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Prof. DSc. Jefferson de Souza Pinto 
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 Prof. DSc. Jefferson de Souza Pinto 
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PREFÁCIO 
Esta apostila foi elaborada com o objetivo principal de apresentar aos alunos os conceitos e o 
conhecimento da Estatística, e sua utilização na solução de diversos problemas que envolvem o atual 
contexto profissional. 
 
BOA SORTE EM SEUS ESTUDOS!!! 
 
 
Prof. DSc. Jefferson de Souza Pinto 
Doutor em Engenharia Mecânica - DEF/FEM/UNICAMP 
Pós-doutor em Engenharia Mecânica - DEF/FEM/UNICAMP 
Professor Concursado do IFSP desde 2010. 
 
 
Fevereiro/2018 
 
Contato: 
jeffsouzap@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. DSc. Jefferson de Souza Pinto 
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SUMÁRIO 
 
 
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 5 
1.1 DADOS ESTATÍSTICOS ........................................................................................................... 5 
1.2 POPULAÇÃO E AMOSTRA ...................................................................................................... 5 
1.3 VARIÁVEIS CONTÍNUAS OU DISCRETAS ............................................................................ 6 
1.4 ARREDONDAMENTO .............................................................................................................. 6 
EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 01 - INTRODUÇÃO ........................................................................... 7 
CAPÍTULO 2 - APRESENTAÇÃO DOS DADOS ATRAVÉS DE TABELAS ............................. 8 
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 2 - APRESENTAÇÃO DOS DADOS / TABELAS ........................... 10 
CAPÍTULO 3 - APRESENTAÇÃO GRÁFICA .............................................................................. 11 
3.1 GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS QUALITATIVAS OU QUANTITATIVAS DISCRETAS .... 11 
3.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS ..................................................................................... 13 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 - APRESENTAÇÃO GRÁFICA ....................................................... 20 
CAPÍTULO 4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO E OUTRAS MEDIDAS .................... 25 
4.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO ......................................................................................................... 25 
4.1.1 MÉDIA ARITMÉTICA .......................................................................................................... 25 
4.1.2 MÉDIA GEOMÉTRICA ........................................................................................................ 26 
4.1.3 MÉDIA HARMÔNICA .......................................................................................................... 27 
4.1.4 MEDIANA ............................................................................................................................. 27 
4.1.5 QUARTIS .............................................................................................................................. 29 
4.1.6 DECIS .................................................................................................................................... 30 
4.1.7 PERCENTIS ........................................................................................................................... 30 
4.1.8 MODA ................................................................................................................................... 31 
4.1.9 UMA ANÁLISE CONJUNTA DE ALGUMAS MEDIDAS ................................................... 33 
4.1.10 “BOX AND WHISKERS PLOT” = “CAIXA COM PATAS” .............................................. 33 
4.2 MEDIDAS DE DISPERSÃO..................................................................................................... 35 
4.2.1 AMPLITUDE ......................................................................................................................... 35 
4.2.2 VARIÂNCIA, DESVIO-PADRÃO E COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ................................ 35 
4.2.3 DESVIO PADRÃO ................................................................................................................ 36 
4.2.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ........................................................................................... 37 
4.2.5 AMPLITUDE INTERQUARTILÍCA (AIQ) ........................................................................... 37 
4.2.6 DESVIO MÉDIO (DM) .......................................................................................................... 38 
4.2.7 DESVIO QUARTÍLICO OU INTERQUARTÍLICO .............................................................. 39 
4.2.8 ERRO PADRÃO (SX) ............................................................................................................ 40 
4.3 MEDIDAS DE ASSIMETRIA .................................................................................................. 40 
4.3.1 PRIMEIRO COEFICIENTE DE PEARSON .......................................................................... 40 
4.3.2 SEGUNDO COEFICIENTE DE PEARSON .......................................................................... 41 
4.4 MEDIDAS DE CURTOSE ........................................................................................................ 41 
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 04 - MEDIDAS POSIÇÃO, DISPERSÃO E OUTRAS MEDIAS ...... 43 
CAPÍTULO 5 - PROBABILIDADE ................................................................................................. 47 
5.1 ESPAÇO AMOSTRAL ............................................................................................................. 47 
5.2 PROBABILIDADE E SUAS PROPRIEDADES ....................................................................... 49 
5.3 DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE .................................................................... 49 
5.4 PROBABILIDADE CONDICIONADA OU CONDICIONAL .................................................. 50 
5.4.1 TEOREMAS .......................................................................................................................... 50 
5.4.4.1 REGRA DO PRODUTO (TEOREMA DO PRODUTO) ...................................................... 50 
5.4.4.2 TEOREMA DE PROBABILIDADE TOTAL ...................................................................... 50 
5.4.4.3 TEOREMA DE BAYES ...................................................................................................... 50 
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 5 – PROBABILIDADE ..................................................................... 53 
CAPÍTULO 6- DISTRIBUIÇÕES .................................................................................................... 55 
 
