
n
ELEMENTOS
SOMA DOS ÂNGULOS
INTERNOS
SOMA DOS ÂNGULOS
EXTERNOS
um polígono é regular se, e somente se, for
equilátero (lados congruentes) e equiângulo
(ângulos internos congruentes)
Si = 180° . (n-2)
Se = 360°
POLÍGONOS REGULARES
polígono convexo
polígono côncavo
e
e
e
e
e i
i
i i
i
e + i = 180° 
d = n(n-3)______
2
(diagonais)
a = (n-2) . 180°i ___________
n
a = 360°e ____
n
ângulo < 90°
BISSETRIZ 
é uma semirreta de origem no vértice do ângulo
que o divide em dois ângulos congruentes
bissetriz--
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
a b
ÂNGULOS: RETO, AGUDO E OBTUSO
reto
ângulo = 90°
agudo obtuso
90° < ângulo > 180°
ÂNGULOS: COMPLEMENTARES,
SUPLEMENTARES E REPLEMENTARES
complementares
a
b
a + b = 90°
suplementares
b
a
a + b = 180°
replementares
b
a
a + b = 360°
ÂNGULOS ALTERNOS
PARALELISMO
ângulos correspondentes
ângulos colaterais
PERPENDICULARES
ângulos de lados perpendiculares são congruentes
APÓTEMA
é o segmento com uma
extremidade no centro e a outra
no ponto médio de um lado
é aquele cujos lados são
respectivamente côngruo e cujos
ângulos internos também
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
a
b
c
a + b + c = 180°
DESIGUALDADE TRIANGULAR
em cada triângulo, cada lado é menor que a soma
dos outros dois
b
c
a < b + c
b < a + c
c < b + a
ÁREA DE UM TRIÂNGULO
H
A = b . H
TEOREMA DO ÂNGULO INTERNO
em qualquer triângulo, cada ângulo externo é
igual a soma dos internos não adjacentes
a
b
d
a + b = d
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
em qualquer triângulo a soma dos ângulos
externos é 360°
a
b
c
a + b + c = 360°
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
QUANTO AOS LADOS 
equilátero 
3 lados
congruentes
isósceles
2 lados
congruentes
escaleno
3 lados não
congruentes
= ===
=
QUANTO AOS ÂNGULOS
retângulo
possui ângulo
reto
acutângulo
três ângulos
agudos
obtusângulo
possui um
ângulo obtuso
ORTOCENTRO
ponto de encontro das três alturas do triângulo
ALTURA
é uma ceviana que parte de
um vértice e faz 90° com o
lado oposto
INCENTRO
ponto de encontro das três bissetrizes do
triângulo BISSETRIZ
divide o ângulo na metade
obs.: o incentro é centro da circunferência inscrita no
triângulo
BARICENTRO
ponto de encontro das três medianas do
triângulo | divide cada mediana na razão 2:1
2x
x
MEDIANA
tem uma das extremidades no
ponto médio de um lado
oposto a ele
a
_____
2
CIRCUNCENTRO
ponto de encontro das três mediatizes do
triângulo
MEDIATRIZ
reta perpendicular que passa
pelo seu ponto médio
obs.: o circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita no triângulo
a
xb
y z
c
 a = __
x
 b = __
y
 z__
c
a
b c
h
m n
a . h = b . c
h = m. n
b = n . a
c = m . a
2
2
2
TEOREMA DE PITÁGORAS a = b + c2 2 2
a
b
a + b = 90°
x
y
z
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
seno = cateto oposto_____________
hipotenusa
cosseno = cateto adjacente_______________
hipotenusa
tangente = cateto oposto_______________
cateto adjacente
60° 60°
60°
l
l
l
ALTURA ÁREA
l √3___
2
