Matemática Financeira - Séries de Pagamentos Uniformes

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Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. 
Paulo Nacaratti (organizador) i 
https://opafinancas.com/ 
 
 
 Matemática 
Financeira 
com HP12C 
Séries de 
pagamentos 
iguais ou 
uniformes 
 
Paulo Roberto Agrizzi Nacaratti (organizador) 
https://opafinancas.com/ 
Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. 
Paulo Nacaratti (organizador) ii 
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Sumário 
Séries de pagamentos................................................................................................. 1 
Características principais: ........................................................................................ 1 
Classificação ............................................................................................................ 2 
Calculadora HP-12C.................................................................................................... 2 
Séries de pagamentos iguais ou uniformes................................................................. 3 
Séries de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados. .................... 3 
Exercícios propostos. ............................................................................................... 8 
Séries de pagamentos iguais com termos antecipados. ........................................ 12 
Exercícios propostos. ............................................................................................. 14 
Referências Bibliográficas ......................................................................................... 17 
 
 
 
Matemática Financeira com HP12C – Séries de Pagamentos. 
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Séries de pagamentos 
Séries de pagamentos são sucessões de pagamentos ou recebimentos 
com vencimentos sucessivos. 
Características principais: 
1) A diferença de prazo entre os termos é constante. 
2) O número de termos é finito. 
3) Os valores dos termos da série: constantes (série de pagamentos iguais 
ou uniformes) ou variáveis. 
4) Os vencimentos dos termos da série: postecipados ou antecipados. 
Observação: Capitalização composta. 
Termos vencidos ou postecipados: os vencimentos dos termos ocorrem 
no final de cada período. 
A primeira prestação ocorre um período após o PV e a última coincidirá 
com FV. 
 
Termos antecipados: os vencimentos dos termos ocorrem no início de 
cada período. 
A primeira prestação sempre coincide com o PV e a última sempre um 
período antes do FV. 
 
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Classificação 
 
Termos: prestações da série (R ou PMT). 
Elementos que compõem uma série de pagamentos iguais: 
a) P ou PV- valor atual ou valor presente; 
b) S ou FV – valor futuro 
c) i (unitária) ou i(%) - taxa de juros 
d) n – número de parcelas; 
e) R ou PMT – valor da parcela. 
Observação: No caso de prazo e taxa em unidades de tempo diferentes, 
calcule a taxa equivalente como na capitalização composta. 
Calculadora HP-12C 
Para configurar que os termos são vencidos ou postecipados: g[END] 
(g[8]). 
Para configurar que os termos são antecipados (aparece a palavra BEGIN 
na parte inferior do visor): g[BEG] (g[7]). 
 
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Séries de pagamentos iguais ou uniformes 
Termos iguais e consecutivos período a período. 
Séries de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados. 
O primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período. 
Fórmulas: 
𝑃 = 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × (
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
) 𝑅 = 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃 × (
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
) 
𝑛 =
𝑙𝑛
𝑃𝑀𝑇
[𝑃𝑀𝑇 − (𝑃 × 𝑖)]
𝑙𝑛(1 + 𝑖)
 
𝑆 = 𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] 
𝑛 =
𝑙𝑛 (
𝑉𝐹 × 𝑖
𝑃𝑀𝑇 ) + 1
𝑙𝑛(1 + 𝑖)
 
 
Exemplo 1: Cálculo do montante ou valor futuro. 
Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 
24 parcelas iguais e mensais de $1.000,00 cada uma (termos vencidos), 
sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. 
Observação: 
 f [FIN]f[REG] para apagar a memória. 
 g[END] ou g[8] configurar termos vencidos. 
 [CHS] troca o sinal do número para segui a convenção de fluxo de 
caixa. 
 [PMT] para indicar o valor das parcelas. 
Diagrama de fluxo de caixa. 
 
 
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Dados: R = PMT = 1.000,00; n = 24 parcelas; i = 3,5%a.m.; FV = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória 
g[END] (g8) 0,00 Configuração para termos vencidos. 
24 n 24,00 Número de parcelas. 
1000 CHS PMT – 1.000,00 Valor das parcelas. 
3,5 i 3,50 Taxa de juros. 
FV 36.666,53 Valor do montante (Valor futuro). 
Resposta: O valor do montante será de $36.666,53. 
Importante: confira a configuração para o tipo de vencimento (vencidos 
ou antecipados) dos termos da série antes de resolver os exercícios. 
 
