Intervalos e Propriedades do Módulo

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
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ÍNDICE
Intervalos ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Módulo ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Regra Geral ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3
Propriedades do Módulo ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3
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Intervalos
No conjunto dos números reais, definem-se alguns subconjuntos chamados de intervalos, sejam 
a e b reais a < b temos:
Módulo
O módulo ou valor absoluto de um número pode ser entendido como a distância que esse número 
está da origem, ou seja, a distância do ponto até o zero�
Note que a distância do ponto 4 à origem é 4, assim como a distância do ponto – 4 à origem 
também é igual a 4� Dessa forma, dizemos que o módulo de 4 é igual a 4, bem como módulo de – 4 é 
igual a 4� Representamos assim:
 → |4| = 4
 → |-4| = 4
Veja que não há sentido em considerarmos distâncias negativas, logo o módulo de um número é 
sempre um valor positivo�
EXEMPLOS
Por exemplo:
 → |-7| = |7| = 7
 → |-5,3| = |5,3| = 5,3
 → |0| = 0
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Regra Geral
De forma geral, temos que:
|x| = x, se x for um número positivo
|x| = – x, se x for um número negativo
Propriedades do Módulo
1) |a| = |-a|, para todo a real;
2) |x2| = |x|2 = x2, para todo x real;
3) |a � b|=|a|�|b|, para quaisquer a e b reais;
4) |a + b| ≤ |a|+|b|, para quaisquer a e b reais;
5) ||a|-|b|| ≤ |a – b|, para quaisquer a e b reais�
Exercícios
01. Sejam os conjuntos A = {x Î R½2 < x £ 8} e B = {x Î R½5 £ x < 10}� Quantos números inteiros 
estão ao mesmo tempo nos dois conjuntos?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 7
e) 9
02. A igualdade |a+b| = |a|+|b| é válida:
a) para todo real a e b�
b) apenas para os reais a e b tais que a > b�
c) apenas para os reais a e b tais que a < b�
d) para todo a e b racionais�
e) para todo a e b naturais�
03. Julgue os itens a seguir como verdadeiro ou falso�
I. |a| = |-a|, para todo a real;
II. |x2| = |x|2 = x2, para todo x real;
III. |a � b|=|a|�|b|, para quaisquer a e b reais;
IV. |a + b| ≤ |a|+|b|, para quaisquer a e b reais;
V. ||a|-|b|| ≤ |a – b|, para quaisquer a e b reais�
Dessa forma, podemos afirmar que:
a) todas as afirmações são falsas�
b) apenas uma das afirmações é falsa�
c) somente duas afirmações são verdadeiras�
d) apenas uma das afirmações é verdadeira�
e) todas as afirmações são verdadeiras�
Gabarito
01 - C
02 - E
03 - E