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6.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE ............................................................................................ 55 
6.2 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ............................................................................................... 56 
6.2.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ................................................................................................ 56 
6.2.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON ............................................................................................. 57 
6.2.3 APROXIMAÇÕES DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL .......................................................... 57 
6.3 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS .............................................................................................. 58 
6.3.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL .................................................................................................. 58 
6.3.2 APROXIMAÇÕES PELA DISTRIBUIÇÃONORMAL......................................................... 60 
EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 6 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ................................. 61 
CAPÍTULO 7 - AMOSTRAGEM .................................................................................................... 65 
7.1 ETAPAS DE UM LEVANTAMENTO POR AMOSTRAGEM ................................................. 66 
7.2 TIPOS DE AMOSTRAGEM ..................................................................................................... 66 
7.4 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA ...................................................................................... 67 
7.4.1 AMOSTRAGEM CASUAL SIMPLES ................................................................................... 67 
7.4.2 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA ......................................................................................... 67 
7.4.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS........................................................................ 68 
7.4.4 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA ..................................................................................... 68 
7.4.5 AMOSTRAGEM POR ETAPA DUPLA (OU ESTÁGIO DUPLO) ........................................ 69 
7.4.6 AMOSTRAGEM MÚLTIPLA ............................................................................................... 69 
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 7 - AMOSTRAGEM ......................................................................... 70 
CAPÍTULO 8 - DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA: TEOREMA CENTRAL DO 
LIMITE ............................................................................................................................................... 71 
8.1. TEOREMA CENTRAL DO LIMITE ....................................................................................... 71 
8.2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO ................................................................. 72 
8.3. GRAUS DE LIBERDADE DE UMA ESTATÍSTICA .............................................................. 72 
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 8 -DISTRIBUIÇÃO POR AMOSTRAGEM ...................................... 74 
CAPÍTULO 9 – INTERVALOS DE CONFIANÇA ....................................................................... 75 
9.1 INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA UMA POPULAÇÃO ............................................... 75 
9.1.1 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA ............................................................... 75 
9.1.2. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO ....................................................... 76 
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 9 - INTERVALOS DE CONFIANÇA ............................................... 77 
CAPÍTULO 10 – TESTES DE HIPÓTESE ..................................................................................... 79 
10.1 TESTES PARA A MÉDIA POPULACIONAL........................................................................ 80 
10.1.1 TESTE PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM  DESCONHECIDO E  CONHECIDO
 ........................................................................................................................................................ 80 
10.1.2 TESTE PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM  E  CONHECIDO ............................ 81 
10.2 TESTES PARA PROPORÇÃO POPULACIONAL ................................................................. 82 
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 10 – TESTES DE HIPÓTESE ........................................................... 84 
CAPÍTULO 11 – DETERMINAÇÃO DE TAMANHO DE AMOSTRA ..................................... 85 
11.1 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA PARA A MÉDIA POPULACIONAL . 85 
11.1.1  CONHECIDO ................................................................................................................... 85 
11.1.2  DESCONHECIDO ............................................................................................................ 85 
11.1.3  CONHECIDO ................................................................................................................... 86 
11.1.4  DESCONHECIDO ............................................................................................................ 87 
11.2 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA PARA A PROPORÇÃO 
POPULACIONAL .......................................................................................................................... 87 
11.2.1 POPULAÇÕES INFINITAS ................................................................................................. 87 
11.2.1 POPULAÇÕES FINITAS ..................................................................................................... 88 
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 11 – DETERMINAÇÃO DE TAMANHO DE AMOSTRA ............... 90 
CAPÍTULO 12 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO ...................................................................... 91 
12.1 CORRELAÇÃO ...................................................................................................................... 91 
12.2 REGRESSÃO .......................................................................................................................... 92 
 
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EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 12 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO .............................................. 97 
CAPÍTULO 13 – ANÁLISE DE VARIÂNCIA ............................................................................. 102 
13.1 A ANOVA DE UM CRITÉRIO ............................................................................................ 103 
13.2 CÁLCULOS COM TAMANHOS DE AMOSTRAS IGUAIS ............................................... 103 
13.3 CÁLCULOS COM TAMANHOS DE AMOSTRAS DIFERENTES ..................................... 104 
13.4 ANÁLISE DE VARIÂNCIA USANDO O EXCEL –ANÁLISE DE DADOS – ANOVA: 
FATOR ÚNICO ............................................................................................................................ 105 
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 13 – ANÁLISE DE VARIÂNCIA ................................................... 106 
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 107 
TABELA – DISTRIBUIÇÃO t - STUDENT .............................................................................. 108 
TABELA DE PROBABILIDADES DA NORMAL PADRONIZADA - P(Z < z) ..................... 110 
TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS (5000 dígitos aleatórios) ........................................ 111 
TABELA F – NÍVEL 0,05 ........................................................................................................... 112 
TABELA F – NÍVEL 0,01 ........................................................................................................... 113 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 
 
 
A palavra estatística está associada a ideia de coleção de números. A estatística trata da 
organização e da apresentação de contagens e de medições. As informações são obtidas com a 
finalidade de acumular informações para a tomada de decisões. 
Exemplos: 
 índice de audiência: modificar o final da novela ou tirar o programa do ar. 
 pesquisas de opinião: o candidato pode modificar certas atitudes ou maneiras de se vestir. 
 quantidade vendida de um produto: o supermercado pode aumentar ou diminuir o seu estoque. 
Os números não falam por si mesmos, precisam ser organizados, discutidos e interpretados. 
 