Exemplo 2: Cálculo do capital ou do valor presente. 
Um empréstimo deve ser liquidado em 12 parcelas mensais de $2.500,00 
cada uma, e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, 
calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado. 
Dados: n = 12 parcelas, R = PMT = 2.500,00; i = 4,75% a.m.; PV = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória 
12 n 12,00 Número de parcelas. 
2500 CHS PMT – 2.500,00 Valor das parcelas. 
4,75 i 4,75 Taxa de juros. 
PV 22.473,89 Valor do empréstimo (Valor presente). 
Resposta: O valor do empréstimo é $22.473,89. 
 
Exemplo 3: Cálculo do capital ou do valor presente. 
Um empréstimo bancário deverá ser pago em 4 parcelas mensais de $ 
540,00 cada, sendo a primeira a ser paga 30 dias após a assinatura do contrato. 
Se a taxa utilizada é de 50% ao ano, calcule o valor do empréstimo. 
Como n (4 parcelas mensais) e i (50% a.a.) não estão na mesma unidade 
de tempo, é preciso calcular a taxa equivalente. 
Cálculo da taxa mensal equivalente à taxa i = 50% a.a. = 0,5 a.a. 
Com a fórmula S = (1+i)n e a HP. 
Dados: P = 1; n = 1 mês = 1/12 ano (a taxa informada é anual); i = 50% a.a. 
= 0,5 a.a. 
S = (1 + 0,5)1/12 (montante produzido em 1 mês). E a taxa será i = S – 1. 
 
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Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do que está entre parênteses. 
0,5 + 1,5 
12 1/x Yx 1,03 Cálculo de S = (1+ 0,5)1/12. 
1 – 0,03 Cálculo de i = S – 1. Taxa na forma fracionária. 
100 × 3,44 Taxa mensal (equivalente) na forma percentual. 
i 3,44 Inclusão da taxa mensal. 
4 n 4,00 Número de parcelas. 
540 CHS PMT – 540,00 Inclusão do valor das parcelas. 
PV 1.986,45 Valor do empréstimo (Valor Presente). 
Resposta: O valor do empréstimo é de $1.986,45. 
A taxa equivalente também pode ser calculada pela seguinte fórmula: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎)
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,5)
30
360 − 1] × 100 = [(1 + 0,5)
1
12 − 1] × 100 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
1 ENTER 1,00 
Cálculo do que está entre parênteses. 
0,5 + 1,5 
12 1/x Yx 1,03 Cálculo de S = (1+ 0,5)1/12. 
1 – 0,03 Cálculo de i = S – 1. Taxa na forma fracionária. 
100 × 3,44 Taxa mensal (equivalente) na forma percentual. 
i 3,44 Inclusão da taxa mensal. 
4 n 4,00 Número de parcelas. 
540 CHS PMT – 540,00 Inclusão do valor das parcelas. 
PV 1.986,45 Valor do empréstimo (Valor Presente). 
 
Exemplo 4: Cálculo do valor das parcelas. 
Ao final de 2 anos um investimento gerou um montante de $36.666,53. 
Calcule o valor das parcelas (termos vencidos), sabendo-se que a taxa de juros é 
de 3,5% ao mês. 
Dados: S = VF = 36.666,53; n = 2 anos = 24 parcelasmensais; i = 3,5% ao 
mês. 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 
36.666,53 FV 36.666,53 Inclusão do montante (valor futuro). 
3,5 i 3,50 Inclusão da taxa mensal. 
24 n 24,00 Número de parcelas. 
PMT – 1.000,00 Valor das parcelas. 
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PMT = – 1.000,00 porque a calculadora segue a convenção de fluxo de 
caixa (VF foi incluído positivo). 
Resposta: O valor das parcelas foi de $1.000,00. 
 
Exemplo 5: Cálculo da taxa. 
Um investimento de 24 parcelas mensais, a termos vencidos, de $ 
1.000,00 gerou um montante de $36.666,53. Calcule a taxa do investimento. 
Dados: S = VF = 36.666,53 R = PMT = 1.000,00; n = 24; i = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 
36.666,53 FV 36.666,53 Inclusão do montante (valor futuro). 
24 n 24,00 Número de parcelas. 
PMT – 1.000,00 Valor das parcelas. 
i 3,50 Valor da taxa. 
Resposta: A taxa do investimento foi de 3,5% a.m. 
 