l √______
4
2
FÓRMULA TRADICIONAL
h
b
A = b . h ____
2
DOIS LADOS E UM ÂNGULO
ENTRE ELES
ba x
A = a . b . sen x__________
2
3
ATRAVÉS DO SEMIPERÍMETRO E O APÓTEMA
r
a b
c
SEMIPERÍMETRO
p = a + b + c_______
2
ÁREA
A = p. r
EM FUNÇÃO DOS LADOS
a
c
b
a x
b
c
y
z
a = x = c__ __ __
b y z
PARALELOGRAMO
ha
a
b
b
A = b . h
TRAPÉZIO
h
B
b A = (B + b) . h__________
2
QUADRADO
l
l
l
l
A = l2
d = l √2
RETÂNGULO
bb
a
a
A = a . b
LOSANGO 
A = D . da
a a
a _____
2
D: diagonal maior
d: diagonal menor
ELEMENTOS
 | 
PROPRIEDADE DA TANGENTE
tg
sec
P
r
BA
AB: corda
tg
P
PROPRIEDADE DA SECANTE
sec
BA
rd
Mx x
M = ponto médio
SEGMENTOS TANGENTES
P
B
A
r
r
| |
| |PA = PB
| | 
COMPRIMENTO E ÁREA
r
comprimento: 2 . π . R
área: π . r 2
ÂNGULO CENTRAL E
ÂNGULO INSCRITO a b
ângulo central: a
ângulo inscrito: b (encosta
na circunferência)
propriedade: a = 2b
*MACETE
r.r quando tiver um triângulo inscritoem uma circunferência e um deseus lados passar pelo centro, ou
seja, o diâmetro. Certamente esse
triângulo é retângulo
QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO
a
b
dc
a + b = c + d
QUADRILÁTERO INSCRITO
ÂNGULO CAPAZ
b
b
l
se os segmentos
corresponderem ao mesmo
arco, os ângulos são iguais
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO
x
x
x = a + b____
2
ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO
xba
x = a - b____
2
b
a
c
d
a + b = 180°
c + d = 180°
a + b = c + d
a
b
l
l
l
l
l
l hexágono regular: é
o hexágono que
possui os ângulos
internos e os lados
congruentes 
possui 6 triângulos
equiláteros
A = 6 . l √ 2 3______
4
TETRAEDRO vértices: 4
arestas: 6
faces: 4
OCTAEDRO
vértices: 6
arestas: 12
faces: 8
DODECAEDRO
vértices: 20
arestas: 30
faces: 12
ICOSAEDRO vértices: 12
arestas: 30
faces: 20
DESCOBRIR AS ARESTAS
20 . 3 = 30_____ex.: icosaedro
2
RELAÇÃO DE EULER
V + F = A + 2
At: área total
Ab: área da base
Al: área lateral
h: altura
v: volume
At = Al + 2 . Ab
v = Ab . h
h
a
g
O
A
V OA: apótema da base (a)
VA: apótema da pirâmide (g)
g = a + h
At = Al + Ab
v = Ab . h 
2 2 2 
Ab = π . r
Al = 2 . π . r . h
At = Al + 2 . Ab
v = π . r . h
2
2
c
v = a . b . c
At = 2 (ab + ac + bc)
a
b
D = √a + b + c2 2 2
Aface = a
Atotal = 6 . a 
D = a √
v = a
2 
D
D
2 
3
3
______
3
Abase = π . r
Alateral = π . r . g
Atotal = π . r (g + r)
volume = Ab . h______
3
RAZÃO SEMELHANÇA
A = H
AB
B___ ___
A hb (
(2
V = ___ 
v
A B___ 
A b(
(3
A = 4 . π . r
v = 4 . π . r
2
3__
3
2 
CALOTA
A = 2 . π . r . h
AMPLITUDE
diferença entre o maior e menor dos valores
MODA
o valor de frequência máxima
ex.: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12 
moda = 9 (mais frequente)
MEDIANA
se n for ímpar, a mediana é o valor central
se o n for par, a mediana é a média
aritmética dos dois dados centrais
colocando os valores em ordem crescente, a
mediana é o elemento que ocupa a posição
central
ex.: 1, 4, 6, 7, 10 (mediana = 6) 
ex.: 1, 4, 6, 7, 10, 12, 13
mediana = 10 + 7 / 2 = 8,5
DESVIO
é quanto um valor se distancia da média
ex.: 3, 1, 2, 0, 4 média: 2 
