Apostila de Matematica - Concurso da GCM

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Cursinho Morenão
Professor Felipe Furtado van Onselen
Apostila de Matemática Básica e Raciocínio Lógico para Concurso Público
Módulo I
Campo Grande – MS
2019
52
1 - Conjuntos Numéricos: Operações e Propriedades.
Os conjuntos numéricos são conjuntos formados por determinados números de uma mesma natureza. Isso significa que dado um número, ele pertence ao conjunto se satisfaz todas as propriedades dos números daquele conjunto. 
Exemplo: dado um número “x”, se x pode ser escrito na forma a/b (x = a/b com a e b números inteiros), temos que x é um número racional.
Os conjuntos numéricos mais fundamentais estudados na aritmética são: Conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros, conjunto dos números racionais, conjunto dos números irracionais e conjunto dos números reais.
1.1 – Conjunto dos Números Naturais
Não definiremos aqui o conjunto dos números naturais, apenas os usaremos de maneira intuitiva na contagem e na ordenação de elementos. Porém, intuitivamente, sabemos que o conjunto dos números naturais é formado pelos seguintes elementos: {0, 1, 2, 3, 4, ...}, e se estende ao infinito.
Usaremos o símbolo para representar o conjunto dos números naturais. Assim, .
Usaremos o símbolo para representar o conjunto dos números naturais com exceção do zero. Assim, .
Temos duas operações definidas nos números naturais: adição e multiplicação.
Dados dois números naturais a e b, temos c = a+b também sendo um número natural chamado de soma de a com b.
Dados dois números naturais a e b, temos c = a.b também sendo um número natural chamado de produto de a com b.
Em particular, para quaisquer números naturais a e b, se b = a+1, então b é o sucessor de a.
As propriedades da adição e da multiplicação de dois números naturais são:
Para quaisquer a, b, c pertencentes ao conjunto 
1) a+b = b+a e a.b = b.a (propriedade comutativa)
Exemplos: 3 + 5 = 5 + 3 = 8; 3.6 = 6.3 = 18
2) (a+b)+c = a+(b+c) e (a.b).c = a.(b.c) (propriedade associativa)
Exemplos: (2+3)+6 = 5+6 = 11; (3.2).5 = 6.5 = 30
 2+(3+6) = 2+9 = 11; 3.(2.5) = 3.10 = 30
3) a+0 = 0+a = a e a.1 = 1.a = a (Existência de elemento neutro)
4) a.(b+c) = a.b + a.c e (a+b).c = a.c + b.c (propriedade distributiva)
Exemplos:
· 4.(2 + 7) = 4.2 + 4.7 = 8 + 28 = 36
· 
· 
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Aplique a propriedade distributiva nos elementos abaixo:
a) 			b) 
c) 			d) 
e) 			f) 
g) 			h) 
i) 			j) 
k) 			l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
2) Considere a seguinte expressão: . Se aplicarmos a propriedade distributiva sobre essa expressão, obteremos a expressão:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
----------------------------------------------------------------
1.2 – Conjunto dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como sendo o conjunto dos naturais unido com o conjunto dos seus elementos simétricos em relação à adição. Assim, temos {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
Usaremos o símbolo para representar o conjunto dos números inteiros. Assim,
.
Dado um número inteiro x, representamos o simétrico (ou oposto) a x por –x, de forma que x + (-x) = 0. Essa é a propriedade do elemento oposto de um número. (Nota: simétrico ou oposto são sinônimos nesse sentido). Temos também que para cada número x, o seu simétrico é único.
Exemplos: 
o oposto de 2 é -2
o oposto de -2 é -(-2) que é 2 ou seja, -(-2) = 2
Daí vem a regra de sinal “menos com menos é mais”.
As operações que podemos definir nos inteiros são: adição, subtração e multiplicação. A adição e a multiplicação têm as mesmas propriedades definidas para os naturais. 
A subtração é definida como segue:
Dados dois inteiros x e y, definimos a subtração de x por y como sendo x-y = x + (-y), ou seja, a subtração de x por y é a soma de x com o oposto de y. 
Exemplos:
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
3 – 7 = 3 + (-7) = -4
4 – (-9) = 4 + [-(-9)] = 4 + 9 = 13
As regras de sinais na multiplicação são definidas como segue: 
Sejam x e y dois inteiros.
(-x).y = - (x.y) e x.(-y) = - (x.y)
Exemplo: (-9) . 3 = - (9.3) = -27
Segue então a regra de sinal 
(-x).(-y) = - [x.(-y)] = -[-(x.y)] = x.y
Exemplo: (-5).(-2) = -[-(5.2)] = -(-10) = 10
Assim, podemos definir as seguintes regras de sinais para a multiplicação:
1) Sinais iguais -> resultado positivo
(+).(+) = (+)
(-).(-) = (+)
2) Sinais diferentes -> resultado negativo
(+).(-) = (-)
(-).(+) = (-)
As propriedades dos naturais também valem para os inteiros:
Para quaisquer a, b, c pertencentes ao conjunto 
1) a+b = b+a e a.b = b.a (propriedade comutativa)
Exemplos: 3 + 5 = 5 + 3 = 8; 3.6 = 6.3 = 18
2) (a+b)+c = a+(b+c) e (a.b).c = a.(b.c) (propriedade associativa)
3) a+0 = 0+a = a e a.1 = 1.a = a (Existência de elemento neutro)
4) a.(b+c) = a.b + a.c e (a+b).c = a.c + b.c (propriedade distributiva)
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Resolva as expressões abaixo:
a) 
b)
c)
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
2) Considere a seguinte expressão numérica: . Qual é o seu valor numérico?
a) 19 b) -21 c) -3 d) 57 e) 69
3) (OFFICIUM) Se , e , então é igual a:
a) -3 b) -1 c) 3 d) 7 e) 9
4) Aplique a propriedade distributiva nos elementos abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
-----------------------------------------------------------------
1.2.1 – Múltiplos e Divisores
A divisão inteira de dois números inteiros é definida como segue:
Sejam x e y dois inteiros de forma que x > y. 
Escrevemos: ou x/y como sendo a divisão inteira de x por y. O resultado deve ser outro número inteiro.
Exemplos:
Múltiplo: Sejam x e y dois números inteiros. Dizemos que y é múltiplo de x se existe um número inteiro z tal que y = x.z, ou seja, se y é um produto de x com outro número inteiro. Observe que y é múltiplo de z também.
Exemplos:
1) 33 é múltiplo de 11, pois 33 = 11 . 3
2) 288 é múltiplo de 2, pois 288 = 2 . 144
3) 288 é múltiplo de 144, pois 288 = 144 . 2
4) 45 e múltiplo de 9, pois 45 = 9 . 5 (perceba que 45 é múltiplo de 9 e de 5 ao mesmo tempo, ou seja, 45 é um múltiplo comum de 9 e 5)
Divisores: Sejam x e y dois números inteiros. Dizemos que x é um divisor de y se y é um múltiplo de x, ou seja, se y = x.z (para algum z inteiro), então x é divisor de y. Observe que z também é divisor de y.
Se x é um divisor de y tal que y = x.z (conforme definimos acima), podemos então escrever:
Vemos que dividir y por x obtemos um inteiro z, ou seja, a divisão é inteira (exata). O mesmo vale para a divisão de y por z. Portanto x e z são divisores de y.
Com isso, concluímos que x é um divisor de y se, e somente se, a divisão y/x resulta em um número inteiro.
Exemplos: 
1) 11 é divisor de 33, pois 33 = 11 . 3.
Obtemos então (temos também )
2) 7 é divisor de 49, pois 49= 7 . 7.
Obtemos então 
Quando x é divisor de y, dizemos que y é divisível por x, assim, nos exemplos acima, temos que 33 é divisível por 11 e por 3, enquanto que 49 é divisível por 7.
Qualquer número inteiro tem pelo menos 4 divisores. Seja y um inteiro, temos que y, -y, 1 e -1 são divisores de y.
Exemplos:
1) 
Considere o número 44. Temos que 44, -44, 1 e -1 são divisores de 44, pois , , e 
2) 
Considere o número 53. Temos que 53, -53, 1 e -1 são divisores de 53, pois , e 
Quando um número é divisível apenas por ele mesmo, por seu oposto, por 1 e por -1, dizemos que esse número é primo.
Exemplos:
1) 2 é um número primo, pois é divisível apenas por 2, -1, 1 e -1. 
2) 53 é um número primo, pois é divisível apenas por 53, -53, 1 e -1.
Como saber se um número é múltiplo de outro?
Para sabermos se um número é múltiplo ou divisor de outro, basta realizarmos a divisão de um pelo outro. Vejamos:
Sejam x e y dois inteiros tal que x < y.
Caso resto(y/x) = 0, ou seja, y/x é um número inteiro, então temos as duas situações:
- y é múltiplo de x
- x é divisor de y (y é divisível por x)
O resultado acima é um processo prático para dizermos se um número é múltiplo ou divisor de outro.- Conjunto dos Múltiplos e Conjunto dos Divisores de um Número.
Considere p um número inteiro. Vamos representar o conjunto dos múltiplos de p por M(p) e o conjunto dos divisores de p por D(p). 
Nota: a partir daqui consideraremos apenas os múltiplos e divisores positivos de um número.
Exemplos:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
M(15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ...}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
M(7) = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, ...}
D(7) = {1, 7}
M (3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 37, 30, 33, 36, ...}
D(3) = {1, 3}
Note que os números 7 e 3 são têm apenas dois divisores: 1 e eles próprios, ou seja, são números primos.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Escreva os múltiplos e os divisores dos seguintes números:
M(13) = 
M(2) = 
M(9) = 
M(125) = 
M(25) = 
M(90) = 
M(50) =
D(12) =
D(20) =
D(60) =
D(25) =
D(40) =
D(100) =
D(23) = 
2) Quais dos múltiplos de 5 são divisores de 100?