Exercícios resolvidos. 
1) A compra de uma televisão foi financiada em 10 parcelas iguais. A loja 
cobra juros de 5% ao mês e a primeira parcela vence 30 dias após a compra. 
Calcule o valor das parcelas, sabendo que o valor à vista da TV é de $1.500,00. 
Dados: P = 1.500,00, n = 10 parcelas iguais vencidas, i = 5% a.m.; PMT = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 
1500 PV 1.500,00 Valor a ser financiado. 
0 FV 0,00 Indica que todo o valor será financiado. 
10 n 10,00 Número de parcelas. 
5 i 5,00 Taxa de juros ao mês. 
PMT – 194,26 Valor das parcelas. 
Resposta: O valor das parcelas será de $194,26. 
Observação: A inclusão do FV é opcional. Veja o próximo exercício. 
 
2) Suponha a compra de um carro nas seguintes condições: uma entrada 
de $3.500,00 mais 36 prestações iguais. Sabendo que o valor do veículo à vista 
é de 16.000,00 e a taxa de financiamento, de 2,7214%a.m., calcule o valor das 
prestações. 
Dados: 
a) Entrada = 3.500,00; 
b) P = PV = 16.000,00 – 3.500,00 = 12.500,00 (valor a ser financiado); 
c) Número de parcelas – n = 36; 
d) Taxa de financiamento – i = 2,7214%a.m. 
 
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Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 
16000 ENTER 16.000,00 Valor do veículo. 
3500 [–] PV 12.500,00 Cálculo do valor a ser financiado. 
36 n 36,00 Número de parcelas. 
2,7214 i 2,7214 Taxa de financiamento. 
PMT – 549,00 Valor da parcela. 
Resposta: O valor das parcelas será de $549,00. 
 
3) Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de 
$1.000,00 por mês a taxa de 3% ao mês? 
Dados: R = PMT = 1.000,00; n = 8; i = 3% a.m.; FV = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 
1000 CHS PMT – 1.000,00 Valor dos depósitos mensais (parcelas). 
8 n 8,00 Número de depósitos (parcelas). 
3 i 3,00 Taxa de juros. 
FV 8.892,34 Montante. 
Resposta: O montante será de $8.892,34. 
 
4) Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um “Fundo de Renda 
Fixa”, à taxa de 5% ao bimestre, durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no 
final desse prazo, um montante de $175.000,00? 
Dados: FV = 175.000,00; i = 5% a.b. n = 3,5 anos. 
Cálculo do número de parcelas (i e n estão em unidades de tempo 
diferentes): n = (3,5 × 12)/2 = 21 parcelas bimestrais. 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
175000 FV 175.000,00 Montante ou valor futuro. 
21 n 21,00 Número de parcelas. 
5 i 5,00 Taxa de juros. 
PMT – 4.899,32 Valor das aplicações bimestrais. 
Resposta: Deve ser aplicado $4.899,32 a cada 2 meses. 
 