d = 3-2 = 1 d = 1-2 = -1 d = 2-2 = 0
d = 0-2 = -2 d = 4-2 = 2
1 2 3
4 5
VARIÂNCIA
é a média dos quadrados dos desvios
v = d + d + d + ... + dn 1 2 3
2 2 2 2 2
________________________
n
DESVIO PADRÃO
é a raiz quadrada da variância 
ROL
ao dispor os dados numéricos de uma pesquisa
em ordem crescente ou decrescente, estamos
organizando esses dados em uma sequência
chamada rol
MÉDIA ARITMÉTICA
m = x + x + x + ... + xn 1 2 3________________________
n
MÉDIA GEOMÉTRICA
m = x . x . x . ... . xn 1 2 3
MÉDIA HARMÔNICA
m = 1
1 + 1 + 1 + ... + 1 
________________________
1 2 3 n
___ ___ ___ ___
x x x x
________________________
n
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
m = P . x + P . x + ... + P . x1 1 2 2 n n___________________________
P + P + ... + P1 2 n
ex.: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 3, 4, 6,
9}. Associar cada elemento do conjunto A ao seu
triplo em B
em uma função:
jamais sobrarão elementos no conjunto de
partida
cada elemento do conjunto de partida
possuirá um único elemento correspondente
no conjunto de chegada
domínio: conjunto de partida (A)
contradomínio: conjunto de chegada (B)
imagem: é o conjunto formado pelos elementos
do contradomínio que possuem correspondente
no domínio
ex.: função: y = 2x
NOÇÃO DE FUNÇÕES POR MEIO DE
CONJUNTOS
conjunto conjunto
partida chegada 
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE
UMA FUNÇÃO
 A B 
D (f) = A = { 1, 2, 3}
CD (f) = B = {0, 2, 4, 6, 8}
Im (f) = {2, 4, 6}
ex''''.: f(x) = 2x _____
√x - 5
ESTUDO DO DOMÍNIO DAS FUNÇÕES REAIS
ex.: f(x) = 3x - 1 D (f) = R
ex''.: f(x) = 2x + 3 D (f) = R - {2}_____
x - 2
x - 2 ≠ 0 
x ≠ 2
ex'''.: f(x) = √x - 5 D (f) = {x ∈ R | x ≥ 5}
x - 5 ≥ 0 | x ≥ 5 
x - 5 > 0 
x > 5
D (f) = {x ∈ R | x > 5}
ex'''''.: f(x) = _____
√x + 1
√4 - x
ex''''''.: f(x) = √2x - 6 - 2 √x + 1
ex'''''''.: f(x) = √3x + 1
x + 1 > 0 
x > - 1
4 - x ≥ 0 
4 ≥ x ou x ≤ 4
x ≤ 4 
x > - 1 
∩
D (f) = { x ∈ R | - 1 < x ≤ 4}
-1 4
-1 4
-1 4
2x - 6 ≥ 0
x ≥ 3
x + 1≥ 0
x ≥- 1
 
∩
x ≥ 3
x ≥- 1
 3
-1 
3
3 D (f) = R
D (f) = { x ∈ R | x ≥ 3}
Im
D (f)
D (f) é o conjunto de todas abscissas dos
pontos do eixo tais que as retas verticais por
elas traçadas interceptam o gráfico de f
Im (f) é o conjunto de todas as ordenadas dos
pontos do eixo x
EXEMPLO
1 6
8
1
D (f) = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 6}
Im (f) = {y ∈ R | 1 ≤ x ≤ 8}
INJETORA no conjunto B, quem leva
flechada só leva uma
SOBREJETORA não sobra ninguém em B
no gráfico se o contra
domínio é igual a
imagem a função é
sobrejetora
BIJETORA é injetora e bijetora ao
mesmo tempo
FUNÇÃO PAR f (x) = f (-x)
simétrica em relação
ao eixo das ordenadas
FUNÇÃO ÍMPAR f (x) = - f (-x)
simétrica em relação à
origem do plano
cartesiano
gof: (x + 1) + 3 ➔ x + 2x + 1 + 3 ➔ x + 2x + 4
fog: (x + 3) + 1 ➔ x + 4
fof: (x + 1) + 1 ➔ x + 2 
gog: (x + 3) + 3 ➔ x + 6x + 9 + 3 ➔ x + 6x + 12
EXEMPLO: f (x) = x + 1 g (x) = x + 32
2 2 2
2 2
2 2 4 2 4 2
 isolar o x
trocar o x por y e o y por x
PASSOS:
1.