3) Quais dos divisores de 30 são múltiplos de 2?
4) (AOCP – Pref. De Juazeiro – 2016) Se os elementos de um conjuntos A são todos os divisores positivos de 12, então esse conjunto será dado por:
a) A = {1, 2, 3, 4, 6}
b) A = {2, 3, 4, 6, 12}
c) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12}
d) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
e) A = {1, 12}
-------------------------------------------------------------
1.2.2 – Decomposição de um Número Natural em Fatores Primos
Decompor um número em fatores primos significa escrevê-lo em termos de uma multiplicação de números primos. 
Existe um teorema na teoria dos números conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética, que diz respeito à decomposição de qualquer número inteiro positivo diferente de 1 em fatores primos. Segue abaixo o seu enunciado:
Teorema Fundamental da Aritmética: Seja x um número inteiro positivo diferente de 1. Existem números primos positivos p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pn tais que. Tal decomposição em fatores primos é única.
O teorema menciona que todo número inteiro positivo que não seja 1 pode ser escrito como fatores de números primos.
Exemplos:
1) 
O número 6 pode ser escrito como fatores de 2 e 3: .
2) 
O número 27 pode ser escrito como fator de 3: .
3) 
O número 300 pode ser escrito como fatores de 2, 3 e 5: .
É importante memorizarmos os menores (os primeiros) números primos (lembrando que existem infinitos deles).
Segue a sequência: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
O processo prático para a decomposição dos números é a fatoração, que consiste na divisão do número pelos números primos até obtermos 1 como resultado. Vejamos:
Fatoração do 56:
Note que a divisão é feita pelo menor dos primos (2), sendo sucessivamente crescente conforme não se possa mais dividir.
Fatoração do 2100
- Quantidade de Divisores de um Número
A quantidade de divisores de um número natural pode ser determinada pela fatoração desse número.
O procedimento é relativamente simples multiplique a quantidade de vezes que cada número primo aparece na decomposição acrescido de 1.
Exemplo:
Fatoração do número 56: 
O número 2 aparece três vezes e o número 7 aparece uma vez. Assim, o número de divisores do 56 é:
São eles: D(56) = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}
Note que 56 tem os exatos 8 divisores previsto pelo método.
- Fatoração do número 300: 
O número 2 aparece duas vezes, o número 3 aparece uma vez e o número 5 aparece duas vezes. Assim, o número de divisores do 300 é:
São eles: D(300) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300}
Note que 300 tem os exatos 18 divisores previsto pelo método.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Faça a fatoração dos seguintes números:
a) 500		b) 250		c) 125
d) 785		e) 68		f) 38
g) 36		h) 2520	i) 270
j) 900		k) 1470	l) 2205
2) (FCC – SABESP – 2017) O número de divisores positivos de 144 é:
a) 12 b) 15 c) 16 d) 14 e) 13
------------------------------------------------------------------
1.2.3 – MDC e MMC
Mínimo Múltiplo Comum (MMC): Sejam x1, x2, x3, ..., xn números inteiros. Definimos o MMC desses números como sendo o menor múltiplo positivo que é comum a todos eles, ou seja, é o menor número positivo que é múltiplo de x1, x2, ..., xn. Representaremos o MMC de x1, ..., xn por mmc(x1, ..., xn).
Exemplos: 
1) mmc (3, 2) = 6, pois 6 é o menor número positivo que é múltiplo de 3 e de 2 ao mesmo tempo.
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, ...}
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
2) mmc(6, 8, 12) = 24, pois 24 é o menor número positivo que é múltiplo de 6, 8 e 24 ao mesmo tempo.
M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, ...}
M(8) = {8, 16, 24, 32, ...}
M(12) = {12, 24, 36, 48,3 ...}
Máximo Divisor Comum (MDC): Sejam x1, x2, x3, ..., xn números inteiros. Definimos o MDC desses números como sendo o maior divisor que é comum a todos eles, ou seja, é o maior número que é divisor de x1, x2, ..., xn. Representamos o MDC de x1, ..., xn por mdc(x1, ..., xn).
Exemplos:
1) mdc(9, 21) = 3, pois 3 é o maior número que é divisor de 9 e de 21 ao mesmo tempo.
D(9) = {1, 3, 9}
D(21) = {1, 3, 7, 21}
2) mdc(16 20, 48, 84) = 4, pois 4 é o maior número que é divisor de 16, 20, 48 e 84 ao mesmo tempo.
D(16) = {1, 2, 4, 8 , 16}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
D(84) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}
A pergunta importante é: Como determinar o MMC ou o MDC de um conjunto de números inteiros?
Podemos calcular o mmc e o mdc de um conjunto de números inteiros fazendo a decomposição desses números em seus fatores primos, ou seja, a fatoração simultânea desses números. Segue abaixo o procedimento:
I. Calcular o mmc de m números: mmc(x1, x2, ..., xm)
Primeiramente fazemos a decomposição unificada dos números, a fatoração.
Esse processo consiste em ir dividindo os números até se obter o resultado 1. 
Exemplos:
a) mmc(45, 75, 120)
O resultado final é a multiplicação de todos os fatores que ficam do lado direito da barra que separa os números:
b) mmc(15, 24, 60, 72)
O resultado final é a multiplicação de todos os fatores que ficam do lado direito da barra que separa os números:
Questões que cobrarão diretamente o mmc envolvem períodos e simultaneidade. 
 Exemplo:
1) Imagine que um evento A ocorra de 4 em 4 períodos e um evento B ocorra de 6 em 6 períodos. Se eles iniciaram juntos, daqui quantos períodos estarão juntos novamente?
Resolução: Note que o evento A ocorre em períodos que são múltiplos de 4 e que o evento B ocorre em períodos que são múltiplos de 6.
É fácil notar que eles ocorrerão juntos em períodos que são múltiplos de 4 e de 6 ao mesmo tempo (múltiplos comuns), como 12, 24, 36 e assim por diante. Sendo assim, a próxima coincidência ocorrerá no menor múltiplo comum a 4 e a 6, ou seja, ocorrerá num período que é o mmc de 4 e de 6, que é daqui 12 períodos.
2) (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia. 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
Resolução: A questão cobra a ocorrência simultânea de eventos periódicos, já sabemos que isso se resolve com o mmc dos períodos.
mmc(3, 4, 6) = 12
Portanto, as máquinas receberão manutenção novamente daqui a 12 dias.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Calcule o mmc dos seguintes números:
a) 12; 25; 30		b) 13; 15; 18
c) 8; 15; 21		d) 5; 9; 12; 26
2) (CESPE – CORREIOS – 2011) Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após
a) 45 dias. b) 60 dias. c) 10 dias. 
d) 15 dias.e) 30 dias
3) (CESPE - IFF - 2018) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 dias; o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias. Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente juntos nesse voo ocorrerá daqui a
a) 30 dias. b) 74 dias. c) 120 dias.
d) 240 dias. e) 960 dias.
-----------------------------------------------------------------
II. Calcular o mdc de m números: mdc(x1, x2, ..., xm)
Primeiramente fazemos a decomposição unificada dos números, a fatoração, assim como fizemos no cálculo do mmc. A diferença nesse caso é que faremos a divisão apenas por números primos que dividem todos os elementos do mdc. Se um dos números não for divisível, passa-se para o próximo.
Vejamos um exemplo: 
Exemplos:
a) mdc(9, 4)
Perceba que começamos dividindo por 3, pois é o menor primo que divide 9 e 24 ao mesmo tempo. Paramos em 3; 8 porque não é mais possível dividir esses dois números por um mesmo número primo, portanto:
b) mdc(75, 150, 450)
Começamos dividindo por 3, pois é o menor primo que divide todos ao mesmo tempo. Na segunda linha dividimos por 5, pois o 3 já não dividia todos. Finalmente dividimos por 5 novamente, obtendo 3, 3 e 6 na última linha. A partir dessa linha não é mais possível dividir todos simultaneamente.
Assim: 
Exercícios que envolvam a divisão de elementos em partes iguais, de modo a maximizar ou minimizar certa quantidade, resolve-se por mdc. Vejamos exemplos:
1) Considere um grupo de 800 bolas azuis e outro grupo de 500 bolas vermelhas. Queremos separá-las em caixas que contenham a mesma quantidade de bolas, de forma que se utilize menor número de caixas possíveis. Sabendo que cada caixa conterá bolas de apenas uma cor, qual será a quantidade usada?
Resolução: Se dividirmos a quantidade de bolas azuis pelo número de caixas contendo bolas dessa cor, obteremos o número de bolas azuis por caixa. 
Se dividirmos a quantidade de bolas vermelhas pelo número de caixas contendo bolas dessa cor, obteremos o número de bolas vermelhas por caixa. 
Repare que o número de bolas azuis por caixa e número de bolas vermelhas por caixa são iguais (caixas com o mesmo número de bolas). Assim, temos:
onde:
 – número de caixas contendo bolas azuis;
 – número de caixas contendo bolas vermelhas;
 – número de bolas por caixa
Veja que podemos manipular as equações de forma a deixar n dividindo os números 800 e 500. Assim, podemos passar o número de caixas multiplicando e o n dividindo nas equações, ficando da seguinte forma:
Observe que quanto maior o n, menor é o número de caixas usadas, ou seja, quanto mais bolas por caixa, menos caixas precisaremos usar. 
Note que o exercício poderia enunciar, de forma equivalente, que se pretende colocar o maior número de bolas possíveis em cada caixa, isso implicaria num menor número de caixas possível. 