 
1.1 DADOS ESTATÍSTICOS 
 
Toda informação devidamente coletada e registrada, quer seja na forma de contagem ou 
medição, é um dado estatístico. Não existe necessidade de coletar mais de um valor quando ele é uma 
constante. Assim, trabalharemos com o conceito de variável que exatamente o oposto do de 
constante. Existem três tipos básicos de variáveis: 
 Variável Nominal ou Qualitativa: quanto indivíduos ou elementossão classificados em um 
determinado número de categorias mutuamente exclusivas. 
Exemplo: alfabetização (é nominal, uma pessoa só pode pertencer a uma de duas categorias 
mutuamente exclusivas), classificação segundo o estado onde o indivíduo nasceu. 
 Variável Ordinal: quando os elementos podem ser distribuídos em determinado número de 
categorias mutuamente exclusivas, mas tais categorias se apresentam segundo uma ordem lógica. 
Exemplo: Grau de instrução (1- sem instrução; 2- primário incompleto; 3- primário completo; 4- 
secundário incompleto; 5- secundário completo; 6- superior incompleto; 7-superior completo. 
Observação: a ordem dos números é apenas de interesse não se deve fazer operações aritméticas 
com eles, como por exemplo: 2 X primário  curso superior incompleto. 
 Variável Cardinal ou Quantitativa: é expressa através de números, com todas as suas propriedades. 
Exemplo: renda de uma pessoa em R$ 400 = 4 X 100. 
 
1.2 POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
Em linguagem comum população significa o conjunto de habitantes de um território, país, 
região, cidade, etc. Em estatística o conceito de população é mais amplo. População é o conjunto de 
elementos que tem em comum uma determinada característica. 
A população pode ser: 
 finita: Exemplo: alunos matriculados em uma escola. 
 infinita: Exemplo: Conjunto dos resultados obtidos quando se joga um dado sucessivamente. 
Existem populações que embora finitas são consideradas infinitas. Es: número de peixes que há 
no mar. Este número é finito em um dado instantes, mas é tão grande que pode ser considerado 
infinito. 
Amostra é qualquer subconjunto de elementos retirados da população, desde que este conjunto 
não seja vazio e tenha menor número de elementos que a população. 
 
Exemplo: 
 
População: Ana, Pedro, Luís e Clara. 
a) Amostras de tamanho 3: (Ana, Pedro, Luís); (Ana, Pedro, Clara); (Pedro, Luís, Clara); (Luís, Clara, 
Ana). 
 
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b) Amostras de tamanho 2: (Ana, Pedro); (Ana, Luís); (Ana, Clara); (Pedro, Luís); (Pedro, Clara); 
(Luís, Clara). 
c) Amostras de tamanho 1: (Ana); (Pedro); (Luís); (Clara). 
 
Recenseamentos: são dados sobre todos os elementos da população. No Brasil é o IBGE quem 
coleta. 
Tendenciosidade da amostra: quando a amostra que não é representativa da população. Ex.: Um 
professor pede 3 voluntários para uma corrida. Só se apresentarão os que são bons corredores. Logo, 
não é uma amostra representativa da turma, é uma amostra tendenciosa, viciada. 
Se a amostra é representativa da população, conclusões importantes sobre a população podem 
ser inferidas através da amostra. Num capítulo posterior denominado Amostragem, a determinação da 
amostra será discutida com maior profundidade. 
A parte da estatística que trata das condições sob as quais essas inferências são válidas chama-
se estatística indutiva ou inferencial. A probabilidade é utilizada para o estabelecimento das 
conclusões. E a parte da estatística que procura somente descrever e analisar um certo grupo sem tirar 
conclusões ou inferências sobre o grupo maior, é chamada estatística descritiva ou dedutiva. A 
estatística descritiva é a que primeiro será tratada nesta apostila, nunca devemos esquecer de trabalhar 
um dado descritivamente, uma vez que a descrição dos dados pode nos dar pistas muito importante 
sobre o comportamento dos mesmos. A estatística inferencial será tratada numa segunda parte desta 
apostila, que como já foi mencionado anteriormente é através dela que podemos tirar conclusões 
sobre a nossa população através da amostra. 
 
1.3 VARIÁVEIS CONTÍNUAS OU DISCRETAS 
 
As variáveis são denotadas por letras maiúsculas como: X, Y, Z. As variáveis quantitativas 
podem ser classificadas em 2 grupos. Quando a variável assume qualquer valor entre 2 pontos é 
denominada contínua e caso contrário é dita discreta. 
 
Exemplos: 
 
 O número de crianças em uma família é discreta, assume os valores: 1, 2, 3, 4, ... 
 A altura de um indivíduo é contínua conforme a precisão da medida. Se a altura é medida em 
metros teremos, por exemplo os seguintes valores: 1,65; 1,662; 1.6622; ... 
 