5) Uma pessoa aplicou mensalmente a quantia de $800,00, durante 5 
anos, a uma taxa de 42,576% ao ano. Além das aplicações mensais, ela também 
fará uma aplicação extra de $3.000,00, no final de cada ano, isto é, no final do 
mês de dezembro, aproveitando parte do seu 13º salário. Qual valor do 
montante no final do 60º mês, sabendo-se que a data-base é final de dezembro 
do ano de 19XY, e que a primeira parcela será aplicada no final do mês 
seguinte? 
É um problema que apresenta duas séries de pagamentos iguais. 
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Série 1: com 60 prestações mensais de $800,00. 
Série 2: com 5 aplicações anuais de 3.000,00. 
Cálculo do montante da Série 1. 
Dados: PMT = R = 800,00; n = 60 aplicações mensais; i = 42,576% a.a. 
É preciso calcular a taxa equivalente 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎)
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐷𝐸𝑆𝐸𝐽𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆
𝑃𝑅𝐴𝑍𝑂 𝐷𝐴 𝑇𝐴𝑋𝐴 𝐼𝑁𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐸𝑀 𝐷𝐼𝐴𝑆 − 1] × 100 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = [(1 + 0,42576)
30
360 − 1] × 100 = [(1,42576)
1
12 − 1] × 100 
Teclas Visor 
f FIN f REG 
1,42576 ENTER 1,42576 
12 1/x Yx 1,03 
1 – 0,03 
100 × 3,00 
Taxa equivalente: i = 3%a.m. 
Continuando 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 
Cálculo da taxa equivalente (taxa mensal). 
1,42576 ENTER 1,42576 
12 1/x Yx 1,03 
1 – 0,03 
100 × 3,00 
i 3,00 
Cálculo do montante da Série 1. 
60 n 60,00 
800 CHS PMT –800,00 
FV 130.442,49 
STO 1 130.442,49 Armazenando o resultado no registrador 1. 
5 n 5,00 
Cálculo do montante da Série 2. 
42,576 i 42,576 
3000 CHS PMT –3.000,00 
FV 34.467,20 
ENTER RCL 1 130.442,49 Recuperando o conteúdo do registrador 1. 
+ 164.909,69 Soma dos montantes das séries 1 e 2. 
Resposta: O montante ao final do 60º mês será de $164.909,69. 
Exercícios propostos. 
1) Uma pessoa depositou, anualmente, $500,00 num conta de poupança, 
em nome de seu filho, a juros de 6% ao ano. O primeiro depósito foi feito no dia 
em que o filho completou 1 ano, e o último por ocasião do seu 18º aniversário. 
O dinheiro ficou depositado até o dia em que o filho completou 21anos, ocasião 
em que o montante foi sacado. Quanto recebeu o filho? Resposta:$18.404,56. 
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2) Um companhia aérea, vende uma passagem para o exterior no valor de 
$1.900,00. A passagem será parcelada no cartão de crédito em 7 vezes, 
cobrando por isso 3% ao mês. Calcule o valor das parcelas. 
Resposta: $304,96. 
3) Um projetor multimídia custa $9.800,00. Ele pode ser parcelado em 10 
vezes. Caso um entrada de $2.700,00 seja dada qual o valor das parcelas? (Taxa 
de financiamento: 2,7% ao mês). 
Resposta: $819,64 
4) ”Compre um Home theater de $2.900,00 em 18 pagamentos mensais 
fixos”. Esse é o anúncio da loja. Se a taxa de juros cobrada em tal promoção for 
5,5% ao mês, qual o valor das prestações? 
Resposta: $257,87 
5) Quatro pneus do modelo Dyroad hoje custam $275,00 cada um. 
Considerando que você pagará um á vista e os outros três em 6 parcelas, calcule 
o valor de cada parcela, se foi cobrada uma taxa de juros de 6,9% ao mês. 
Resposta: $172,55 
6) No exercício anterior acrescente a compra de amortecedores no valor 
de $700,00 e mais $200,00 à entrada. 
Resposta: $277,12 
7) Um visor de cristal líquido para um computador desk top custa 
$1.400,00. Se um entrada de 65% for efetuada e o restante financiado a 2% ao 
mês, calcule o valor das parcelas. Suponha 12 pagamentos mensais fixos. 
Resposta; $46,33 
8) Um imóvel de $110.000,00 será financiado em 120 pagamentos 
mensais. Calcule o valor das parcelas, sabendo que o banco cobra uma taxa de 
1% ao mês e que não existem intermediárias. 
Resposta: $1.578,18. 
9) Um aparelho eletroeletrônico foi comprado por 5 (0 + 5) prestações 
mensais iguais e postecipadas de $263,79. A financeira informou que a taxa 
cobrada foi 10% ao mês. Determine o valor à vista do aparelho. 
Resposta: 999,97. 
10) Uma máquina de lavar roupas é vendida em 10 prestações mensais e 
iguais de $199,99, com o primeiro pagamento para 30 dias. Determinar o preço 
da máquina, sabendo que a loja cobra em financiamentos 1% a.m.de juros. 
Resposta: $1.894,17 
11) Uma bicama é oferecida nas seguintes condições: uma entrada de 
$100,00 mais 5 prestações mensais de $80,00. A financeira cobra uma taxa de 
juros de 3% a.m. Com base nessas informações, calcule o preço à vista. 
Resposta: $466,38 
 