Perceba que n é um divisor comum de 800 e 500, sendo o maior possível de acordo com o enunciado. Logo, n é o mdc entre 800 e 500. Vamos calcular esse número usando a fatoração simultânea:
Assim, 
Isso significa que teremos 100 bolas por caixa, que é o valor de n. Substituindo esse valor nas equações anteriores, obteremos 8 caixas com bolas azuis e 5 com bolas vermelhas, gerando um total de 13 caixas contendo 100 bolas cada.
2) Três fios que medem respectivamente 24m, 84m e 90m foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então cada pedaço deve medir:
A) 4m B) 6m C) 14m D) 15m
Resolução: Observe que se dividirmos o comprimento total de cada fio pelo número de pedaços, obteremos o tamanho de cada pedaço, que deve ser igual pra todos.
Onde
 – são os números de pedaços de cada fio;
 – é o tamanho de cada pedaço.
Em cada uma das equações, podemos passar o número de pedaços multiplicando e o tamanho de cada pedaço dividindo, gerando as equações:
Observe que x, além de representar o tamanho de cada pedaço, é um divisor comum de 24, 84 e 90. Sabemos também que deve ser o maior dos divisores, pois o enunciado nos pede pedaços de maior tamanho possível. Portanto, x é o mdc entre 24, 84 e 90. Vamos calculá-lo.
Portanto: 
Segue, portanto, que o tamanho dos pedaços deve ser de 6 metros.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) (CESPE - TJ-RO - 2012) Uma empresa possui 658 servidores: 308 do sexo masculino e 350 do sexo feminino. Em uma reunião com a presença de todos os servidores, seriam formados vários grupos: todos os grupos teriam a mesma quantidade de pessoas, e cada grupo seria formado apenas com pessoas do mesmo sexo. Nesse caso, para que se tenha a menor quantidade de grupos e se mantenha as mesmas condições anteriores, os servidores serão divididos em:
a) 14 grupos. b) 22 grupos. c) 25 grupos. 
d) 42 grupos. e) 47 grupos.
2) (VUNESP – Fund. CASA – 2010) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a
a) 24 b) 36 c) 49 d) 64 e) 89
-----------------------------------------------------------------
1.3 – Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais são definidos como sendo a divisão de dois inteiros:
Onde Q é o símbolo que representa o conjunto dos números racionais.
As operações nos números racionais são as mesmas definidas nos inteiros, bem como a existência do elemento simétrico (ou oposto) no conjunto. Assim, dado um racional x, existe um único racional, representado por –x, de forma que x + (-x) = 0.
Existem duas representações usuais para os números inteiros: a decimal e a fracionária (definição).
Por exemplo, o mesmo número pode ser representado de duas formas distintas:
2/4 = 0,5
Veremos como manipular as duas formas diferentes e como passar de uma representação para a outra.
1.3.1 – Representação fracionária
As operações de soma e multiplicação de números fracionários devem respeitar certos critérios, como veremos logo abaixo:
Dados dois números inteiros na forma fracionária a/b e c/d, podemos multiplicá-los da seguinte forma:
Exemplos: 
1) 
2) 
A soma dos mesmos números inteiros é feita da seguinte forma:
- Denominadores iguais
Para denominadores iguais, basta conservar o denominador e somar os numeradores:
Exemplo:
1) 
A explicação do porquê somamos assim pode ser dada pela propriedade distributiva dos números racionais. Vejamos:
- Denominadores diferentes
Quando os denominadores são diferentes não podemos usar a propriedade distributiva para justificar a soma feita. A estratégia nesse caso é construir denominadores iguais nas duas frações sem que os seus valores sejam alterados. A maneira mais geral de fazer isso é a seguinte:
1) Multiplicamos o numerador e o denominador da primeira pelo denominador da segunda;
2) Multiplicamos o numerador e o denominador da segunda pelo denominador da primeira
Tal processo está representado logo abaixo:
Exemplos:
1) 
2) 
Temos também a divisão de dois números racionais, que é definida da seguinte forma:
Exemplos:
1) 
2) 
Duas propriedades importantes das frações, que serão generalizadas mais adiante nas expressões racionais, são as seguintes:
- Multiplicarmos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número (diferente de zero) não altera o seu valor.
- Dividirmos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número (diferente de zero) não altera o seu valor.
Essa última propriedade é muito usada para simplificarmos frações que aparecem em diversos problemas, técnica essa chamada de reduçãode frações. Vejamos por exemplo a simplificação da fração :
A técnica de simplificação de fração é a mesma usada para calcular o mdc, basta dividir ambos os números pelo menor primo e avançando conforme não for mais possível. O resultado final se dá quando não é mais possível dividir ambos os números por um mesmo primo, nesse caso dizemos que a fração está na sua forma irredutível.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Multiplique as frações abaixo e reduza o resultado obtido:
a) 			b) 
c) 			d) 
e) 			f) 
g) 			h) 
i) 		j) 
2) Resolva as expressões abaixo e simplifique os resultados obtidos :
a) 			b) 
c) 			d) 
e) 			f) 
g) 			h) 
i) 			j) 
k) 			l) 
m) 			n) 
o) 			p) 
q) 		r) 
3) Resolva as divisões de frações abaixo conforme a definição dada e reduza-as:
a) 			b) 
c) 			d) 
e) 			f) 
4) Simplifique as frações abaixo:
a) 			b) 
c) 			d) 
5) Calcule o valor das seguintes expressões:
a) 
b) 
c) 
6) Aplique a propriedade distributiva nas frações abaixo e reduza-as quando possível.
a) 		b) 
c) 		d) 
e) 		f) 
g) 
h) 
7) Resolva a expressão: 
----------------------------------------------------------------
- Aplicação das frações em divisão de um inteiro
Podemos aplicar o conceito de fração na divisão de quantidades inteiras, muitas vezes representadas geometricamente. Vejamos um exemplo.
Considere o retângulo abaixo:
O retângulo está completo, inteiro, ou seja, temos UM retângulo completo. O número 1 representará então essa quantidade.
Podemos dividir esse retângulo em partes iguais na quantidade que quisermos... 4 partes, por exemplo.
 Cada uma dessas partes representa o total (um) dividido por 4, ou seja, cada uma dessas partes representa do total.
Se tomarmos três partes, por exemplo, teremos do total, que equivale à região preenchida na imagem abaixo.
Isso significa que temos 3 partes de 4 que estão preenchidas, isto é, do total está preenchido.
Assim, uma fração poderá ser representada por um elemento geométrico como foi feito acima. O numerador representa a quantidade de partes consideradas e denominador representa em quantas partes o total foi dividido.
Exemplos:
1) 
2) 
3) (CESPE – 2017) As figuras I e II a seguir ilustram recipientes cilíndricos retos, idênticos, que contêm suco. Em cada recipiente foram feitas marcações igualmente espaçadas, mas diferentes nos recipientes I e II. Há mais suco no recipiente I que no II.
Nessa situação, a fração do volume que o recipiente I tem a mais que o II é igual a
A. 8/15. B. 8/13. C. 3/10. D. 4/3. E. 7/20.
Resolução: O recipiente I está com 6/8 do volume preenchido, enquanto que o recipiente II está com 2/5 do volume preenchido.
 Para calcular quanto de volume preenchido o recipiente I tem a mais do que o II, basta fazer a diferença entre eles:
Simplificando a fração, obtemos:
Letra E.
4) Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 1/6 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com 3/4 das figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?
Resolução: Para saber com qual fração as duas contribuíram juntas, basta somarmos o quanto cada uma contribuiu:
5) Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1/4 do livro e no dia seguinte leu 1/6 do livro. Então calcule:
a) a fração do livro que ela já leu.
 
b) a fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
 
Lembre-se que o número 1 representa o livro todo, ou seja, o inteiro.
6) Em uma escola, a quantidade de meninos representa da quantidade de meninas. Logo, a quantidade de meninas em relação ao total de alunos dessa escola é representada pela seguinte fração:
a) 4/7 b) 3/7 c) 5/7 d) 6/7
Resolução:
De acordo com o enunciado, temos:
Temos: 
Logo, (usamos a propriedade distributiva)
Segue que 
O 4 podemos passar multiplicando e o 7 podemos passar dividindo, resultando em:
Letra A.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Paula comprou dois potes de sorvete, ambos com a mesma quantidade do produto. Um dos potes continha quantidades iguais dos sabores chocolate, creme e morango; e outro, quantidades iguais dos sabores chocolate e baunilha. Então, é CORRETO afirmar que, nessa compra, a fração correspondente à quantidade de sorvete do sabor chocolate foi:
a) 2/5 b) 3/5 c) 5/12 d) 5/6
2) Em um pacote há 4/5 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1/3. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?
3) A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5/9 da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
4) No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1/3 desses apartamentos foi vendido e 1/6 foi reservado. Assim:
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?
5) (FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista - adaptado) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão de 14 por 22. O produto A . B . C é igual a:
a) 40/11 b) 11/40 c) 45/20 d) 20/45
6) (FCC) Sabendo que x dividido por y é igual a 12, então o dobro de x dividido pelo triplo de y é igual a:
a) 8. b) 4. c) 9. d) 12. e) 24.
7) (CONSULPLAN) No cinema de uma certa cidade há duas salas de projeções com capacidade para 300 pessoas cada uma. Um dia, uma das salas estava com 3/5 de sua capacidade ocupada e a outra sala, com a metade do número de pessoas da primeira. Quantas pessoas havia no cinema nesse dia? 
a) 90 b) 270 c) 240 d) 150 e) 180
8) (RBO – 2017 – Câmara de Itatiaia – RJ) O prêmio de um concurso é dividido entre os 5 primeiros vencedores. Dos 30 mil reais destinados à premiação, o quinto colocado recebe 1/12 do prêmio; o quarto colocado, 1/10 do prêmio; o terceiro colocado, 1/6 do prêmio; o segundo colocado, 1/4 do prêmio; e o primeiro colocado, o restante do valor destinado à premiação. Com base nesses dados, o valor somado do prêmio do segundo colocado e do quarto colocado é
A) R$ 5.000,00 B) R$ 7.500,00 C) R$ 8.000,00
D) R$ 10.500,00
9) (OFFICIUM – 2005 – TJ-RS) Um advogado ingressou com uma ação de cobrança no valor de R$ 100.000,00. A ação foi julgada procedente em parte, sendo o ganho do cliente de 8/10 do valor pleiteado. Como os honorários do advogado foram contratados em 1/4 do valor que o cliente viesse a receber, quanto sobrou para o cliente?