1.4 ARREDONDAMENTO 
 
Os números podem ser arredondados conforme o número de casas decimais que se deseja, este 
assunto já foi tratado no curso de matemática, logo aqui só será feita uma rápida revisão. Uma regra é 
“arredondar” para mais quando o dígito seguinte é maior ou igual a cinco” e simplesmente truncar ao 
se alcançar o número de dígitos desejados. 
 
Exemplo: 
 
 72,465  72,46 
 72,8  73 
183,575  183,58 
 
 
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EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 01 - INTRODUÇÃO 
 
1.) Classifique as seguintes variáveis como nominal, ordinal ou cardinal: 
a) idade; 
b) sexo; 
c) renda familiar; 
d) religião; 
e) cor; tempo disponível para estudo; 
f) atividades recreativas de interesse. 
 
2.) Dê 2 exemplos de variável nominal; 2 de ordinais e 2 de cardinais. 
 
3.) Dada uma população de 3 elementos: A, B, C, identifique todas as amostras possíveis que podem 
ser obtidas desta população. 
 
4.) Qual destas pesquisas levaria as melhores respostas: a) Você concordaria com Ruy Barbosa “É 
preciso lutar por nossas ideias, até as últimas consequências” ou b) Com Hitler “É preciso lutar por 
nossas ideias, até as últimas consequências”. 
 
5.) Experimento: lançar uma moeda 20 vezes (amostra de tamanho 20, população infinita). Obtenha 3 
amostras deste tipo, compare com a proporção de caras obtidas nas 3 amostras. 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 2 - APRESENTAÇÃO DOS DADOS ATRAVÉS DE TABELAS 
 
 
As principais finalidades para se representar os dados através de uma tabela são: 
 apresentar os dados de forma ordenada; 
 resumir os dados; 
 auxiliar o pesquisador na análise dos dados; 
 facilitar a compreensão das conclusões. 
 
Uma tabela deve ser autossuficiente. Algumas sugestões sobre o que uma tabela deve 
apresentar: 
 
1) Uma tabela possui elementos essenciais e complementares. Os essenciais são: o título, o corpo, o 
cabeçalho e a coluna indicadora. 
Título: é colocado na parte superior da tabela. Deve ser preciso, claro e conciso. Deve indicar 
a natureza do fato estudado, as variáveis escolhidas na análise do fato o local e a época em 
que o mesmo foi observado. 
 Corpo da Tabela: é o conjunto de linhas e colunas que contém as informações. Casa, casela 
ou célula é o cruzamento de uma linha com uma coluna, onde se tem a frequência com que 
a categoria aparece. 
 Cabeçalho: é a parte da tabela onde é designada o conteúdo de cada coluna. 
 Coluna Indicadora: é a parte da tabela onde é designada a natureza do conteúdo de cada 
linha. 
 
2) Os elementos complementares são: 
 Fonte: é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade fornecedora (e/ou organizadora) dos 
dados primários. Dá a outras pessoas a possibilidade de consultar o trabalho original. 
 Notas: são colocadas no rodapé da tabela para esclarecimentos de ordem geral. São 
enumeradas, podendo-se também usar símbolos gráficos, como o asterisco. 
 Chamadas: são também colocadas no rodapé, servem para esclarecer minúcias em relação 
às casas, colunas e linha. São numeradas, geralmente em algarismos arábicos (ou letras 
minúsculas ou ainda símbolos gráficos). 
 
3) Nenhuma casa da tabela deve ficar em brando, apresentando sempre um sinal: 
 - (hífen), quando o valor numérico é nulo; 
 ... (reticência), quando não se dispõe de dado; 
 ? (ponto de interrogação), quando há dúvidas quanto à exatidão do valor numérico; 
 § (parágrafo), quando o dado retifica informação anteriormente publicada; 
 0; 0,0; 0,00 (zero), quandoo valor numérico é muito pequeno para ser expresso pela 
unidade utilizada. Se os valores são expressos em números decimais, acrescenta-se o 
mesmo número de casas decimais ao valore zero; 
 x (letra x), quando o dado for omitido a fim de evitar individualização da informação. 
 
4) Em publicações que compreendam muitas tabelas, estas devem ser numeradas em ordem 
crescente, conforme a ordem de aparecimento. 
 
5) As tabelas devem ser fechadas no alto e embaixo por linhas horizontais, não sendo fechadas à 
direita e à esquerda por linhas verticais. É facultativo o emprego de traços verticais para a 
separação de colunas no corpo da tabela. 
 
6) Os totais e subtotais devem ser destacados. 
 
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7) Deverá ser mantida uma uniformidade quanto ao número de casa decimais na tabela. 
 