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12) Uma moto de $40.000,00 é financiada em 36 vezes à taxa de 2,2% ao 
mês. Determine qual o valor das parcelas mensais. 
Resposta: $1.620,16. 
13) Uma bolsa feminina é vendida em 12 prestações mensais de $29,80, 
sem entrada. Qual o valor à vista do produto, se a taxa de juros cobrada é de 
4,76% a.m.? 
Resposta: $267,74 
14) Um aparelho de telefone é oferecido por 2 prestações de $88,32, sem 
entrada. Qual o valor à vista do produto, se a taxa de juros cobrada é de 1,5% 
a.m.? 
Resposta: $172,14 
15) Uma loja anuncia que uma geladeira de $2.200,00 pode ser paga em 
6 vezes sem entrada. Se a loja cobra 4% a.m. de seus clientes, calcule o valor das 
parcelas. 
Resposta: $419,68 
16) Você está interessado em saber o valor à vista de um bicicleta 
anunciada por 7 parcelas de $200,00. A loja informa que a taxa cobrada nesse 
financiamento é de 3,4% ao mês. Qual o valor da bicicleta à vista? 
Resposta: $1.227,49 
17) Calcule o preço à vista de um automóvel financiado em 18 prestações 
sem entrada de $2.860,00, à taxa de 2,42% a.m. 
Resposta: $41.335,20 
18) Um sítio é vendido por $348.000,00 à vista. Você propõe 40% de 
entrada e o restante em 120 parcelas fixas e postecipadas, que devem ser 
calculadas à taxa de 1%a.m. Qual é o valor das prestações? 
Resposta: $2.995,67 
19) Você recebe uma boa proposta de mudança de emprego com luvas. 
Com o dinheiro recebido, pretende pagar um MBA que custa $1.200,00 mensais 
e tem duração de 24 meses. Quanto você precisa destinar de seu dinheiro para 
que, aplicado a 1%a.m., ele pague seu curso? 
Resposta: $25.492,06 
20) A financeira Superinvest oferece crédito a 11%a.m. Uma pessoa 
deseja fazer um empréstimo de $700,00 e ainda tem de financiar uma taxa de 
$80,00. Calcule o valor das parcelas sabendo que o empréstimo deve ser 
quitado em 8 meses. 
Resposta: $151,57 
21) Uma empresa compra uma máquina em 7 parcelas semestrais de 
$21.000,00. Nesse contrato, a taxa de juros acertada foi prefixada em 12% ao 
semestre. Determine o valor à vista da máquina. 
Resposta: $95.838,89 
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22) Uma empresa compra uma máquina em 9 parcelas bimestrais de 
$17.000,00. Nesse contrato, a taxa de juros acertada foi prefixada em 3% ao 
bimestre. Determine o valor que pode ser pago pela máquina, sabendo que 
existe um desconto de 15% à vista. 
Resposta: $112.509,27 
23) Um conjunto de móveis para sala custa à vista $930,00. Ele pode se 
pago em prestações mensais de $120,56, sem entrada, à taxa de juros de 3,2% 
a.m. Em quantas prestações ele deve ser vendido? 
Resposta: 9 prestções. 
24) Quantas prestações de $314,75 serão necessárias para pagar um 
microcomputador que custa $2.500,00 à vista? O plano é sem entrada e a taxa 
de juros é de 7% a.m. 
Resposta: 12 prestações 
25) Um aparelho de TV custa $1.000,00 à vista. A loja cobra uma taxa de 
juros de 8,20% a.m. Você pode pagar somente prestações mensais iguais de 
$150,38 e sem entrada. Em quantas prestações mensais você deverá pagar? 
Resposta: 10 prestações. 
26) Você deposita ao final de cada mês, $105,00, durante 24 meses. O 
banco remunera essa operação a uma taxa de 1,5% ao mês. Sabendo que o 
saque do montante acumulado será feito a última parcela, calcule esse valor. 
Resposta: $3.006,52 
27) Uma pessoa pretende fazer um curso de línguas no exterior daqui a 
um ano. Esse curso custa $25.000,00, dos quais você já possui $11.000,00. 
Refazendo as usas contas, você percebe que pode aplicar, ao final de cada mês, 
$1.080,00. Se o banco remunera esse tipo de operação a 1,30% ao mês, 
determine o montante acumulado somente desses depósitos ao final do último 
mês e diga se essa pessoa conseguirá pagar o curso. Considere o valor de 
$11.000,00 será aplicado à mesma taxa pelo mesmo período. 
Resposta: O montante acumulado será de $26.772,16 (S = 13.927,99 + 
12.844,17) e conseguirá pagar o curso. 
28) Você pretende comprar um equipamento para sua empresa que custa 
$1.250,00. Quanto você deverá depositar ao final de cada mês em um fundo de 
investimento de alto risco para que, ao completar 8 depósitos, tenha esse 
dinheiro? (Taxa de remuneração do fundo: 5% a.m.) 
Resposta: $130,90 
29) Um investidor resolveu fazer 10 aplicações mensais da seguinte 
maneira: 
a) 5 prestações iniciais iguais de $1.000,00; 
b) 5 prestações restantes iguais de $2.000,00; 
Sabendo-se que essa aplicação proporcionará um rendimento de 2,75% 
ao mês, calcular o saldo acumulado de capital mais juros à disposição do 
investidor no final do 10º mês. Resposta: $16.615,43 
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30) Márcio e Daniela pretendem casar-se dentro de 20 meses. Como 
entendem ser mais aconselhável adquirir a vista todos os móveis necessários, 
pretendem fazer aplicações mensais cujo montante deverá ser sacado 3 meses 
antes do casamento, para a devida compra. Sabendo-se que : 
a) Essa aplicação deverá render 2,25% ao mês; 
b) O montante desejado é de $80.000,00 (valor qe os mesmos 
estimam para os móveis daqui a 17 meses); 
c) O casal aplicou hoje $12.000,00; 
Indaga-se qual o valor de cada uma das aplicações mensais iguais e 
consecutivas, necessárias para totalizar um montante de $80.000,00 no final do 
período. 
Resposta: $3.057,95 
Séries de pagamentos iguais com termos antecipados. 
O primeiro pagamento/recebimento é feito no instante inicial (início do 
período). 
Fórmulas 
𝑃 = 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × [
(1 + 𝑖)𝑛+1 − 1 − 𝑖
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] 𝑃𝑀𝑇 = [
𝑃 × 𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛+1 − 1 − 𝑖
] 
𝑆 = 𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × [
(1 + 𝑖)𝑛+1 − 1 − 𝑖
𝑖
] 
 