A) R$ 6.000,00 B) R$ 8.000,00 C) R$ 20.000,00
D) R$ 40.000,00 E) R$ 60.000,00
10) (CESGRANRIO - 2006 - IBGE - Agente Censitário - Adaptado) Um hexágono regular foi repartido em duas regiões: uma clara e outra escura. 
Qual fração a parte escura representa do total?:
A) 3/2 B) 1 C) 2/3 D) 1/2 E) 1/3
11) (AOPC 2016/Auditor Fiscal – Prefeitura de Juazeiro 2016) O aluguel de uma casa corresponde a 2/5 do salário mensal de uma pessoa. Se essa pessoa recebe R$ 1.000,00 de salário mensal, então o valor de seu salário destinado ao pagamento do aluguel de sua casa é igual a
(A) R$ 400,00. (B) R$ 200,00. (C) R$ 300,00.
(D) R$ 150,00. (E) R$ 500,00.
-------------------------------------------------------------------
1.3.2 – Representação Decimal
Para a representação decimal, temos os decimas exatos e os decimais periódicos.
- Decimais Exatos
Os decimais exatos possuem uma representação finita. Exemplos: 0,56; 2,68476; 9838,2 etc.
- Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas
Já os decimais periódicos possuem uma representação infinita, porém apresentam uma estrutura que se repete. Exemplos: 0,8383838383...; 0,984333333333...; 34,8732873287328732... etc.
Os números decimais periódicos também são chamados de dízimas periódicas e são compostos pelas seguintes partes: parte inteira, parte não periódica e parte periódica (ou período). Vejamos como um exemplo o número 3,1749582582582...
Parte Periódica
Parte não Periódica
Parte Inteira
· Parteinteira = 3
· Parte não periódica = 1749
· Período = 582
O tamanho do período é o número de casas decimais que ele possui. No caso do exemplo acima, o tamanho do período é 3.
Muitas vezes representamos uma dízima periódica evidenciando o seu período com uma barra acima. Usando o exemplo dado acima:
1.3.3 – Conversão Entre as Representações
- Conversão de Fração para Decimal
Para fazermos essa conversão, basta realizarmos uma simples divisão do numerador pelo denominador. Exemplos:
- Conversão de decimal exato para fração
Pra fazermos a conversão de decimal exato para fração basta andarmos com a vírgula para a direita, com isso transformamos o número num inteiro. Em seguida, dividimos tal número por 1 seguido de tantos zeros quanto foram as casas andadas com a vírgula. Se andarmos uma casa, dividimos por 10; se andarmos duas casas, dividimos por 100; se andarmos três casas, dividimos por 1000 e assim por diante. Exemplos:
1) 			2) 	
3) 		4) 
- Conversão de Dízima Periódica em fração
A ideia dessa conversão é eliminar a parte periódica e infinita do número racional através de operações. Vejamos alguns exemplos.
1) Converter 0,44444... em fração.
Para começar, vamos dar um nome ao número racional citado, por exemplo x.
x = 0,444...
Se multiplicarmos o número por 10, a vírgula andará uma casa decimal para a direita, obteremos então. 
10 x = 4,444...
Desses 10 x, se subtrairmos x eliminaremos a casa decimal. Veja
10 x – x = 4,444... – 0,444... = 4
Ou seja
9 x = 4
Agora é só “passarmos” o 9 dividindo que teremos a forma fracionária do número x.
Portanto, a representação fracionária de 0,444... é .
2) Converter 0,252525... em fração.
O processo é análogo ao feito anteriormente. Porém, note que o tamanho do período é dois, sendo assim, devemos multiplicar o “x” por 100 em vez de 10.
A ideia padrão é essa: Se o tamanho do período for 1, multiplica-se x por 10; se o tamanho do período for 2, multiplica-se x por 100, se o tamanho do período for 3, multiplica-se x por 1000; e assim por diante.
Temos: x = 0,252525...
100 x = 25,252525...
Os passos a seguir são exatamente iguais aos feitos anteriormente.
100 x – x = 25,252525... – 0,252525... = 25
99 x = 25
Portanto 
3) Converter 0,137137137... em fração.
O período é 137 e tem tamanho 3, logo, devemos multiplicar o x por 1000.
Temos x = 0,137137137...
1000 x = 137,137137137...
1000 x – x = 137,137137137... – 0,137137137... = 137
999 x = 137
Portanto 
4) Converter 3,524717171... em fração
Veja que o número tem uma parte não periódica, 524, que tem tamanho 3. Primeiramente, devemos transformar o número em um que tenha somente parte periódica. Para isso, vamos eliminar a parte não periódica multiplicando-o por 1000.
Temos x = 3,5247171...
1000 x = 3524,7171...
Pronto, agora o processo fica análogo ao que foi feito nos exemplos anteriores.
A parte periódica do número é 71 e tem tamanho 2. Portanto, vamos multiplica-lo por 100 (no caso, o número que será multiplicado por 100 é o 1000 x).
Ou seja, 100000 x = 352471,7171...
Agora é só subtrairmos 1000 x desse último número que eliminaremos a parte periódica.
100000 x – 1000 x = 352471,7171... – 3524,7171...
Que equivale a 99000 x = 348947
Portanto, 
Em resumo, o processo de conversão da forma decimal para a forma fracionária consiste no seguinte:
· Chamar o número de x;
· Eliminar a parte não periódica (quando houver) multiplicando por 10 ou 100 ou 1000... conforme o tamanho dessa parte;
· Multiplicar o número já ajustado por 10 ou 100 ou 1000... conforme o tamanho da parte periódica;
· Subtrair os dois números que têm apenas a parte periódica para eliminá-la (o maior menos o menor);
· Escrever o número x em forma fracionária.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Escreva os números racionais abaixo na sua forma decimal:
a) 				b) 
c) 			d) 
2) Escreva os números racionais abaixo na sua forma fracionária:
a) 0,333... =			b) 1,454545... =
c) 1,52 = 			d) 6,48143143... =
e) 5,145555... = 		f) 7,45 = 
g) 3,141515... = 		h) 58,3795 = 
3) (FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão de 14 por 22. O produto A . B . C é igual a:
(A) 3,072072072 ...
(B) 3,636363 ...
(C) 3,121212 ...
(D) 3,252525 ...
(E) 3,111...
4) (ACEP) Sejam x e y números reais dados por suas representações decimais
Pode-se afirmar que:
 a) x + y = 1 b) x - y = 8 / 9 c) xy = 0,9
 d) 1 / ( x + y ) = 0,9 e) xy = 1
5) (CESPE - 2013 - UNIPAMPA - Nível Médio - Conhecimentos Básicos) Considere que sejam oferecidas, semestralmente, 75 vagas para o ingresso de discentes em determinado curso superior de uma universidade e que, no primeiro semestre de 2009, tenham ingressado nesse curso 75 discentes — 25 do sexo masculino e 50 do sexo feminino. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
O número x = 0,666..., que representa a quantidade proporcional de estudantes do sexo feminino ingressantes no primeiro semestre de 2009 no curso em relação ao número de vagas, é tal que 6x < 4.
( ) Certo ( ) Errado
------------------------------------------------------------------
-------------Exercícios do Capítulo -------------
1) (FCC – Metrro-SP – 2010)A soma de três números inteiros positivos é igual ao maior número inteiro de 5 algarismos distintos. Se adicionarmos a cada um dos números o maior número inteiro de 3 algarismos, a nova soma será igual a
(A) 102 996. (B) 102 960. (C) 102 876. 
(D) 101 762. (E) 101 726.
2) (FCC 2016/Técnico Judiciário – TRF 3ª Região 2016) A diferença entre o menor número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número natural par, também com cinco divisores positivos distintos, é igual a
(A) 39. (B) 27. (C) 83. (D) 65. (E) 41.
3) (FCC – SABESP – 2017) O número de divisores positivos de 144 é:
a) 12 b) 15 c) 16 d) 14 e) 13
4) (AOCP – Pref. De Juazeiro – 2016) Se os elementos de um conjuntos A são todos os divisores positivos de 12, então esse conjunto será dado por:
a) A = {1, 2, 3, 4, 6}
b) A = {2, 3, 4, 6, 12}
c) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12}
d) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
e) A = {1, 12}
5) (CESPE - IFF - 2018) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 dias; o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias. Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente juntos nesse voo ocorrerá daqui a
a) 30 dias. b) 74 dias. c) 120 dias. d) 240 dias. e) 960 dias.
6) (CESPE - TJ-RO - 2012) Uma empresa possui 658 servidores: 308 do sexo masculino e 350 do sexo feminino. Em uma reunião com a presença de todos os servidores, seriam formados vários grupos: todos os grupos teriam a mesma quantidade de pessoas, e cada grupo seria formado apenas com pessoas do mesmo sexo. Nesse caso, para que se tenha a menor quantidade de grupos e se mantenha as mesmas condições anteriores, os servidores serão divididos em:
a) 14 grupos. b) 22 grupos. c) 25 grupos. 
d) 42 grupos. e) 47 grupos.
