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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Aula 4- Arranjos Simples E Com Repetição
Arranjos Simples E Com Repetição– Aula 4
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Conteúdo Programático desta aula:
• Arranjos Simples
Definição
Fórmulas
Exercícios
• Arranjos com Repetição
Definição
Fórmulas
Exercícios
Arranjos Simples E Com Repetição– Aula 4
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ARRANJOS SIMPLES
Definição
Considere um conjunto com n elementos distintos.
Chama-se arranjo dos n elementos tomados p a p , a qualquer
agrupamento de p elementos distintos escolhidos entre os n
elementos existentes.
Observação:
Note que ARRANJO é o tipo de agrupamento em que
um grupo é diferente de outro pela ORDEM ou pela NATUREZA
dos elementos componentes.
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FÓRMULA
O número de arranjos simples de n elementos tomados p 
a p é dado por:
ou
Observação: 
)1)...(3)(2)(1(
,
+−−−−== pnnnnnAA pn
p
n
)!(
!
, pn
n
AA pn
p
n −
==
nAn =
1
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EXEMPLOS
1.De quantas maneiras diferentes podem 7 pessoas sentar
em 5 cadeiras enfileiradas?
SOLUÇÃO:
Organizando uma maneira delas se sentarem temos: ABCDE
Invertendo a ordem temos: EDCBA
Note que ABCDE ≠ EDCBA
Temos então:
ou
25203.4.5.6.7
5
7
==A
25207.6.5.4.3
!2
!7
)!57(
!75
7
===
−
=A
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2.De um baralho de 52 cartas, 3 cartas são retiradas
sucessivamente e sem reposição.Quantas sequências de cartas
é possível obter?
SOLUÇÃO:
Observe que cada retirada corresponde a uma tripla
ordenada de cartas (a,b,c) onde a é a primeira carta, b a
segunda e c a terceira.
Como a extração é feita sem reposição notamos que a,
b e c são todas distintas.
Logo, temos:
600.13250.51.52
3,52
==A
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3.Quantos números, entre 1.000 e 8.000 podemos formar com
os algarismos ímpares, sem os repetir?
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4.A primeira fase do quadrangular mundial de basquete
feminino é disputado pelas seleções do Brasil, Polonia, Russia
e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três
primeiros colocados?
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5.Numa estante existem 3 livros de História, 3 de Matemática
e 1 de Geografia. Determine o número de maneiras de se
arrumar esses 7 livros se se deseja sempre ter um livro de
História em cada extremidade.
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6. Resolva a equação: 20
2
=Ax
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Considere um conjunto M com m elementos. Chamamos arranjo 
com repetição dos m elementos, tomados p a p, toda p-upla 
ordenada (sequência de tamanho p) formada com elementos de 
M não necessariamente distintos.
FÓRMULA
Observação:
Se p=1 , temos: mARAR mm == 1,
1
mARAR
p
pm
p
m
==
,
ARRANJOS COM REPETIÇÃO DEFINIÇÃO
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EXERCÍCIOS
1.Com os algarismos 1,2,3,4 e 5 quantos números de 3
algarismos podem ser formados?
SOLUÇÃO:
Primeiramente, note-se que a questão não exige que o
número seja formado por algarismos distintos.
Utilizando a fórmula dos arranjos com repetição temos
que calcular quantos arranjos (com repetição) de 5
elementos, tomados 3 a 3 podem ser formados, isto é:
1255
3
3,5
==AR
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2. Considerando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
quantas senhas com 6 dígitos podemos formar, sabendo-se que
é permitida a repetição de algarismos?
SOLUÇÃO:
(AR)10,6=10
6 senhas diferentes.
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Na aula de hoje estudamos:
-Os agrupamentos denominados Arranjos Simples
- Os agrupamentos denominados Arranjos com Repetição
- Exercícios