 
Exemplo 6: Cálculo do capital ou do valor presente. Agora vamos refazer 
o exemplo 2, mas considerando que os termos da série são antecipados. 
Observação: 
 f [FIN]f[REG] para apagar a memória. 
 g[BEG] ou g[7] configurar termos antecipados. 
 [CHS] troca o sinal do número para segui a convenção de fluxo de 
caixa. 
 [PMT] para indicar o valor das parcelas. 
Um empréstimo deve ser liquidado em 12 parcelas mensais de $2.500,00 
cada uma, e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, 
calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado. 
Diagrama de fluxo de caixa. 
 
 
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Dados: n = 12 parcelas, R = PMT = 2.500,00; i = 4,75% a.m.; PV = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória 
g[BEG](g7) 0,00 Configuração para termos antecipados. 
12 n 12,00 Número de parcelas. 
2500 CHS PMT – 2.500,00 Valor das parcelas. 
4,75 i 4,75 Taxa de juros. 
PV 23.541,40 Valor do empréstimo (Valor presente). 
Resposta: O valor do empréstimo é $23.541,40. 
Comparando os resultados: 
Valor do empréstimo com termos vencidos: 22.473,89. 
Valor do empréstimo com termos antecipados: 23.541,40. 
 
Exemplo 7: Cálculo das prestações. 
Um eletrodoméstico de $1.000,00 será pago em 5 parcelas (1 + 4) iguais 
com entrada igual às parcelas. A loja cobrou uma taxa de juros de 10% ao mês. 
Determine o valor de cada parcela. 
Dados: P = $1.000,00; n = 5 parcelas; i = 10% a.m.; PMT = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória 
g[BEG](g7) 0,00 Configuração para termos antecipados. 
5 n 5,00 Número de parcelas. 
10 i 10,00 Taxa de juros. 
1000 PV 1.000,00 Valor do eletrodoméstico. 
PMT – 239,82 Valor das prestações 
Resposta: O valor das prestações é de $239,82.Exemplo 8: Cálculo do valor presente. 
Calcule o preço à vista de uma máquina fotográfica adquirida em (1 + 9) 
prestações mensais de $200,00, se a taxa de juros for de 3% ao mês? 
Dados: R=PMT=200,00; i = 3%a.m.; n = 10 parcelas; P=VP=? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 
200 CHS PMT – 200,00 Valor das prestações. 
3 i 3,00 Taxa de juros. 
10 n 10,00 Número de parcelas. 
PV 1.757,22 Valor presente (preço à vista). 
Resposta: O preço à vista é $1.757,22. 
 
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Exemplo 9: Cálculo do Valor Futuro. 
Um cliente deseja depositar $100,00 no início de cada mês pelos 
próximos 100 meses. Se o banco paga juros de 1,10% a.m., qual será o 
montante no final desse período? 
Dados: R = PMT= 100,00; i = 1,10% a.m.; n = 100 meses, S = VF = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 
100 CHS PMT – 100,00 Valor dos depósitos. 
1,1 i 1,10 Taxa de juros. 
100 n 100,00 Número de depósitos. 
FV 18.254,77 Valor futuro (montante). 
Resposta: O montante disponível ao final do período será de $18.254,77. 
 
Exemplo 10: Cálculo da taxa de juros em um financiamento. 
Uma mercadoria está anunciada por $120,00. Contudo, o comerciante 
adota a seguinte política para venda: 
a) A vista: o preço anunciado de $120,00 tem um desconto de 10%; 