2.
ex.: f(x) = 3x - 3 ➔
y = 3x - 3
y + 3 = x____
3
f(x) = x + 3 ____
3
-1
y = ax + b
toda função do tipo f(x) = ax + b
TAXA DE VARIAÇÃO
Y - Ya b_______
X - Xa b
exemplo: determine a lei da formação da
função afim representada no gráfico abaixo
b = ponto que
intercepta o
eixo x
a = determinada
pela taxa de
variação
A (0, 2)
B (5, -2)
4__
- 5
a = 
y = -4x + 2___
5
coeficiente linear (b): corta o eixo ''y''
coeficiente angular (a)
coeficiente linear
coeficiente angular
a > 0: reta crescente
a < 0: reta decrescente
determina o
coeficiente angular
COEFICIENTE ANGULAR 
é possível determinar o
coeficiente angular pela
tangente do ângulo da reta
a = tg α
log b = x → a = b a
- x = 3 → x = -3
log 5 = x (√5) = 5 → (5 ) = 5 → x = 1 →x 1__2
x
___
2
x
logaritmando: b base: a
OBSERVAÇÕES
no logaritmo cuja base é 10, chamado de logaritmo
decimal, não se costuma indicar a base 10
EXERCÍCIOS
log 81 = x | 3 = 81 → 3 = 33
x x 4
log 8 = x 1 = 8 → (2 ) = 2 → 2 = 21__
2
___
2(
(x -1 x 3 -x 3
√5
log 10= x 10 = 10 → x = 1
10
x
função afim do tipo f(x) = ax
gráfico: é uma reta que passa pela origem
log (b . c) = log b + log ca a a
log b = log b - log ca __c a a
ex.: log 360 = log (2 . 3 . 5) 
log 2 + log 3 + log 5 | 3 . log 2 + 2 . log 3 + log 5
3 2
3 2
MUDANÇA DE BASE
log b = log ba c_____
log ac
ex.: (2x + 2) . (3 - x) < 0 
1° passo: resolver as equações separadas
2x + 2 = 0 → x = - 1 | 3 - x = 0 → x = 3
EXEMPLOS
2x - 3 > 5 → x > 4
4 - 3x ≤ x - 8 → -4x ≤ - 12 → x ≥ 3
3 (x + 1) - 2 ≥ 5(x - 1) - 3(2x - 1)
x + 2 - x - 1 ≥ x → 2(x + 2) - 3(x - 1) ≥ 6x
3x + 3 - 2 ≥ 5x - 5 - 6x +3 → 4x → - 3 → x = -3/4
____ ____ ________________
3 2 6
x ≤ 1
INEQUAÇÃO PRODUTO
-1
-
+
3
-+
2° passo: fazer o estudo dos sinais
-1 3
-1 3
-1 3
- ++
+ + -
- + -
f(x) g(x)
g(x)
f(x)
f(x) . g(x)
ex.: 2x - 4 > 0
3° passo: S = {x ∈ R | x < - 1 ou x > 3}
QUOCIENTE
______
x + 3
2x - 4 = 0 → x = 2
2
- +
f(x)
x + 3 = 0 → x = -3
-3
- +g(x)
-3 2
-3 2
-3 2
- - +
- + +
+ - +
g(x)
f(x)
f(x)___
g(x)
S = {x ∈ R | x < - 3 ou x > 2}
SIMULTÂNEA
ex.: - 2 < - 3x - 1 < 4
3x - 1 > -2 → 3x + 1 > 0 → x > -1/3
3x - 1 < 4 → 3x - 5 < 0 → x < 5/3
-1/3
-1/3
5/3
5/3
S = {x ∈ R | -1/3 < x < 5/3}
ex.: log 4x = log (3x + 1) ➔ 4x = 3x + 1 ➔ x = 1
ex': log (5x - 1) = 2 ➔ (x - 1) = 5x - 1 ➔ 
x - 2x + 1 = 5x - 1 ➔ x' = 0 ou x'' = 7
log b = log c ➔ b = ca a
8 8
x - 1
2
2
FUNÇÃO CRESCENTE a > 0
ex.:
FUNÇÃO DECRESCENTE 0 < a < 1
ex.:
corta o eixo x
corta o eixo x
TIPO A log f(x) > log g(x)
se a > 1, então f (x) > g (x)
se 0 < a < 1, então f (x) < g (x)
ex.: log 2x - 1 < log 6 
 2x - 1 < 6 ➔ x < 7/2 | 2x - 1 < 0 ➔ x > 1/2