7) (CESPE – CORREIOS – 2011) Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após
a) 45 dias. b) 60 dias. c) 10 dias. d) 15 dias. e) 30 dias
8) (VUNESP – Fund. CASA – 2010) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverácortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a
a) 24 b) 36 c) 49 d) 64 e) 89
9) (VUNESP – Inst. Butantan – 2010) Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 2009, dia
a) 28, às 19 horas b) 28, às 23 horas c) 29, às 7 horas
d) 29, às 11 horas e) 30, às 7 horas
10) (VUNESP – Pref. De Sorocaba – 2010) Antônio, Hélio e Emílio são três responsáveis pela fiscalização sanitária da dengue e fazem plantão, respectivamente, a cada 10, 15 e 18 dias. Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. O próximo plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia :
(A) 15 de maio. (B) 26 de maio. (C) 25 de junho. 
(D) 30 de junho. (E) 27 de julho.
11) (VUNESP – SEAP-AP – 2010) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada
a) 1 h 24 min. b) 1 h 18 min. c) 1 h 12 min.
d) 1 h 06 min. e) 1 h.
12) (FCC – TRT-MS 24ª Região – 2011) Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal ? 25/12/2010 ? ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência de datas de seus plantões em 2011, com certeza, NÃO ocorrerá em
A) 18 de janeiro. B) 10 de fevereiro. C) 31 de março.
D) 24 de abril. E) 18 de maio.
13) (VUNESP – CM de Registro – 2017) Dois amigos brincam com seus carros de controle remoto em uma pista circular. Os carros partiram de um ponto A e, enquanto o carro mais rápido demora 1min 30s para dar uma volta completa na pista, o outro carro demora 1min 35s. Quando os dois carros passarem ao mesmo
tempo pelo ponto A, pela primeira vez, o carro mais lento terá dado um número de voltas na pista igual a:
(A) 14. (B) 16. (C) 18. (D) 20. (E) 22.
14) (FCC – Metro-SP – 2010) Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens da Companhia do Metropolitano de São Paulo partiram simultaneamente de um mesmo terminal T e seguiram por Linhas diferentes. Considerando que a cada 78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o faz a cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T às 
(A) 19h42min. (B) 21h48min. (C) 21h36min. 
(D) 23h42min. (E) 23h48min.
15) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em
A) 9 de dezembro de 2010.
B) 15 de dezembro de 2010.
C) 14 de janeiro de 2011.
D) 12 de fevereiro de 2011.
E) 12 de março 2011.
16) (FUNIVERSA) Para construir cada peça de um determinado modelo, um artesão utiliza cinco pedaços de fio de cobre com os seguintes comprimentos: dois pedaços de 25 cm, dois de 30 cm e um de 40 cm, que são cortados de um mesmo rolo. Assinale a alternativa que apresenta um comprimento total de fio, em metros, que um desses rolos deve ter antes de ser utilizado, para que não haja desperdício após os recortes e não sobrem pedaços de fio sem utilizar após a confecção de todas as peças construídas.
a) 5 b) 5,25 c) 6 d) 6,25 e) 7
17) (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia. 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
18) (FCC - 2003 - TRE-AM - Técnico Judiciário - Área Administrativa) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar?
A) 33 B) 48 C) 75 D) 99 E) 165
19) Três fios que medem respectivamente 24m, 84m e 90m foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então cada pedaço deve medir:
A) 4m B) 6m C) 14m D) 15m
20) (FUNIVERSA 2012/SEPLAG-DF) Durante uma excursão de um grupo de amigos, na qual participavam 15 homens, 18 mulheres e 21 crianças, ao programarem um passeio de jangada, decidiram que cada jangada levaria um grupo formado só por homens ou só por mulheres ou só por crianças, com o maior número possível de pessoas em cada jangada. Se todos participaram desse passeio e, em cada jangada, havia o mesmo número de pessoas, é correto concluir que as jangadas que levaram só as mulheres para o passeio programado foram em número de
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 18
 21) (FUNCAB 2012/CBM-AC) Determine o valor de (2/5) + (3/7) - (1/10).
A) 25/35 B) 51/70 C) 11/14 D) 17/20 E) 13/14
22) (CETRO 2006/TCM-SP) Um médico atende diariamente 5 clientes com hora marcada e um número x de clientes sem hora marcada. Dos clientes que marcam hora para ser atendido, ele cobra R$ 70,00 a consulta e dos clientes que não marcam hora R$ 55,00. Ao final de um determinado dia ele contabilizou R$ 735,00. O número de clientes atendidos neste dia foi de
(A) 4 clientes. (B) 7 clientes. (C) 10 clientes.
(D) 12 clientes. (E) 21 clientes.
23) (CESGRANRIO 2015/LIQUIGAS) A fração 2/13 pode ser representada pela dízima periódica a qual o traço acima dos algarismos indica que 1, 5, 3, 8, 4, 6 repetem-se infinitamente nessa ordem após a vírgula. Se a dízima fosse escrita sem usar a notação do traço, ou seja, repetindo-se três vezes o período e indicando a continuação por reticências, qual seria o décimo algarismo após a vírgula?
a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
24) (CEPERJ 2009/SEPLAG-RJ) Em certa cidade de Minas Gerais, foi terminada em 1832 a construção de uma igreja dedicada a São José. O padre que inaugurou a igreja decretou que, a cada 7 anos os fiéis deveriam fazer uma grande festa em homenagem ao santo. Como esta tradição foi mantida, o próximo ano de realização da festa será:
a) 2010 b) 2011 c) 2012 d) 2013 e) 2014
25) (CESGRANRIO 2014/Petrobras) O produto de dois números naturais, x e y, é igual a 765. Se x é um número primo maior que 5, então a diferença y – x é igual a
(A) 6 (B) 17 (C) 19 (D) 28 (E) 45
26) (CESPE 2012/TJ-RO) Considere as seguintes definições:
I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n;
II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n;
III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro.
Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.
O número 28 é um número perfeito.
( ) Certo ( ) Errado
27) (CESPE 2012/TJ-RO) Considere as seguintes definições:
I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n;
II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n;
III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro.
Com base nessasdefinições, julgue os itens que seguem.
Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2
elementos.
( ) Certo ( ) Errado
Errado
28) (FCC 2016/ELETROSUL) Considere o número natural A e o número natural B. Sabe-se que B é divisor de A, e que o quociente entre A e B é igual a 24. O quociente entre o dobro do número A e o triplo do número B é igual a
(A) 12. (B) 16. (C) 8. (D) 15. (E) 36.
29) (FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão de 14 por 22. O produto A . B . C é igual a
(A) 3,072072072 ... (B) 3,636363 ... (C) 3,121212 ...
(D) 3,252525 ... (E) 3,111...
30) (ACEP - 2003 - BNB - Assistente Administrativo) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:
A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92
31) (ESAF 2006/SUSEP) Indique qual o número racional geratriz da dízima periódica 7,233....
a) 723/99 b) 723/90 c) 716/99 d) 716/90 e) 651/90
32) (FUNCAB 2012/CBM-AC) Determine o valor de (n)/2, sabendo que n é o número de divisores naturais de 3000.
A) 3 B) 4 C) 8 D) 16 E) 24
33) (CESPE 2018/SEDUC-AL) Em virtude de necessidades contábeis da época, os egípcios tinham a preferência pela utilização das frações unitárias, isto e, aquelas em que o numero 1 é o numerador. Parte do Papiro de Rhind, um importante registro matemático dos egípcios, trata da decomposição de frações a partir de frações unitárias. As frações unitárias na forma 1/n sempre podem ser decompostas em exatamente duas frações unitárias, por exemplo .
Nesse contexto, é correto afirmar que as únicas decomposições da fração unitária são e 
( ) Certo ( ) Errado
34) (CESPE – 2017) As figuras I e II a seguir ilustram recipientes cilíndricos retos, idênticos, que contêm suco. Em cada recipiente foram feitas marcações igualmente espaçadas, mas diferentes nos recipientes I e II. Há mais suco no recipiente I que no II.
Nessa situação, a fração do volume que o recipiente I tem a mais que o II é igual a
A. 8/15. B. 8/13. C. 3/10. D. 4/3. E. 7/20.
35) (FCC 2010/ALE-SP) Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em sua dispensa, havia uma barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e pegar a quantidade de partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os esquemas abaixo, em que os retângulos escuros correspondem às partes da barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que representa os 200 gramas pedidos na receita é
 
 
36) (CESPE 2017/SEDF) Se uma TV digital tiver uma resolução de 1.080 pixels de largura por 720 pixels de altura, então o quociente, em pixels, da altura pela largura correspondera a um numero decimal que poderá ser representado por uma dizima periódica.
( ) Certo ( ) Errado
37) (FCC 2017/SABESP) Se a = 2/5, b = 7/20, c = 9/27 e d = 11/30, então:
a) c < d < b < a. b) b < c< d < a. c) c < b < a < d.
d) b < c < a < d. e) c < b < d < a.
38) (FGV 2015/Analista Judiciário – TJ/PI) Francisco vendeu seu carro e, do valor recebido, usou a quarte parte para pagar dívidas, ficando então com R$ 21.600,00. Francisco vendeu seu
carro por:
a) R$ 27.600,00 b) R$ 28.400,00 c) R$ 28.800,00
d) R$ 29.200,00 e) R$ 29.400,00
39) (AOPC 2016/Agente de Tributos – Prefeitura de Juazeiro) A distância entre duas cidades é 120 Km. Se uma pessoa percorreu 2/5 dessa distância, então ela já percorreu
(A) 24 Km. (B) 100 Km. (C) 72 Km.
(D) 48 Km. (E) 37 Km.