b) A prazo: o preço anunciado é dividido para pagamento em três 
prestações iguais e mensais de $40,00 cada, vencendo a primeira 
no ato da compra; 
Qual a taxa de juros compostos mensal cobrada na venda a prazo? 
O valor a ser financiado será o valor pago a vista, com desconto: 0,9 × 
120,00 = 108,00. 
Dados: R = PMT= 40,00; n = 3, VF = 108,00; i = ? 
Teclas Visor Comentários 
f FIN f REG 0,00 Limpar a memória. 
40 CHS PMT – 40,00 Valor dos depósitos. 
108 PV 108,00 Valor Presente, valor que será financiado. 
3 n 3,00 Número de depósitos. 
i 11,55 Taxa de juros. 
Resposta: A taxa de juros do financiamento é de 11,55% a.m. 
 
Exercícios propostos. 
1) Determinado produto é vendido por $900,00 à vista. Calcule o valor de 
(1 + 11) parcelas financiadas a 3% ao mês. 
Resposta: $87,78 
2) Um freezer é vendido à vista por 1.380,00 ou em (1 + 5) prestações 
mensais iguais. Calcule o valor de cada prestação, sabendo que a taxa de juros 
praticada pela loja é de 3,7% ao mês. 
Resposta: $251,38 
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3) Cada pneu do modelo Dryroad custa home $275,00. Considerando que 
você vai comprar quatro e que um você pagará à vista e os outros três em (1 + 
5) parcelas, calcule o valor de cada parcela se a taxa de juros cobrada foi de 
6,9% ao mês. Resposta: $161,41 
4) Considere os mesmos dados do exercício anterior e some gastos com 
os amortecedores, de $700,00. 
Resposta: $298,36 
5) Um imóvel de $110.000,00 será financiado em (1 + 119) pagamentos 
mensais. Calcule o valor das parcelas sabendo que o banco cobra uma taxa de 
1% ao mês e que não existem intermediárias. 
Resposta: $1.562,55 
6) Em relação ao exercício anterior, calcule de quanto foi a economia de 
quem optou por comprar o imóvel com entrada. (Compare com o plano sem 
entrada). 
Resposta: $1.875,60 
7) Uma televisão de 100 poleadas pode ser comprada em (1 + 11) 
prestações mensais iguais e consecutivas de $1.599,00. Determine o preço à 
vista, sabendo que a loja cobra 3,9% a.m. de juros. 
Resposta: $15.682,86 
8) Hoje vence a primeira de 12 parcelas de $350,00 referentes a um 
empréstimo. Você recebeu um dinheiro e quer antecipar todas elas para 
pagamento imediato. Considerando a taxa de juros compostos contratada de 
2% a.m., qual o valor atual a ser pago? 
Resposta: $3.775,40 
9) Uma bela cozinha é vendida por (1 + 23) prestações mensais fixas de 
$59,50. Qual o preço à vista, se a taxa de juros for de 4,20% ao mês? 
Resposta: $926,23 
10) Determine o preço à vista de uma filmadora financiada a 4,6% ao mês 
em (1 + 5) prestações mensais, iguais e sucessivas de $230,00. 
Resposta: $1.236,89 
11) Se uma pessoa depositar mensalmente $50,00 em um banco, a 
começar de hoje, quanto ela terá acumulado no final de 5 anos? (Taxa média 
prevista: 0,78% ao mês) 
Resposta: $3.836,75 
12) Um banco remunera suas aplicações a 2,10% ao mês. Quanto. Deverá 
ser depositado, a partir de hoje, para que ao final de 50 meses o montante de 
$14.300,00 seja atingido? 
Resposta: $161,01 
 