S = {x ∈ R | 1/2 < x < 7/2} 
a a
2 2
TIPO B log f(x) > k
se a > 1, então f (x) > a
se 0 < a < 1, então f (x) < a
ex.: log (2x - 3x) > -1 -1 = -1 log 1/2
a 
1
k
k
__
2
1__
2
log 21__
2
log (2x - 3x) > log 2
(2x - 3x) < 2 ➔ x': 2 ou x'': -1/2
2
2
1__
2
1__
2
2
(2x - 3x) > 0 ➔ x': 0 ou x'': 3/2
S = {x ∈ R | - 1/2 < x < 0 ou 3/2 < x < 2}
2
PROPRIEDADES 
o sinal da função é positivo nos 1° e 2° quadrantes e
negativo no 3° e 4° quadrantes 
1° e 4° quadrantes a função é crescente e no 2° e 3°
quadrantes a função é decrescente
a função seno é periódica e seu período é 2π
domínio da função seno é R. Porém o conjunto imagem
dessa função é o intervalo real [-1, 1]
é uma função ímpar, pois sen x = sen (-x)
GRÁFICO
GRÁFICO DE OUTRAS FUNÇÕES TIPO SENO
y = a + b . sen (cx + d) Im = [a - b, a + b]
P = 2π____
| c |
P = eventos favoráveis__________________
eventos totais
P (ocorrência de evento) + P (não ocorrência do evento) = 1
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)
EVENTOS INDEPENDENTES - regra do OU : soma
EVENTOS DEPENDENTES - regra do E : multiplica
macete: sOUma multEplica a
b
cC
B
A
a = b + c + 2 . b . c . cos A
b = a + c + 2 . a . c . cos B
c = b + a + 2 . a . b . cos C
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a
b
c
A
B
C
R
 a = b = c = 2R____ ____ ___ 
sen A sen B sen C
PROPRIEDADES 
o sinal da função é positivo nos 1° e 4° quadrantes e
negativo no 2° e 3° quadrantes 
1° e 2° quadrantes a função é crescente e no 3° e 4°
quadrantes a função é decrescente
a função cosseno é periódica e seu período é 2π
domínio da função seno é R. Porém o conjunto imagem
dessa função é o intervalo real [-1, 1]
é uma função par, pois cos x = cos (-x)
GRÁFICO
GRÁFICO DE OUTRAS FUNÇÕES TIPO
COSSENO
y = a + b . cos (cx + d) Im = [a - b, a + b]
P = 2π____
| c |
PROPRIEDADES 
conjunto imagem é R
função é sempre crescente
sinal da função é positivo no 1° e 3°
quadrantes e é negativo no 2° e 4°
quadrantes
função tangente é periódica e seu período
é π
função ímpar
uma função definida por f(x) = a x 
GRÁFICOS
estritamente crescente a > 1 estritamente decrescente a < 1
EQUAÇÃO
a = a 
x = x
x x 1 2
1 2
INEQUAÇÃO
a < a 
x < x
x x 1 2
1 2
regra de três com: 180 π RADIANO -
ex.: 60 em radianos
°°
 180 π °-
 60 x° -
x = = 60 π_____
180
° °
 π__
3
OBS. : QUANTO MEDE 1 RAD?
 180 π °-
 x 1- x = = 57,3
180 ____
3,14
° °
COMPRIMENTO DO ARCO 
DA CIRCUNFERÊNCIA
α
l
r
r
l = α . r
α = medida do ângulo em
radianos
r = raio da circunferência
l = comprimento do arco
ex.: calcule, em graus, o menor ângulo formado
entre os dois ponteiros de um relógio que
marca 3h40min. 