40) (AOPC 2016/Auditor Fiscal – Prefeitura de Juazeiro) Em uma sala de aula de 54 alunos, 30 alunos faltaram à aula. Uma fração que representa a quantidade de alunos que faltaram, em relação ao total de alunos dessa sala de aula, é igual a
a) 9/5 b) 3/8 c) 5/27 d) 8/3 e) 5/9
41) (AOPC 2015/Analista Administrativo – EBSERH) Juliana passará 3/5 de suas férias na praia e o restante em casa. Sabendo que Juliana possui no total 45 dias de férias, quantos dias ela passará em casa?
(A) 35 (B) 30 (C) 27 (D) 18 (E) 15
42) (AOPC 2015/Agente Administrativo – Prefeitura de Angra dos Reis) Dos funcionários de um determinado setor de uma empresa, 1/2 irão votar no candidato A para a coordenação e 2/5 irão votar no candidato B. Sabendo disso, qual é a fração de funcionários que NÃO irá votar em nenhum desses dois candidatos?
(A) 3/5 (B) 1/5 (C) ½ (D) 9/10 (E) 1/10
43) (VUNESP 2010/Agente Fiscalização Sanitária – Pref. de Sorocaba) Do trecho total que Elias deve fiscalizar, ontem ele fiscalizou a metade e hoje 3/8, faltando ainda para fiscalizar 1.800 metros. Portanto, hoje ele fiscalizou
(A) 1,6 km (B) 2,4 km (C) 5,4 km
(D) 5,8 km (E) 7,2 km
44) (FGV 2016/IBGE) Um segmento de reta de comprimento C é dividido em cinco partes iguais, e a segunda e a quarta partes são retiradas. A seguir, cada uma das partes restantes é também dividida em cinco partes iguais, e as segundas e as quartas partes são retiradas. A soma dos comprimentos das partes restantes é:
a) 9C/25 b) 8C/25 c) 6C/25 d) 4C/5 e) 3C/5
45) (CESGRANRIO 2015/Liquigás) Se Aldo tem 3/4 de um real e, Baldo tem 3/10 de um real, juntos eles possuem
(A) R$ 0,90 (B) R$ 0,95 (C) R$ 1,00
(D) R$ 1,05 (E) R$ 1,10
46) (FCC 2016/Analista Judiciário TRF 3ª Região) Em uma empresa, um funcionário deve cumprir exatas 8 horas de trabalho em um dia. Certo dia, um funcionário trabalhou 2 horas e 14 minutos; em seguida trabalhou outras 3 horas e 38 minutos. A fração da carga diária de tempo de trabalho que esse funcionário ainda deve cumprir nesse dia é igual a
a) 4/15 b) 1/4 c) 3/5 d) 3/8 e) 7/20
47) (FCC 2013/DPE-RS) Em uma empresa, 2/3 dos funcionários são homens e 3/5 falam inglês. Sabendo que 1/12 dos funcionários são mulheres que não falam inglês, pode-se concluir que os homens que falam inglês representam, em relação ao total de funcionários, uma fração equivalente a
(A) 3/10 (B) 7/20 (C) 2/5 (D) 9/20 (E) 1/2
48) (FCC 2016/TRT 14a Região) Em um curso de informática, 2/3 dos alunos matriculados são mulheres. Em certo dia de aula, 2/5 das mulheres matriculadas no curso estavam presentes e todos os homens matriculados estavam presentes, o que totalizou 27 alunos (homens e mulheres) presentes na aula. Nas condições dadas, o total de alunos homens matriculados nesse curso é igual a
a) 18 b) 10 c) 15 d) 12 e) 21
49) (VUNESP 2010/CREA/SP) Uma empresa aumentou em 1/3 o número de seus funcionários que inicialmente era de 42. Com o crescimento de seus negócios nos últimos tempos, admitiu mais 1/8 do que passou a ter para seu quadro de colaboradores. O número atual de funcionários é
(A) 56 (B) 61 (C) 62 (D) 63 (E) 65
50) (VUNESP 2010/Instituto Butantan) Na 2.ª feira, numa população de 100 gramas de fungos, foi colocado um produto para combatê-los. Na 3.ª feira, constatou-se a redução de 1/10 da massa da população do dia anterior. Foi colocado novamente o produto. Na 4.ª feira, a redução observada foi de 1/10 da massa do dia anterior. Foi colocado novamente o produto, e assim por diante. A diferença da massa da população de fungos, entre 4.ª feira e 5.ª feira, em gramas, foi de
(A) 10. (B) 9. (C) 8,9. (D) 8,1. (E) 7,8.
51) (VUNESP 2010/FDE) Para percorrer a distância entre São Paulo e Santos, um ônibus gasta 7/4 de horas. Se o mesmo percurso fosse feito por uma Van, seriam gastos apenas 5/4 de horas. Então, uma pessoa que utilizasse a Van estaria economizando, em relação ao tempo gastocom ônibus, um total de
(A) 7,5 minutos. (B) 15 minutos. (C) 22,5 minutos.
(D) 30 minutos. (E) 37,5 minutos.
52) (VUNESP 2010/FDE) Um funcionário, encarregado de distribuir clipes de papel em duas mesas, colocou 2/7 do total de clipes que tinha na caixa na primeira mesa e 30 clipes na segunda mesa, restando ainda 50 clipes dentro da caixa. O total de clipes que havia inicialmente na caixa era
(A) 110 (B) 112 (C) 115 (D) 118 (E) 120
53) (VUNESP 2010/FDE) Uma firma utiliza um filtro de água que enche um galão de 10 litros em 1/20 de hora. Para encher outro galão de 15 litros, a quantidade de segundos que esse mesmo filtro gastaria seria
(A) 180 (B) 240 (C) 270 (D) 300 (E) 330
54) (VUNESP 2010/FDE) Uma criança pesou seu cofrinho que está totalmente cheio de moedas e constatou que sua massa era de 3 quilos. Após gastar 4/5 dessas moedas, pesou novamente o cofrinho, cuja massa agora é 1 quilo. A massa, em gramas, das moedas que restaram dentro do cofrinho é
(A) 2.500. (B) 2.000 (C) 1.500 (D) 1.000 (E) 500
Gabarito:
1D; 2E; 3B; 4D; 5C; 6E; 7B; 8E; 9B; 10C; 11C; 12D; 13C; 14D; 15D; 16C; 17C; 18A; 19B; 20C; 21B; 22D; 23A; 24E; 25B; 26C; 27E; 28B; 29B; 30B; 31E; 32D; 33E; 34E; 35C; 36C; 37E; 38C; 39D; 40E; 41D; 42E; 43C; 44A; 45D; 46A; 47B; 48C; 49D; 50D; 51D; 52B; 53C; 54E.
2 – Expressões Numéricas.
2.1 – Expressões Numéricas
Expressões Numéricas são combinações de números, operações e símbolos gráficos agrupados de maneira a possuir um significado matemático. Isso significa que podemos resolver uma expressão numérica e determinar o seu valor ou resultado numérico.
Exemplos: 
· 
· 
· 
Os símbolos gráficos vistos são os parênteses “( )”, os colchetes “[ ]” e as chaves “{ }”, e representam uma hierarquia na resolução de uma expressão.
As operações são soma “+”, subtração “–”, multiplicação “x” ou “.” e divisão “:”, já estudadas anteriormente.
Uma maneira mais rigorosa de definirmos uma expressão numérica é a seguinte:
1) Qualquer número real é uma expressão numérica.
2) Seja P uma expressão numérica, qualquer operador (potência, raiz, logaritmo etc) aplicado em P também será uma expressão numérica.
3) Se P e Q são expressões numéricas, então P + Q é uma expressão numérica.
4) Se P e Q são expressões numéricas, então P – Q é uma expressão numérica.
5) Se P e Q são expressões numéricas, então PxQ é uma expressão numérica.
6) Se P e Q são expressões numéricas, então P : Q é uma expressão numérica.
7) Se P é uma expressão numérica, então (P) é uma expressão numérica.
8) Se P é uma expressão numérica, então [P] é uma expressão numérica.
9) Se P é uma expressão numérica, então {P} é uma expressão numérica.
As nove regras acima permitem construir qualquer expressão numérica que nos interessa.
2.1.1 – Solução de uma expressão numérica
Existem regras e hierarquias na solução de uma expressão numérica. Vejamos a seguir:
- Símbolos gráficos
A hierarquia é a seguinte: primeiro se resolve os parênteses, depois os colchetes e depois as chaves.
1º - Parênteses: “( )”
2º - Colchetes: “[ ]”
3º - Chaves: “{ }”
- Operações
A hierarquia das operações é a seguinte: primeiro se resolve a multiplicação ou a divisão, na ordem em que aparecem; depois se resolve a soma ou subtração, na ordem em que aparecem.
1º - Multiplicação ou divisão
2º - Soma ou subtração
Exemplo
 
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) Resolva as expressões numéricas abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
-------------------------------------------------------------
-------------Exercícios do Capítulo -------------
1) (VUNESP 2010/CREA-SP) O quociente A:B entre as expressões e vale
a) – 1/3 b) 1/3 c) – 3 d) 3 e) – 9
2) (FCC 2016/COPERGAS) O resultado da expressão
 
É igual a:
a) 7/3 b) 19/8 c) -3/4 d) 13/4 e) 11/6
3) (VUNESP 2014/Pref. de São José do Rio Preto)
Considere a seguinte expressão algébrica:
.
O valor numérico dessa expressão para x = 11 é:
a) 2,4 b) 1,2 c) 0,6 d) -1,5 e) 3,8
4) (FCC) O valor da expressão , para A = 2 e B = -1, é um número compreendido entre.
a) -2 e 1. b) 1 e 4. c) 4 e 7. d) 7 e 9. e) 9 e 10.
Gabarito:
1C; 2D; 3B; 4B.
3 – Razão e Proporção
3.1 – Razão 
Definimos como razão a divisão entre dois números reais quaisquer, desde que o numerador seja diferente de zero.
Assim, qualquer Relação entre duas grandezas na forma , com , é uma razão.