Exemplos de Tabelas: 
 
 tabela com elementos essenciais e fonte 
 
Tabela 1 Vendas da Companhia Alfa em U$, no período de 1970 a 1971. 
 Ano Vendas (em U$ 1.000.000) 
 1970 2.181 
 1971 2.948 
 1972 5.642 
 1973 7.550 
 1974 10.009 
 1975 11.728 
 1976 18.873 
 1977 29.076 
Fonte: Departamento de Marketing da Companhia 
 
 tabela com elementos essenciais e complementares 
 
Tabela 2 Número e percentagem de insetos capturados em domicílio na Escola Agrícola de 
Iguape, São Paulo, segundo espécie e tipo de captura, Iguape, março a junho e setembro de 1977. 
 Tipo de Captura 
Espécies Manual¹ Armadilha tipo New Jersey² Total 
 No. % No. % No. 
Aedes seapularis 108 6,8 1 1,2 109 
Anopholes avansae 191 12,1 12 14,8 203 
Anopholes triannulatus 48 3 - - 48 
Cules pipiens quinquefasciatus 105 6,6 21 25,9 126 
Culex (Culex) sp. 61 3,9 5 6,2 66 
Culex (Melanoconium) sp. 160 10,1 5 6,2 165 
Mansonia chrysonotum 139 8,8 13 16 152 
Mansonia titillans 689 43,7 19 23,5 708 
Psorophora confinnis 51* 3,2 - - 51 
Outras espécies³ 29 1,8 5 6,2 34 
Total 1581 100,0 81 100,0 1662 
Fonte: Forattini, O P. et. Al., “Estudos ecológicos sobre mosquitos Culicidae no sistema da Serra do Mar, Brasil, 2 - 
Observações no ambiente Domiciliar”, Rev. Saúde Publ., São Paulo, 12: 476-96,1978. 
 
¹ 30 dias de captura 
² 9 dias de captura 
³ Aedes Serratus 
 Aedeomyia squamipennis 
 Anopheles slbitarsis 
 Anopheles mediopunctatus 
 Anopheles oswaldoi 
 Culex lygrus 
 Culex (microculex) sp. 
 Limatus flavisetosus 
 Mansonia juxtamansonia 
 Mansonia venezuelenis 
 
 *Inclui 2 insetos capturados quando deixavam o domicílio. 
 
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EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 2 - APRESENTAÇÃO DOS DADOS / TABELAS 
 
 
Os exercícios deste capítulo serão integrados com os do próximo, Capítulo 03 – Apresentação 
Gráfica. 
 
 
 
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CAPÍTULO 3 - APRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
 
A apresentação dos dados e resultados pode ser feita sob a forma de figuras, em geral gráficos 
ou diagramas. Os gráficos devem ser autoexplicativos e de fácil compreensão, de preferência sem 
comentários inseridos. Devem ser simples, atrair a atenção do leitor e inspirar confiança. 
Alguns pontos devem ser respeitados: 
 o tamanho deve ser adequado à sua publicação em revistas, periódicos, cartazes ou livros; 
 deve ter sempre um título; 
 deve ser construído em uma escala que não desfigure os fatos ou as relações que se deseja 
destacar. 
 
Os gráficos podem ser cartogramas ou diagramas: 
 Cartograma: mapa geográfico ou topográfico em que as frequências das categorias são projetadas 
nas áreas específicas do mapa, utilizando cores ou traçados cujos significados constam em 
legendas. 
 Diagrama: são gráficos em que a magnitude das frequências é representada por uma certa 
mensuração de uma determinada figura geométrica. Existem vários tipos de diagramas: diagrama 
de ordenadas, diagrama de barras, histograma, setores, etc. Para a utilização adequada de um 
gráfico deve se levar em conta a natureza da variável. 
 
3.1 GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS QUALITATIVAS OU QUANTITATIVAS DISCRETAS 
 
3.1.1 Diagrama de Colunas 
 
Tabela 3 Distribuição da população, por regiões, Brasil, 1991. 
 
Regiões População % 
Norte 10.030.566 6,83 
Nordeste 42.497.540 28,94 
Sudeste 62.740.401 42,73 
Sul 22.129.377 15,07 
Centro Oeste 9.427.601 6,42 
Brasil 146.825.475 100,00 
Fonte: FIBGE 
0
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
N
or
te
N
or
de
st
e
Su
de
st
e
Su
l
C
.O
es
te
regiões
p
o
p
u
la
ç
ã
o
 
Figura 3 Distribuição da população, por regiões, Brasil, 1991 
 
 
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3.1.2 Diagrama de Barras 
 
6,83
28,94
42,73
15,07
6,42
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro Oeste
re
g
iõ
e
s
%
 
Figura 4 Distribuição da população, por regiões, Brasil, 1991 
 
 
3.1.3 Diagrama dos Setores Circulares 
 
Para Região: 
Norte: 146.825.475 - 360° 
 10.030.466 - x  x = 25° 
 
Nordeste: 146.825.475 - 360° 
 42.497.540 - x  x = 104° 
 
Sudeste: 146.825.475 - 360° 
 62.740.401 - x  x = 154° 
 
Sul: 146.825.475 - 360° 
 22.129.377 - x  x = 54° 
 
Centro Oeste: 146.825.475 - 360° 
 9.427.601 - x  x = 23° 
 
7%
29%
43%
15%
6%
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
C.Oeste
 
 
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 13
Figura 5 Distribuição da população, por regiões, Brasil, 1991 
 
