Distribuição Binominal

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Distribuição Binomial 
Um conjunto finito de valores de forma tal que cada valor 
corresponda determinada probabilidade. Por exemplo: 
Distribuição binomial 
Tem esse nome porque se baseia no desenvolvimento de (a 
+ b)n, que é o binômio de Newton. 
 
P(CC) 0,25
P(CK ou KC) 0,50
P(KK) 0,25
 
Numa distribuição binomial 
1 Os valores de X são sempre inteiros. 
- 1 "cara", 2 "caras", 0 "caras" etc. Não pode haver 1/2 
"cara". 
2 Os eventos (“cara/”coroa”) são independentes 
- Se sai “cara” não sai “coroa” e vice-versa 
3 As probabilidades pressupõem reposição 
- Notar que em todas as colunas o número de moedas 
não varia. 
4 A ordem em que aparecem os elementos num grupo 
não tem importância 
CK = KC, CCK = CKC = KCC etc. 
 
A distribuição binomial possui dois 
parâmetros fundamentais: n e p
B (n; p)
Não é preciso fazer um quadro imenso para calcular as 
probabilidades associadas a 5 moedas, basta desenvolver 
(C + K)^5 
Jogando-se 1 moeda 5 vezes, qual a probabilidade de 
termos 5 “caras”? 
- B (n; p) - B (5; 0,5) 
 
 
Jogando-se 1 moeda 5 vezes, qual a probabilidade de 
termos 3 “caras”? 
Jogando-se 1 moeda 5 vezes, qual a probabilidade de 
termos 2 “caras”? 
Se X = nº de “caras”
ocorrendo “cara” → sucesso
ocorrendo “coroa” → fracasso
P(X = 5 “caras”) = P(X = 5) = p^5
P^5 = (0,5)^5 5 = 0,03125
P(X = 3 “caras”) = P(X = 3) = 10q²p³
10(0,5)²(0,5)³ = 10(0,5)^5 = 0,3125
 
Os expoentes de todos os termos somam sempre 5. 
(q + p)^5 = q^5 + 5q^4p + 10q³p² + 10q²p³ + 5qp^4 
+ p^5 
Os expoentes de p vão crescendo de 1 em 1 e os 
expoentes de q vão diminuindo de 1 em 1 
(q + p)^5 = q^5 + 5q^4p + 10q³p² + 10q²p³ + 5qp^4 
+ p^5 
Os coeficientes de cada termo (por exemplo: 5, 10, 10) 
podem ser obtidos numa tabela chamada Triângulo de 
Pascal 
Calcular a probabilidade de 3 “caras” em 8 jogadas de 
uma moeda ? 
- Fazer (q + p)^8 
- Procurar P(X = 3) 
3 “caras” 
(q + p)^8 = q^8 + 8q^7p + 28q^6p² + 56q^5p^3 + 
70q^4p^4 + ... + p^8 
Dada uma distribuição binomial de parâmetros n e p, a 
probabilidade de ocorrerem x eventos favoráveis é dada 
pela fórmula. 
 
Seja n = 5 e x = 3. Então, a combinação de 5, 3 a 3 é: 
n! = n (n - 1) (n - 2) ... 1 
5! = 4x3x2x1 = 120 
O fatorial de zero, que se inidica por 0! é, por definição, 
igual a 1 
A probabilidade de um menino se daltônico é 8%. Qual é a 
probabilidade de serem daltônicos todos os quatro 
meninos que se apresentaram, em determinado dia, para 
um exame oftalmológico? 
P(X = 2 “caras”) = P(X = 2) = 10q³p²
10(0,5)³(0,5)² = 10(0,5)^5 = 0,3125
q deve figurar sempre antes de p para que os resultados 
saiam ordenados (q + p) = 1
P(X = 3 “caras”) = P(X = 3) = 56q^5p³
56(0,5)5 (0,5)³ = 56(0,5)^8 = 0,21875
Fazer (q + p)^4 
Procurar P(X = 4) 
4 “meninos daltônicos” 
(q + p)^4 = q^4 + 4q³p + 6q²p² + 4qp³ + p4 
 
P(X = 4 “meninos daltônicos”) = P(X = 4) = p^4 
(0,08)^4= 0,00004096 
 
Seja n = 4 e x = 4 
P(X=4) = 1 X (0,08)4 X (0,92)0 
0,00004096 
A probabilidade de um indivíduo ter sangue Rh- é 10%, na 
população brasileira toda. Qual é a probabilidade de se 
apresentarem, em determinado dia em um banco de 
sangue, cinco doadores de sangue, todos Rh-? 
Fazer (q + p)^5 
Procurar P(X = 5) 
5 “doadores de sangue Rh-” 
(q + p)^5 = q^5 + 5q^4p + 10q³p² + 10q²p³ + 5qp^4 
+ p^5 
P(X = 5 “doadores de sangue Rh-”) = P(X = 5) = p5 
(0,10)5= 0,00001 
n é o número de meninos = 4
X é o número de meninos daltônicos = 4
p é a probabilidade de ser daltônico = 0,08
q é a probabilidade de não ser daltônico = 0,92
n é o número de doadores = 5
X é o número de doadores Rh- = 5
p é a probabilidade de ter sangue Rh- = 0,10
q é a probabilidade de não ser daltônico ter sangue Rh- 
= 0,90
 
Seja n = 5 e x = 5 
P(X=5) = 1 X (0,10)^5 X (0,90)° 
0,00001 
-tabela de probabilidades binominais, de 1 a 5- 
Calcular a probabilidade de 3 “caras” em 8 jogadas de 
uma moeda? 
Fazer (q + p)^8 
Procurar P(X = 3) 
-tabela de probabilidades binominais, 8- 
 
1 moeda foi jogada 8 vezes. Se X = nº de “caras”, quanto 
valem nessa distribuição, a média aritmética, a variância e 
o desvio padrão?