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Matemática Financeira - Séries de Pagamentos Uniformes

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Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. 
Paulo Nacaratti (organizador) i 
https://opafinancas.com/ 
 
 
 Matemática 
Financeira 
com HP12C 
Séries de 
pagamentos 
iguais ou 
uniformes 
 
Paulo Roberto Agrizzi Nacaratti (organizador) 
https://opafinancas.com/ 
Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. 
Paulo Nacaratti (organizador) ii 
https://opafinancas.com/ 
Sumário 
Séries de pagamentos................................................................................................. 1 
Características principais: ........................................................................................ 1 
Classificação ............................................................................................................ 2 
Calculadora HP-12C.................................................................................................... 2 
Séries de pagamentos iguais ou uniformes................................................................. 3 
Séries de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados. .................... 3 
Exercícios propostos. ............................................................................................... 8 
Séries de pagamentos iguais com termos antecipados. ........................................ 12 
Exercícios propostos. ............................................................................................. 14 
Referências Bibliográficas ......................................................................................... 17 
 
 
 
Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. 
Paulo Nacaratti (organizador) 1 
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Séries de pagamentos 
Séries de pagamentos são sucessões de pagamentos ou recebimentos 
com vencimentos sucessivos. 
Características principais: 
1) A diferença de prazo entre os termos é constante. 
2) O número de termos é finito. 
3) Os valores dos termos da série: constantes (série de pagamentos iguais 
ou uniformes) ou variáveis. 
4) Os vencimentos dos termos da série: postecipados ou antecipados. 
Observação: Capitalização composta. 
Termos vencidos ou postecipados: os vencimentos dos termos ocorrem 
no final de cada período. 
A primeira prestação ocorre um período após o PV e a última coincidirá 
com FV. 
 
Termos antecipados: os vencimentos dos termos ocorrem no início de 
cada período. 
A primeira prestação sempre coincide com o PV e a última sempre um 
período antes do FV. 
 
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Classificação 
 
Termos: prestações da série (R ou PMT). 
Elementos que compõem uma série de pagamentos iguais: 
a) P ou PV- valor atual ou valor presente; 
b) S ou FV – valor futuro 
c) i (unitária) ou i(%) - taxa de juros 
d) n – número de parcelas; 
e) R ou PMT – valor da parcela. 
Observação: No caso de prazo e taxa em unidades de tempo diferentes, 
calcule a taxa equivalente como na capitalização composta. 
Calculadora HP-12C 
Para configurar que os termos são vencidos ou postecipados: g[END] 
(g[8]). 
Para configurar que os termos são antecipados (aparece a palavra BEGIN 
na parte inferior do visor): g[BEG] (g[7]). 
 
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Séries de pagamentos iguais ou uniformes 
Termos iguais e consecutivos período a período. 
Séries de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados. 
O primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período. 
Fórmulas: 
𝑃 = 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
) 𝑅 = 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃 × (
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
) 
𝑛 =
𝑙𝑛
𝑃𝑀𝑇
[𝑃𝑀𝑇 − (𝑃 × 𝑖)]
𝑙𝑛(1 + 𝑖)
 
𝑆 = 𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] 
𝑛 =
𝑙𝑛 (
𝑉𝐹 × 𝑖
𝑃𝑀𝑇 ) + 1
𝑙𝑛(1 + 𝑖)
 
 
Exemplo 1: Cálculo do montante ou valor futuro. 
Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 
24 parcelas iguais e mensais de $1.000,00 cada uma (termos vencidos), 
sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. 
Observação: 
 f [FIN]f[REG] para apagar a memória. 
 g[END] ou g[8] configurar termos vencidos. 
 [CHS] troca o sinal do número para segui a convenção de fluxo de 
caixa. 
 [PMT] para indicar o valor das parcelas. 
Diagrama de fluxo de caixa. 
 
 
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Dados: R = PMT = 1.000,00; n = 24 parcelas; i = 3,5%a.m.; FV = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória 
g[END] (g8) 0,00 Configuração para termos vencidos. 
24 n 24,00 Número de parcelas. 
1000 CHS PMT – 1.000,00 Valor das parcelas. 
3,5 i 3,50 Taxa de juros. 
FV 36.666,53 Valor do montante (Valor futuro). 
Resposta: O valor do montante será de $36.666,53. 
Importante: confira a configuração para o tipo de vencimento (vencidos 
ou antecipados) dos termos da série antes de resolver os exercícios. 
 
Exemplo 2: Cálculo do capital ou do valor presente. 
Um empréstimo deve ser liquidado em 12 parcelas mensais de $2.500,00 
cada uma, e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, 
calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado. 
Dados: n = 12 parcelas, R = PMT = 2.500,00; i = 4,75% a.m.; PV = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória 
12 n 12,00 Número de parcelas. 
2500 CHS PMT – 2.500,00 Valor das parcelas. 
4,75 i 4,75 Taxa de juros. 
PV 22.473,89 Valor do empréstimo (Valor presente). 
Resposta: O valor do empréstimo é $22.473,89. 
 
Exemplo 3: Cálculo do capital ou do valor presente. 
Um empréstimo bancário deverá ser pago em 4 parcelas mensais de $ 
540,00 cada, sendo a primeira a ser paga 30 dias após a assinatura do contrato. 
Se a taxa utilizada é de 50% ao ano, calcule o valor do empréstimo. 
Como n (4 parcelas mensais) e i (50% a.a.) não estão na mesma unidade 
de tempo, é preciso calcular a taxa equivalente. 
Cálculo da taxa mensal equivalente à taxa i = 50% a.a. = 0,5 a.a. 
Com a fórmula S = (1+i)n e a HP. 
Dados: P = 1; n = 1 mês = 1/12 ano (a taxa informada é anual); i = 50% a.a. 
= 0,5 a.a. 
S = (1 + 0,5)1/12 (montante produzido em 1 mês). E a taxa será i = S – 1. 
 
Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. 
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Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do que está entre parênteses. 
0,5 + 1,5 
12 1/x Yx 1,03 Cálculo de S = (1+ 0,5)1/12. 
1 – 0,03 Cálculo de i = S – 1. Taxa na forma fracionária. 
100 × 3,44 Taxa mensal (equivalente) na forma percentual. 
i 3,44 Inclusão da taxa mensal. 
4 n 4,00 Número de parcelas. 
540 CHS PMT – 540,00 Inclusão do valor das parcelas. 
PV 1.986,45 Valor do empréstimo (Valor Presente). 
Resposta: O valor do empréstimo é de $1.986,45. 
A taxa equivalente também pode ser calculada pela seguinte fórmula: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎)
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,5)
30
360 − 1] × 100 = [(1 + 0,5)
1
12 − 1] × 100 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do que está entre parênteses. 
0,5 + 1,5 
12 1/x Yx 1,03 Cálculo de S = (1+ 0,5)1/12. 
1 – 0,03 Cálculo de i = S – 1. Taxa na forma fracionária. 
100 × 3,44 Taxa mensal (equivalente) na forma percentual. 
i 3,44 Inclusão da taxa mensal. 
4 n 4,00 Número de parcelas. 
540 CHS PMT – 540,00 Inclusão do valor das parcelas. 
PV 1.986,45 Valor do empréstimo (Valor Presente). 
 
Exemplo 4: Cálculo do valor das parcelas. 
Ao final de 2 anos um investimento gerou um montante de $36.666,53. 
Calcule o valor das parcelas (termos vencidos), sabendo-se que a taxa de juros é 
de 3,5% ao mês. 
Dados: S = VF = 36.666,53; n = 2 anos = 24 parcelas

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