3.1.4 Diagrama Linear 
 
Tabela 4 Vendas da Companhia Beta 1971 a 1977 
 
 Anos Vendas (em U$ 1.000.000) 
 1971 230 
 1972 260 
 1973 380 
 1974 300 
 1975 350 
 1976 400 
 1977 450 
Fonte: Departamento de Marketing da Companhia 
 
0
100
200
300
400
500
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977
Ano
Vendas (em 
U$1.000.000)
 
Figura 4 Vendas da Companhia Beta 1971 a 1977 
Fonte: Departamento de Marketing da Companhia 
 
3.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
A distribuição de frequências é uma das maneiras de representar um variável discreta ou 
contínua, é um arranjo dos valores obtidos e suas respectivas frequências. Por exemplo: 
 
3.2.1 Variável Discreta 
 
Em uma amostra de 50 famílias anotamos os números de filhos (que denominaremos de X), que 
poderá assumir os valores 0, 1, 2, 3, ... . A partir dos dados brutos, número de filhos de cada família, 
faremos uma contagem de cada um dos resultados possíveis, obtendo: 
 
Tabela 4 Distribuição do número de filhos de 50 famílias 
Número de Filhos (Xi) Frequência (fi) 
 0 15 
 1 10 
 2 13 
 3 6 
 4 3 
 5 3 
 
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 14
Um tipo de gráfico adequado para representar esse tipo de distribuição seria o diagrama de 
Barras, ou o de Colunas ou o de Setores Circulares. 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5
Número de filhos
Frequência
 
Figura 5 Distribuição do número de filhos de 50 famílias 
 
Exemplos: 
 
Dados Não Agrupados 
 
Exemplo 1: “Número de balas defeituosas” por pacote de bala, de uma amostra de 20 pacotes de 
balas (200 g cada), retirados de uma linha produção: 
 
Variável: “número de defeitos por pacote de bala “ = X 
X é quantitativa discreta 
xi 
2 4 2 1 2 3 1 0 5 1 
0 1 1 2 0 1 3 0 1 2 
 
Rol 
x(i) 
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 
1 2 2 2 2 2 3 3 4 5 
 
Dados agrupados 
Tabela 1 Distribuição do número de balas defeituosas de uma amostra de 20 pacotes (de200 g 
cada) de balas de caramelo retirados de uma linha de produção 
No. de Defeitos No. de pacotes 
0 4 
1 7 
2 5 
3 2 
4 1 
5 1 
Total 20 
 
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 15
Tabela 1 Distribuição do número de balas defeituosas de uma amostra de 20 pacotes (de 200 g cada) 
de balas de caramelo retirados de uma linha de produção 
No. de Defeitos fi Fi pi Pi % 
0 4 4 0,20 0,20 20 
1 7 11 0,35 0,55 35 
2 5 16 0,25 0,80 25 
3 2 18 0,10 0,90 10 
4 1 19 0,05 0,95 5 
5 1 20 0,05 1,00 5 
Total 20 - 1,00 - 100 
Notação 
n = tamanho da amostra (no exemplo n=20) 
xi = valor atribuído a variável na linha i 
k = número de linhas na tabela (no exemplo k =6) 
fi = frequência da linha i (no exemplo f1=4; f2=7) 
onde n fi
i
k



1
 
Fi = frequência acumulada da linha i (no exemplo F1=4; F2=11) 
pi = proporção (ou frequência relativa) da linha i (no exemplo p1=0,20; p2=0,35) 
% = pi. 100 
Pi = frequência acumulada da linha i (no exemplo P1=0,20; P2=0,55) 
 
Tabela 1 Distribuição do número de balas defeituosas de uma amostra de 20 pacotes (de 200 g cada) 
de balas de caramelo retirados de uma linha de produção 
xi fi Fi xi . fi xi2 . fi 
0 4 4 0 0 
1 7 11 7 7 
2 5 16 10 20 
3 2 18 6 18 
4 1 19 4 16 
5 1 20 5 25 
Total 20 - 32 86 
 
 
3.2.2 Variável Contínua 
 
Suponhamos que tomemos uma amostra de 200 homens e anotemos a altura de cada um em 
centímetros (X), a altura é uma variável contínua, pois pode tomar qualquer valor, como por exemplo 
170,613 cm. Assim já não tem mais sentido em falar da frequência deste ou daquele valor específico 
de X, registraremos as frequências das alturas dentro de uma classe. Assim 
 
 
 
 
 
Tabela 5 Alturas dos alunos de uma classe 
 
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 16
Altura (Classe) Frequência(fi) 
130 |-- 135 4 
135 |-- 140 8 
140 |-- 145 10 
145 |-- 150 30 
150 |-- 155 64 
155 |-- 160 56 
160 |-- 165 16 
165 |-- 170 12 
 
