GEOMETRIA ANALÍTICA - RETAS PERPENDICULARES E DISTANCIA DE PONTO A RETA

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GEOMETRIA ANALÍTICA
Estudo da reta: retas perpendiculares e distância de ponto a reta
Aulas 13, 14, 15 e 16 
Considerando o ângulo de inclinação da reta s como sendo β, então o ângulo de inclinação da reta r será 90° + β. Dessa forma teremos:
Coeficiente angular da reta s: ms = tg β
Coeficiente angular da reta r: mr = tg (90° + β)
A característica mais conhecida de duas retas perpendiculares é que no ponto de intersecção delas é formado um ângulo reto (de medida igual a 90°), mas com o estudo da geometria analítica em cima da análise da reta é possível dizer que duas retas perpendiculares terão os seus coeficientes angulares opostos e inversos.
RETAS PERPENDICULARES 
Considere duas retas r e s, perpendiculares no ponto C, representadas em um plano cartesiano.
Aplicando as fórmulas de adição de arcos é possível comparar o coeficiente angular das duas retas, veja:
tg (90° + β) = sen (90° + β) = sen90° . cos β + sen β . cos 
β
                         cos (90° + β)    cos90° . cos β – sen 90° . sen β
tg (90° + β) = cos β
                       -sen β
tg (90° + β) = - 1
                        tg β
Como ms = tg β e mr = - 1 / tg β, podemos dizer que:
ms = -1 / mr ou ms . mr = -1
Dessa forma, chegamos à conclusão de que em duas retas perpendiculares o coeficiente angular de uma das retas será igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
01) Determine a equação geral da reta (s) que passa pelo ponto P(0 , -3) e é perpendicular à reta (r) de equação y = 4x - 8.
02) Dados os pontos A(-1 , 4), B(7 , 3) e C(0 , 5), determine a equação reduzida da reta t que passa pelo ponto C e é paralela à reta AB.
03) Determine a equação geral da reta suporte da altura relativa ao vértice A do triângulo ABC cujos vértices são A(6 , 2), B(3 , 8) e C(-4 , -1).
04) Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto P(2 , 7) e é perpendicular à reta (s) y = 3x - 1.
05) Determine a equação geral da reta s desenhada abaixo.
06) Um quadrado ABCD tem vértices consecutivos A(4 , -5), B(3 , -1) e C(7 , 0). Determine a equação geral da reta AD.
RESOLUÇÕES 
RESOLUÇÕES 
01) 
02) 
03) 
04) 
RESOLUÇÕES 
05) 
06) 
FORMULÁRIO 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO A RETA 
A Geometria Analítica objetiva seus estudos através da conciliação entre a Álgebra e a Geometria. Dessa forma, algumas situações podem ser analisadas metodicamente, através da interpretação geométrica e das relações algébricas.
Uma dessas importantes relações da Geometria Analítica é a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.
A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.
Estabelecendo a equação geral da reta s: ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:
d = |ax0 + by0 + c|
      √(a2 + b2)
Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.
Exemplo 
Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.
Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
01) Determine a distância entre a reta 3x + 2y - 9 = 0 e o ponto P(2 , -5).
02) Dada abaixo a equação segmentária da reta s, determine a distância entre s e o ponto P(-3 , 8).
03) Determine a distância entre a origem do sistema cartesiano e a reta (s) 6x - y + 9 = 0.
04) O triângulo ABC tem vértice C(7 , -2) e área 12. Determine a distância entre os pontos A e B, sabendo que ambos pertencem à reta (r) 3x - 4y + 1 = 0.
05) (UFMG-MG) A equação da bissetriz do ângulo agudo formado pelas retas (r) y = x e (s) y = 2x, é:
06) Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x – 2, e a reta r2, de equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1//r2.
RESOLUÇÕES 
RESOLUÇÕES 
01) 
02) 
03) 
04) 
RESOLUÇÕES 
05)
RESOLUÇÕES 
06) 
FORMULÁRIO