= 30360 ____ 12
° °
 30 ° 30° 30°
 3
0°
macete para os minutos:
divida por dois e o resultado
será grau de quanto o ponteiro
já andou
10 ° 20
°
30 + 30 + 30 + 30 + 10 = 130 ° ° ° ° ° °
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
raio = 1
 0
 360
 270
 180
 90°
°
°
°
°
 Q Q 
 Q Q 
 1 2
3 4
SIMETRIAS EM RELAÇÃO AO 
EIXO VERTICAL
 A A'
A = α 
A' = 180 - α°
SIMETRIAS EM RELAÇÃO AO 
EIXO VERTICAL
A
A'
A = α
A' = 360 - α°
SIMETRIAS EM RELAÇÃO AO 
CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA
A'
A A = α
A' = 180 + α°
SENO
P
o
P'
sen α = OP'
sen α = co = OP'__ __
h 1
α
α
α
α
αα
α
α
α
α
sinal:
+
-
+
-
valor máximo: 1
valor mínimo: -1
ex:
150 30° ° sen 150 = sen 30sen 30 = 1
° °
° __
2
sinal:
COSSENO
+
+
-
-
valor máximo: 1
valor mínimo: -1
P
O P'
α
α
P'
P
αP'
P
α
P
P'
cos α = OP'
ex.: cos 120° = - cos 60° = - 1/2
TANGENTE
A
P
T
α
tag α = AT
α A
T
α
A
T
A
T
α
cos α + sen α = 12 2
tg α = sen α ______
cos α
cotg α = 1______
tg α
sec α = 1______
cos α
cossec α = 1______
sen α
SENO
sen 2x = 2 . sen x . cos x
COSSENO
cos (2x) = cos x - sen x2 2
TANGENTE
sen 2x = 2 . tg x_______
1 - tg x2 
SENO DA SOMA OU DA DIFERENÇA
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
ex.: sen 75° = sen (30° + 45°) = sen 30° . cos 45° + sen 45° . cos 30°
COSSENO DA SOMA OU DA DIFERENÇA
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b
ex.: cos 15° = sen (60° - 45°) = cos 60° . cos 45° + sen 60° . sen 45°
TANGENTE DA SOMA OU DA DIFERENÇA
tg (a + b) = tg a + tg b___________
1 - tg a . tg b
tg (a - b) = tg a - tg b___________
1 + tg a . tg b
A m = linhas n = colunas
a 
m x n 
ij i = posição na linha j = posição na coluna
ex.: m = 2
 n = 2
TIPOS DE MATRIZES
matriz nula: é toda matriz
que possui seus elementos
iguais a zero
matriz quadrada: é toda
matriz do tipo n x n
ex.: 
2 x 2
matriz diagonal: é toda matriz
quadrada no qual os
elementos que não pertencem
à diagonal principal são
iguais a zero
matriz identidade: é
toda matriz diagonal no
qual os elementos da
diagonal principal são
iguais a 1
matriz transposta: 
A = A =t
LEI DE FORMAÇÃO
ex.: construa a matriz A = (a ) 
tal que a {i + j, se i ≥ j ou i - 2j, se i < j}
ij 2x3
ij 
OPERAÇÃO COM MATRIZES
adição:
subtração:
matriz oposta:
A = -A =
multiplicação: só é possível
multiplicar duas matizes se o número
de colunas da primeira matriz for
igual ao número de linhas da segunda
ex.: A . B = C
a multiplicação é feita linha x coluna:
3 x 4 4 x 2 3 x 2
é dado pelo produto da diagonal principal menos
o produto dos elementos da diagonal secundária
ex.: calcule A
(-1) . = -1 . 5.-4 - 1.4 = 16
2+3
ex.: calcule A
 
(-1) . = - 183
2+2
22
ex.: calcule D 
DETERMINANTE DE ORDEM 2
DETERMINANTE DE ORDEM 3
copia as duas primeiras linhas e adiciona a matriz
= 4 - 9 + 80 - (8 -12 + 30) = 49
= 9.3 - 5.2 = 17
MENOR COMPLEMENTAR
11
= = 2.3 - 4.-3 = 18
COFATOR (-1) . D
i + j
ij
23
TEOREMA DE LAPLACE
PROPRIEDADE DOS DETERMINANTES
MATRIZ TRANSPOSTA: det M = det M
ex.:
t
M = = 2.3 - 4.1 = 2
M = = 2.3 - 4.1 = 2
t
FILA NULA: se os elementos de uma fila
qualquer de uma matriz M de ordem n forem
todos nulos, então det M =0
= 0
MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR
UMA CONSTANTE:
se M é uma matriz de ordem n, então:
det (K.M) = K . det M
n
TROCA DE FILAS PARALELAS
= 5 . -2 - (3. -4) = 2
= 3 . -4 - (5. -2) = -2
FILAS PARALELAS IGUAIS OU
PROPORCIONAIS
= 0
det = 0
COMBINAÇÃO LINEAR DE FILAS
PARALELAS
se uma matriz M de ordem n possui uma
fila que é combinação linear de outras
filas paralelas, entãodet M = 0
REGRA DE CHIÓ
escolher um elemento igual a 1 da
matriz
suprima a linha e a coluna no qual se
encontra o elemento 1 escolhido
forme uma nova matriz apenas com
os elementos restantes
subtraia de cada um desses elementos
o produto dos elementos
correspondentes que foram
suprimidos
1.