Para melhor organizar o nosso trabalho devemos ter em mente que: 
1. Partimos dos dados brutos, que é o conjunto de dados numéricos coletados na amostra. 
2. Podemos ter os dados em “rol”, que nada mais é do que os dados brutos ordenados de uma forma 
crescente ou decrescente. 
3. A amplitude total (H) é definida como a diferença entre o maior e o menor valor. 
4. Frequência Absoluta é o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de 
elementos pertencentes a uma classe. 
5. O número de classes (k), deve estar razoavelmente compreendido entre as situações de demasiado 
detalhe e pouco detalhe. Mas temos algumas regras para obté-la: a) k = 5 para n  25 e k  n 
para n > 25; b) Fórmula de Sturges, k1 + 3,22.log n. 
6. Amplitude das Classes (h), h  H/k. 
7. Limites das Classes, existem várias maneiras de expressar os limites das classes, como por 
exemplo: 
a) 135 |--| 140, compreende todos os valores entre 135 e 140; 
b) 135 |-- 140, compreende todos os valores ente 135 e 140, excluindo o 140. 
8. Pontos médios das classes (xi), é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da 
classe. Ex.: 135 |-- 140, xi =137,5. O ponto médio será o valor que representará a classe. 
9. Frequência Acumulada ou frequência absoluta acumulada (Fi), é a soma das frequências das 
classes inferiores ou iguais a i. 
10.Frequência Relativa (pi) é a proporção daquele valor na amostra, pi = fi/n. 
11.Frequência Relativa Acumulada (Pi) é a soma das frequências relativas das classes inferiores ou 
iguais a i. 
 
Assim, para o exemplo anterior teremos: 
Classe fi xi Fi pi Pi 
130 |-- 135 4 132,5 4 0,02 0,02 
135 |-- 140 8 137,5 12 0,04 0,06 
140 |-- 145 10 142,5 22 0,05 0,11 
145 |-- 150 30 147,5 52 0,15 0,26 
150 |-- 155 64 152,5 116 0,32 0,58 
155 |-- 160 56 157,5 172 0,28 0,86 
160 |-- 165 16 162,5 188 0,08 0,94 
165 |-- 170 12 167,5 200 0,06 1,00 
Total 200 1,00 
 
Para representar a distribuição de frequências são utilizados dois tipos de gráficos: o histograma 
e o polígono de frequências. 
 
 
 
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 17
Histograma 
 
 
 
0
20
40
60
132,5 137,5 142,5 147,5 152,5 157,5 162,5 167,5
Alturas (em cm)
Frequência
 
 
Figura 6 Alturas dos alunos de uma classe 
 
 
 
 
Polígono de Frequência 
0
10
20
30
40
50
60
70
128,5 132,5 137,5 142,5 147,5 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5
alturas (cm)
fr
e
q
u
ê
n
c
ia
 
Figura 7 Alturas dos alunos de uma classe 
 
 
Polígono de Frequência Acumulada 
 
 
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 18
0
40
80
120
160
200
240
132,5 137,5 142,5 147,5 152,5 157,5 162,5 167,5
Alturas (em cm)
Frequência 
Acumulada
 
Figura 8 Alturas dos alunos de uma classe 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
“Idade dos empregados”, de uma amostra de 30 empregados da empresa 
 
Variável: “idade dos empregados“ = X 
X é quantitativa contínua 
15 30 39 18 33 21 42 23 49 46 
38 29 59 57 58 35 53 29 34 39 
45 49 43 33 22 22 35 27 32 19 
 
Rol 
15 18 19 21 22 22 23 27 29 29 
30 32 33 33 34 35 35 38 39 39 
42 43 45 46 49 49 53 57 58 59 
 
Dados agrupados em Intervalos de Classe 
 
Tabela 2 Distribuição das idades de uma amostra de 20 empregados da empresa X, 1997. 
Idades No. de empregados 
15 ├ 25 7 
25 ├ 35 8 
35 ├ 45 7 
45 ├ 55 5 
55 ├ 65 3 
Total 30 
Notação: 
n = tamanho da amostra (no exemplo n=30) 
 
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 19
k = número de linhas na tabela ou o número de intervalos de classe (no exemplo k =5) 
h = amplitude das classes (no exemplo h =10) 
 
Limites das Classes - existem várias maneiras de expressar os limites das classes: 
a) 35 ├┤ 45, compreende todos os valores entre 35 (inclusive) e 45 inclusive); 
b) 35 ├ 45, compreende todos os valores ente 35(inclusive) até no limite de 45 (excluindo o 45). 
LIi = Limite Inferior da classe i 
LSi= Limite Superior da classe i 
 
Algumas regras para k 
 k = 5 para n  25 e k  n para n > 25 
 Fórmula de Sturges, k1 + 3,22.log n. 
 se n<50 então 5  k 7; se 50  n < 100 então 6  k 10; 
 se 100  n < 250 então 7  k 12; se n  250 então 12  k  20 
e assim, h  H/k 
 
Tabela 2 Distribuição das idades de uma amostra de 20 empregados da empresa X, 1997. 
Idades xi fi Fi pi Pi % xi . fi xi2 . fi 
15 ├ 25 20 7 7 0,23 0,23 23 140 2800 
25 ├ 35 30 8 15 0,27 0,50 27 240 7200 
35 ├ 45 40 7 22 0,23 0,73 23 280 11200 
45 ├ 55 50 5 27 0,17 0,90 17 250 12500 
55 ├ 65 60 3 30 0,10 1,00 10 180 10800 
Total 30 - 1,00 - 100 1090 44500 
 
Notação 
n = tamanho da amostra (no exemplo n=30 
xi = ponto médio da classe i; onde 
x
LI LS
i
i i

2
 
k = número de linhas ou classes da tabela (no exemplo k =5) 
fi = frequência da linha i (no exemplo f1=7; f2=8) 
onde n fi
i
k



1
 
Fi = frequência acumulada da linha i (no exemplo F1=4; F2=11) 
pi = proporção (ou frequência relativa) da linha i (no exemplo p1=0,20; p2=0,35) 
% = pi . 100 
Pi = frequência acumulada da linha i (no exemplo P1=0,20; P2=0,55) 
 
 
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 20
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 - APRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
 
1.) Construa um gráfico adequado 
Tabela 1 Distribuição da população, por regiões, Brasil, 1991. 
 