Exemplos:
; ; ;
Fica claro que qualquer número racional é também uma razão, uma vez que é escrito como uma divisão de dois números inteiros.
Propriedades:
1) Uma razão não é alterada se multiplicarmos o numerador e o denominador por um mesmo número.
Exemplos:
; ; 
2) Uma razão não é alterada se dividirmos o numerador e o denominador por um mesmo número.
Exemplos:
; ; 
Observação:
Uma razão a/b também é lida na forma a está para b.
Vejamos agora algumas aplicações desses conceito:
1) Em uma festa de 100 convidados, 75 eram mulheres.
Assim, a razão é expressa na forma:
Que podemos simplificar por 25
Ou seja, existem 3 mulheres para cada 4 convidados.
2) Um terreno tem uma área de 200 m² e está inserido em uma quadra de 10000 m². A razão entre a área do terreno e a área da quadra é dada por
 
Que pode ser simplificada da seguinte forma
Ou seja, a área do terreno é 50 vezes menor que a área da quadra.
3) (INAZ do Pará - 2017 – Prefeitura de Rolim de Moura - RO) Faltam 12 segundos para acabar uma partida de basquete. Um dos times está perdendo por um ponto e o seu técnico terá que decidir qual jogador fará o último arremesso. Seu auxiliar técnico traz uma tabela com as cinco opções possíveis naquele jogo. A tabela abaixo mostra a quantidade total de arremessos e de acertos de cada jogador. O jogador escolhido será o que tiver o melhor aproveitamento, de acordo com os acertos pelo total de arremessos. Baseando-se na tabela, qual jogador deverá ser escolhido pelo treinador?
A) I B) II C) III D) IV E) V
Resolução:
Basta calcularmos as razões entre o número de acertos e o total de arremessos de cada jogador.
Jogador I
1 acerto a cada 2 arremessos ou 0,5 acertos por arremesso.
Jogador II
3 acertos a cada 5 arremessos ou 0,6 acertos por arremesso.
Jogador III
4 acertos a cada 9 arremessos ou 0,444... certos por arremesso.
Jogador IV
3 acertos a cada 4 arremessos 0,75 acertos por arremesso.
Jogador V
3 acertos a cada 5 arremessos 0,6 acertos por arremesso.
Será escolhido aquele que tem maior número de acertos por arremesso, que no caso é o jogador IV.
Letra D.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) (VUNESP – 2018 – Prefeitura de São Bernardo do Campo – SP) Um terreno retangular de 8 mil metros quadrados de área tem a diferença entre as medidas dos seus lados igual a 20 metros. A razão entre as medidas do maior e do menor lado desse terreno é igual a
A) 1,10. B) 1,15. C) 1,20. D) 1,25. E) 1,30.
2) (VUNESP – 2019 – TJ-SP – Contador Judiciário) Em uma enquete, cada pessoa deveria escolher um dentre prato salgado ou prato doce. Um grupo de 168 pessoas participou da enquete e observou-se que a razão entre o número de votos para prato salgado e o número de votos para prato doce foi 5/7 . Dentre aqueles que votaram no prato doce, o número de pessoas que deveriam trocar sua escolha para que essa razão se tornasse 3/1 é igual a
A) 56. B) 60. C) 48. D) 64. E) 68.
3) (VUNESP – 2019) Um recipiente A possuía 9 litros de água e outro recipiente B possuía 4 litros de álcool. Foram passados 2 litros do recipiente A para o recipiente B, de maneira que a mistura resultante ficou homogênea. Em seguida foram passados 3 litros do recipiente B para o recipiente A, e a razão entre o volume de álcool e o volume total do recipiente A ficou em
A) 1/5 B) 2/5 C) 3/5 D) 3/10 E) 7/10
4) (VUNESP – 2019 – UMICAMP – Profissional para Assuntos Administrativos)Um certo tipo de peça é produzida por duas máquinas. Uma das máquinas produz essa peça a cada 56 segundos e a outra máquina produz a peça a cada 1 minuto e 12 segundos. Essas duas máquinas iniciaram a produção dessas peças às 13h e, funcionando ininterruptamente, produziram um total de 144 peças quando o relógio marcava um horário entre
A) 14h e 14h05. B) 14h05 e 14h10.
C) 14h10 e 14h15. D) 14h15 e 14h20.
E) 14h20 e 14h25.
5) (CESPE – 2018 – BNB – Analista Bancário) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, divisão proporcional, média e porcentagem.
Um digitador digita, em média, sem interrupção, 80 palavras por minuto e gasta 25 minutos para concluir um trabalho. Nessa situação, para que o digitador conclua o mesmo trabalho em 20 minutos, sem interrupção, ele terá que digitar, em média, 90 palavras por minuto.
( ) Certo ( ) Errado
6) (VUNESP - 2018 - Câmara Municipal de São José dos Campos - SP - Técnico Legislativo) Uma pesquisa foi feita com 380 pessoas que tinham, pelo menos, o ensino médio completo. A pesquisa pretendeu identificar o grau de escolaridade do público pesquisado, e a tabela representa o resultado.
Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que,
A) no grupo dos homens, 1 em cada 4 pessoas tem somente o ensino médio completo.
B) no grupo dos homens, 1 em cada 5 pessoas tem somente o ensino médio completo.
C) no grupo dos homens, 1 em cada 6 pessoas tem somente o ensino médio completo.
D) no grupo das mulheres, 1 em cada 4 pessoas tem somente o ensino médio completo.
E) no grupo das mulheres, 1 em cada 6 pessoas tem somente o ensino médio completo.
7) (VUNESP - 2018 - Câmara Municipal de São José dos Campos - SP - Técnico Legislativo) Em um concurso somente para os cargos A e B, cada candidato poderia fazer inscrição para um desses cargos. Sabendo que o número de candidatos inscritos para o cargo A era 3000 unidades menor que o número de candidatos inscritos para o cargo B, e que a razão entre os respectivos números, nessa ordem, era igual a 0,4, então é verdade que o número de candidatos inscritos para o cargo B correspondeu, do total de candidatos inscritos, a
A) 3/7 B) 5/9 C) 4/7 D) 2/3 E) 5/7
8) (VUNESP – 2018 – Prefeitura de Barretos – SP) Em um laboratório escolar, há alguns recipientes iguais ao representado na figura, em que as medidas internas estão indicadas em centímetros. Todos têm a forma de bloco retangular de base quadrada, sendo a área da base igual a 400 cm2. Sabe-se que cada recipiente contém, quando totalmente cheio, 14000 cm3 de determinado componente líquido. 
Nessas condições, a razão entre as medidas, em centímetros, da aresta da base e da altura desse recipiente, indicada por h na figura, será igual a
A) 3/ 8 B) 4/ 7 C) 3/ 5 D) 2/ 3 E) 5/ 7
------------------------------------------------------------------
3.2 – Proporção
Definimos uma proporção como uma igualdade entre duas razões. Assim, caso a igualdade valha, temos uma proporção como segue:
, onde a, b, c, e d são números reais.
Exemplos:
1) Verifique se os lados dos triângulo abaixo são proporcionais:
Temos:
Portanto:
Logo, os lados são proporcionais.
- Propriedade fundamental das proporções:
As razões e formam uma proporção, ou seja, se, e somente se, , com .
Demonstração:
Suponha válida a proporção .
Multiplicando por b em ambos os lados, obtemos , resultando em .
Multiplicando esse resultado por d, chegamos em , resultando em , como queríamos demonstrar. 
Verifica-se, de maneira análoga, que a recíproca também é válida.
A regra prática é que se temos uma proporção, então vale a multiplicação cruzada dos termos.
 (multiplicação cruzada) 
Exemplos
A propriedade fundamental das proporções é particularmente útil quando temos um valor desconhecido em uma proporção, sendo possível determina-lo.
· 
· 
· 
Como exemplo de aplicação das proporções, podemos resolver um exercício do ENEM 2012.
(Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? 
a) 24 litros b) 36 litros c) 40 litros d) 42 litros e) 50 litros
Resolução: Vamos atribuir a letra x ao volume de água despejado pela bacia ecológica durante um dia.
Como estamos relacionando as grandezas, as razoes entre o que se despeja por descarga com o que se despeja por dia nas duas bacias deve formar uma proporção. Assim:
Pela regra da multiplicação cruzada, obtemos
, resultando em 
Dividindo toda a equação por 15, obtemos:
Segue que a bacia ecológica gasta 24 litros por dia. Para sabermos a economia, basta subtrairmos esse valor de 60, ou seja, economia = 60 – 24 = 36 litros.
Portanto a resposta é a letra b.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) (OFFICIUM - 2005 - TJ-RS) O valor de x que torna verdadeira a igualdade é:
A) -8 B) -2 C) 2 D) 8 E) 10
2) (VUNESP - 2016 - UNIFESP – Enfermeiro) Em 2012, conforme informações do Almanaque Abril, o número de mortes da primeira doença que mais matou no mundo foi próximo de 7,4 milhões, ao passo que o número de mortes da quinta doença que mais matou no mundo foi próximo de 1,6 milhão. Mantendo-se a razão entre esses números, e supondo-se que a quinta doença tivesse causado, aproximadamente, 2 milhões de mortes, é correto afirmar que o número de mortes causadas pela primeira doença, em milhões, seria maior que o número apresentado em, aproximadamente,
A) 1,65. B) 1,70. C) 1,75. D) 1,85. E) 1,90.
3) (VUNESP - 2018 - Prefeitura de Garça - SP) Em uma sala de aula, há 16 meninos e certo número de meninas. Se nessa sala tivesse um menino a menos e uma menina a mais, a razão entre o número de meninos e o número de meninas seria 3/ 4. Logo, o número total de alunos dessa sala é
A) 33. B) 34. C) 35. D) 36. E) 37.