2.
3.
4.
= - 156
(-1) . - 156 = -156
1+1
possível
{ax + by = c
sistema
determinado indeterminado
impossível (soluções vazias)
solução única infinitas soluções
dx + ey = f
a ≠ b__ __
d e
SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO
a = b ≠ c__ __ __
d e f
SISTEMA IMPOSSÍVEL 
a = b = c__ __ __
d e f
SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO
REGRA DE CRAMPER
ex.:
1° passo: ache o determinante do sistema
= 6 + 6 + 1 + 1 - 4 + 9 = 19
2° passo: cálculo do Dx (substitui a linha x
pelos valores depois da igualdade) 
x y z
Dx = = 19
x = Dx = 19___
 D 19
___
3° passo: cálculo do Dy (substitui a linha y
pelos valores depois da igualdade) 
Dy = = 0
x = Dy = 0___
 D 19
___
4° passo: cálculo do Dz (substitui a linha z
pelos valores depois da igualdade) 
Dz = = -1
x = Dz = -19___
 D 19
___
x x1 2
y
y
1
2
X = X + X M A B_______
2
Y = Y + Y M A B_______
2
X = X + X + XG A B C___________
3
Y = Y + Y + YG A B C___________
3
P (Xo, Yo)
TRIÂNGULO
A = 1/2 . |D|
ex.: Qual a área do triângulo ABC, tal que 
A (X ,Y ), B (X , Y ) e C (X , Y )A A B B C C
D = 1/2 . 
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS
PONTOS 
a condição para que três pontos estejam
alinhados (colineares) no plano cartesiano é que
eles formem um ''triângulo'' de área igual a zero
(0, 3)
1
4x
y
P
monte uma matriz com os pontos possíveis
3x + 4y - 12 - x ➝ 2x + 4y - 12 ➝ x + 2y - 6 = 0
COEFICIENTE ANGULAR DA RETA (m)
m = tg a ou m (X - Xo) = Y - Yo
COEFICIENTE
ANGULAR A PARTIR
DE DOIS PONTOS
m = tg a = Ya - Yb________
Xa - Xb
EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA RETA
ex.: a reta r passa pelos pontos A(1,2) e B(-2,5).
Determine a equação reduzida de r
= x + y -3 = 0 eq. geral
y = 3 - x eq. reduzida
RETAS PARALELAS 
duas retas são paralelas quando possuem o
mesmo coeficiente angular
RETAS PERPENDICULARES
duas retas são perpendiculares quando possuem
o inverso e oposto do coeficiente angular uma da
outra
ex.: m = -1s ___
mr
R
P (x, y)
Xc
Yc
(X- Xc) + (Y - Yc) = R2 2 2
(equação reduzida)
para achar a equação geral é só resolver o
produto notável da equação reduzida
b a
FF1 2f
P
A1A 2
B
B
1
2
x + y = 1 2 2___ ___
a b 2 2
a
bf
F1
F2
B 1B2
A1
A2
x + y = 1 2 2___ ___
b a 2 2
a = b + f2 2 2
se o centro da elipse for o ponto C(g, h),
então a equação transforma-se em:
 (x - g) + (y - h) = 1______ ______
a b 
2 2
2 2
| x | = { x, se x ≥ 0- x, se x < 0
ex.: | 7 | = 7 | -4 | = 4
| √7 - √2| = √7 - √2
> 0
|√2 - √7| = - (√2 - √7) = -√2 + √7 = √7 - √2
 < 0
uma equação modular possui duas respostas
ex.: |3x - 2| = 7
3x - 2 = 7 ou 3x - 2 = -7
x = 3 x = -5/3
ex'.: |2x -1| = x + 2
2x - 1 = x + 2 2x - 1 = - (x + 2)
x = 3 x = -1/3