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13) Uma moto está sendo vendida por $8.000,00, para pagamento a vista 
ou em12 prestações iguais e mensais, sendo a primeira paga no ato da compra. 
Calcule o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros compostos 
cobrada pela loja foi de 8% ao mês. 
Resposta: $982,93 
14) Um televisor pode ser comprado por $959,31 à vista ou em seis vezes 
(entrada e mais cinco prestações de $180,00). Calcule a taxa do financiamento. 
Resposta: 5% ao mês. 
15) Determinar qual o valor de um equipamento financiado em 24 
prestações iguais de $5.504,03, sabendo-se que a taxa de juros cobradas é de 
3,5% ao mês e que a primeira prestação é paga no ato da assinatura do 
contrato. 
Resposta: $84.000,05 
16) Um terreno é colocado à venda por $180.000,00 a vista ou em 10 
prestações bimestrais, sendo a primeira prestação paga na data do contrato. 
Determinar o valor de cada parcela, sabendo que o proprietário está cobrando 
uma taxa de 34% ao ano pelo financiamento. 
Resposta: $22.199,70 
17) Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas 
mensais de $2.500,00 cada uma, e que a taxa cobrada pela instituição 
financeira é de 4,75% ao mês, calcular o valor líquido a ser entregue ou 
creditado ao financiado: 
a) De acordo com o conceito de termos postecipados. 
b) De acordo com o conceito de termos antecipados. 
Respostas: a) $22.473,89; b) $23.541,40 
18) Um equipamento, no valor de $50.000,00, é financiado para 
pagamento em 13 parcelas iguais de $5.328,31, sendo a primeira paga no ato 
da compra. Calcular a taxa de juros cobrada. 
Resposta: 6% ao mês. 
19) Quanto terá no final do 13º mês uma pessoa que aplicar 13 parcelas 
mensais, iguais e consecutivas de $2.000,00 cada uma, à taxa de 3% ao mês, 
sendo que a aplicação da primeira parcela ocorre hoje? 
Resposta: $32.172,65 
20) Uma máquina foi adquirida para ser paga em 24 parcelas iguais, 
mensais e consecutivas de $3.836,66. Sabendo-se que o valor a vista da 
máquina é de $60.000,00, que a primeira prestação é devida no ato da 
assinatura do contrato e a última no final do 23º mês, calcular a taxa de juros 
cobrada no financiamento. 
Resposta: 4,15% a.m. 
 
 
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Referências Bibliográficas 
Gimenes, Cristiano Marchi. Matemática financeira. 2.ed. São Paulo: Prentice 
Hall, 2009. 
Pinto, Andrew Carvalho. Matemática Financeira com a HP12C – São Paulo: 
Barros Fischer & Associados: Clio Editora, 2010. 
Samanez, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de 
Investimentos – São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
Tosi, Armando José. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000: 
aplicável também às versões 5.0, 7.0, 97, 2002 e 2003. – 3.ed. – São Paulo: Atlas, 
2008. 
Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7a. edição. São Paulo: 
Atlas, 2010. 
Vieira Sobrinho, José Dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C: 
Tradicional/Platinum/Prestige. – 3.ed. – São Paulo: Atlas, 2008. 
HP 12C calculadora financeira: guia do usuário. 5ª. edição.