4) (VUNESP – 2018 – Câmara de Dois Córregos – SP – Diretor Contábil Legislativo) Sabe-se que n candidatos participaram da primeira fase de um processo seletivo, e que a razão entre o número de candidatos classificados para a segunda fase e o número de candidatos desclassificados foi de 2 para 3, nessa ordem. Sabe-se também que todos os candidatos classificados participaram da segunda fase, e que 19/20 deles foram eliminados, restando apenas 6 candidatos.
Nessas condições, é correto afirmar que n é igual a
A) 120. B) 150. C) 180. D) 240. E) 300.
5) (VUNESP – 2018 – Câmara de Dois Córregos – SP) Duas impressoras, A e B, imprimem juntas 1800 páginas em uma hora. Sabendo-se que a razão entre o número de páginas impressas pela impressora A e o número de páginas impressas pela impressora B, em uma hora, é 5/ 7, então o tempo necessário para que a impressora A imprima sozinha 2400 páginas é
A) 2 horas e 55 minutos. B) 3 horas e 12 minutos.
C) 3 horas e 26 minutos. D) 3 horas e 37 minutos.
E) 3 horas e 48 minutos.
6) (FCC – 2018 – TRT - 6ª Região (PE) – Analista Judiciário – Área Judiciária) A relação entre funcionários homens e funcionárias mulheres em uma repartição pública é de 5 para 4, nessa ordem. Após um concurso, foram admitidos 5 novos funcionários homens e 12 novas funcionárias mulheres nessa repartição. Com o ingresso desses funcionários, a proporção entre funcionários homens e funcionárias mulheres da repartição passou a ser de 9 para 8, nessa ordem. Sendo assim, depois do concurso a repartição passou a ter um total de funcionárias mulheres igual a
A) 64.B) 78. C) 80. D) 72. E) 70.
7) (CESGRANRIO – 2018 – Transpetro – Analista Financeiro Júnior) A febre amarela é uma doença infecciosa febril aguda, causada por um vírus transmitido por mosquitos. Uma medida importante para prevenção e controle da febre amarela é a vacinação. Uma empresa, preocupada com a saúde de seus funcionários, fez um levantamento para saber quantos já tinham sido vacinados. Foi verificado que dos 1.000 funcionários apenas 200 já haviam tomado a vacina.
Se forem selecionados ao acaso 200 funcionários da empresa, o número esperado de pessoas que não tomaram a vacina é de
A) 20 B) 40 C) 80 D) 120 E) 160
8) (VUNESP – 2016) Em uma tomada de preços para a compra de certo produto, observa-se que a razão entre o maior e o menor preço encontrados é de 12 para 7, e que a diferença entre eles é igual a R$ 80,00. Nessas condições, é correto afirmar que, nessa tomada de preços, o maior preço encontrado foi
A) R$ 182,00. B) R$ 188,00. C) R$ 192,00.
D) R$ 200,00. E)R$ 204,00.
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3.6 – Regra de Três
A regra de três é um processo usado para resolver problemas envolvendo grandezas que são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. 
Basicamente, consiste em determinarmos um valor desconhecido de uma incógnita a partir de três valores conhecidos, de forma que esses valores se relacionem por proporções diretas ou inversas. Desse modo, é possível usar as propriedades das proporções para resolver um problema.
Exemplos:
, , 
Perceba que em cada uma das proporções acima há três valores conhecidos e um desconhecido (as incógnitas x e y).
Usamos a multiplicação cruzada para resolvermos os problemas.
Existem dois tipos de regras de três: a simples e a composta. 
3.6.1 – Regra de três simples para grandezas diretamente proporcionais
Usada quando o problema envolve duas grandezas diretamente proporcionais.
É aplicada seguindo a ideia básica das grandezas diretamente proporcionais: se uma grandeza aumenta de valor, a outra também aumenta proporcionalmente.
Exemplo:
1) Para se construir um muro de 17m², em determinado intervalo de tempo, são necessários 3 trabalhadores. Quantos trabalhadores serão necessários para construir um muro de 51m² no mesmo intervalo de tempo?
Resolução: As grandezas são diretamente proporcionais, pois se aumentarmos a área do muro, aumentamos o número de trabalhadores necessários; se diminuirmos o número de trabalhadores, diminuímos também a área construída.
Assim, construímos a tabela com os valores correspondentes:
	Área construída (m²)
	Número de trabalhadores
	17
	3
	51
	x
Chamamos então o valor desconhecido de x.
como as quantidades são diretamente proporcionais, as razões são diretas:
; e usamos a técnica da multiplicação cruzada para resolvermos o problema:
Ou seja, precisaríamos de 9 trabalhadores.
3.6.2 – Regra de três simples para grandezas inversamente proporcionais
Usada quando o problema envolve duas grandezas inversamente proporcionais.
É aplicada seguindo a ideia básica das grandezas diretamente proporcionais: se uma grandeza aumenta de valor, a outra diminui.
Exemplo:
1) (FAPEC) Um pacote de 20 kg de ração alimenta dois cachorros de Rose por 63 dias. Caso Rose tivesse três cachorros, esse pacote alimentaria os cães por quantos dias?
Resolução: O número de cachorros é inversamente proporcional ao número de dias que a ração irá durar. Quanto mais cachorros, menos dias a ração durará; e quanto mais dias a ração durar, significa que menos cachorros Rose tem.
Assim, construímos a tabela com os valores correspondentes:
	Número de cachorros
	Dias
	2
	63
	3
	x
Como as grandezas são inversamente proporcionais, uma das razões deve ser invertida. Basta agora construímos a proporção dos valores correspondentes das duas grandezas inversamente proporcionais.
Agora, pela mesma técnica de resolução das regras de três simples, usamos as propriedades das proporções, resultando em:
Assim, o pacote de ração duraria 42 dias.
---------------------Vamos Praticar? ---------------------
1) (FGV – 2018 – Banestes – Técnico Bancário ) Para montar certo aparelho um operário demora 25 minutos. 
Trabalhando continuamente, para montar 10 aparelhos esse operário gastará:
A) 4 horas; B) 4 horas e 10 minutos;
C) 4 horas e 20 minutos; D) 4 horas e meia;
E) 4 horas e 40 minutos.
2) (FCC – 2014 – SABESP – Técnico em Gestão) Para catalogar um lote de processos 7 funcionários, trabalhando continuamente, gastariam 12 horas e 24 minutos. Após trabalharem metade desse tempo, mais 5 funcionários foram agregados ao trabalho. Supondo que todos apresentem o mesmo desempenho e que o trabalho não seja interrompido, o tempo total gasto na catalogação do lote é igual a
A) 6 horas e 43 minutos. B) 6 horas e 12 minutos.
C) 9 horas e 49 minutos. D) 8 horas e 36 minutos.
E) 10 horas e 15 minutos.
3) (VUNESP/CREA-SP) As medidas das telas dos televisores são feitas segundo a diagonal do retângulo ou quadrado que as define. Um aparelho de 32 polegadas teve sua diagonal medida com uma régua milimetrada que acusou 80 cm. Assim, quando a tela de um televisor de 42 polegadas for medida com a mesma régua, esta acusará
A) 90 cm. B) 95 cm. C) 100 cm. D) 105 cm. E) 110 cm.
4) (VUNESP/CREA-SP) Para descarregar um lote de mercadorias de um caminhão de entrega e colocá-las no galpão de armazenamento, 4 operários completam o serviço em 2h 45 min; no mesmo padrão de eficiência, 6 operários fariam esse mesmo serviço em
a) 1h 50min. b) 2h. c) 2h 10min.
d) 2h 15min. e) 4h 7min 30s.
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3.6.3 – Regra de três composta
A regra de três composta é usada quando temos mais de duas grandezas que se relacionam por proporções.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m3?
Solução: montamos a tabela colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, os valores correspondentes de cada grandeza. É conveniente colocar a grandeza de valor desconhecido na primeira coluna da tabela:
	Caminhões
	Volume (m³)
	Horas
	20
	160
	8
	x
	125
	5
Perceba que os valores de cada linha são os que se correspondem naquele exato momento: 20 caminhões carregam 160 m³ de areia em 8 horas; x caminhões carregam 125m³ de areia em 5 horas.
O próximo passo é desenharmos uma flecha no sentido que construiremos a razão da grandeza com valor desconhecido. Nesse caso faremos a leitura de cima para baixo (pode ser ao contrário também, basta usar a mesma lógica até o fim do exercício).
	Caminhões
	Volume (m³)
	Horas
	20
	160
	8
	x
	125
	5
Os passos seguintes consistem em analisarmos quais grandezas são diretamente proporcionais e quais são inversamente proporcionais a essa primeira. Quem tiver uma proporção direta ganhará uma flecha no mesmo sentido da primeira (leitura da razão no mesmo sentido); quem tiver proporção inversa ganhará uma flecha no sentido contrário ao da primeira (leitura da razão inversa).
Podemos notar que se aumentarmos o número de caminhões, então o volume de areia descarregado também aumenta proporcionalmente, portanto são grandezas DIRETAMENTE proporcionais.
	Caminhões
	Volume (m³)
	Horas
	20
	160
	8
	x
	125
	5
Finalmente, se aumentarmos o número de caminhões, o tempo de descarregamento de uma determinada quantidade de areia diminui proporcionalmente, portanto são grandezas INVERSAMENTE proporcionais. 
Assim, devemos inverter a razão correspondente às horas.
	Caminhões
	Volume (m³)
	Horas
	20
	160
	8
	x
	125
	5
Agora devemos escrever as razões correspondentes em uma equação de proporção. Veja que devemos inverter a razão de quem for inversamente proporcional à grandeza analisada:
 
A grandeza com o valor desconhecido (a incógnita x) sempre fica de um dos lados da igualdade (vamos adotar o lado esquerdo