Regiões População 
Norte 10.030.566 
Nordeste 42.497.540 
Sudeste 62.740.401 
Sul 22.129.377 
Centro Oeste 9.427.601 
Brasil 146.825.475 
Fonte:FIBGE 
 
 
2.) Construa um gráfico adequado 
 
Tabela 2 Número de inscrições ao concurso vestibular da Universidade X, 1974-1983 
Anos Número de Inscrições 
1974 3044 
1975 4313 
1976 6502 
1977 7821 
1978 9451 
1979 14458 
1980 17793 
1981 10624 
1982 8170 
1983 7672 
Fonte: Secretaria da Universidade Y 
 
 
3.) Considere o consumo de água em 50 residências na Cidade X no ano de 1988 
 
450 600 700 400 600 800 990 750 500 600 990 400 
600 700 500 500 990 800 600 700 459 500 500 700 
800 800 800 900 990 600 700 450 400 500 750 600 
700 990 900 800 600 400 800 750 500 990 450 460 
900 990 
 
a) Construa uma tabela; 
b) calcule: o ponto médio, a frequência, a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada 
e a porcentagem; 
c) construa um gráfico adequado. 
 
 
 
 
 
 
 
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 21
4.) 
 
Tabela 3 Amostra de 126 notas de Matemática do Concurso Vestibular da Universidade X em 
1988 
Notas frequência 
0 |-- 1 36 
1 |-- 2 20 
2 |-- 3 25 
3 |-- 4 18 
4 |-- 5 13 
5 |-- 6 9 
6 |-- 7 5 
Total 126 
 
a) calcule: o ponto médio, a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada e a 
porcentagem; 
b) que proporção de candidatos que foram aprovados? 
c) quantos candidatos tiveram nota inferior a 2,0? 
d) construa um gráfico adequado. 
 
 
5.) Construa uma tabela e um gráfico para os dados abaixo: 
Os dados abaixo dizem respeito ao petróleo bruto processado (em 1.000 m³) 
Ano Nacional Importado 
1976 9457 45465 
1977 9554 46494 
1978 9628 52780 
1979 9113 55504 
1980 10206 52950 
1981 10963 49941 
os dados foram fornecidos pelo Conselho Nacional de Petróleo 
 
 
6.) 
Tabela 4 Amostra de 100 medidas de um mesmo tipo de cápsula - 1988 
Peso (mg) No. de cápsulas 
81 |-- 82 1 
82 |-- 83 3 
83 |-- 84 10 
84 |-- 85 30 
85 |-- 86 37 
86 |-- 87 14 
87 |-- 88 3 
88 |-- 89 2 
Total 100 
 
a) calcule: o ponto médio, a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada e a 
porcentagem; 
b) construa um gráfico adequado. 
 
 
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 22
7.) Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a seguinte distribuição: 
 
Tabela 1 Distribuição das estaturas de 140 alunos de uma escola 
Estaturas(cm) frequência 
145 |-- 150 2 
150 |-- 155 10 
155 |-- 160 27 
160 |-- 165 38 
165 |-- 170 27 
170 |-- 175 21 
175 |-- 180 8 
180 |-- 185 7 
Total 140 
 
a) calcule: o ponto médio, a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada e a 
porcentagem; 
b) qual é a variável e de que tipo ela é; 
c) construa um gráfico adequado. 
 
8.) Dada a distribuição dos aluguéis de 65 casas. 
 
Tabela 2 Distribuição dos aluguéis de 65 casas 
Aluguel (em R$ 
X100) 
frequência 
1,5 |-- 3,5 12 
3,5 |-- 5,5 18 
5,5 |-- 7,5 20 
7,5 |-- 9,5 10 
9,5 |-- 11,5 5 
Total 65 
 
a) calcule: o ponto médio, a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada e a 
porcentagem; 
b) qual é a variável e de que tipo ela é; 
c) construa um gráfico adequado. 
 
9.) Dada a seguinte amostra das idades de alunos: 
 
28 33 27 30 31 30 33 30 33 29 
27 33 31 27 31 28 27 29 31 24 
31 33 30 32 30 33 27 33 31 33 
23 29 30 24 28 34 30 30 18 17 
18 15 16 17 17 18 19 19 20 29 
 
a) Agrupe os dados, construindo uma distribuição de frequências (sugestão usar h=5 e iniciar com 
15); 
b) calcule: o ponto médio, a frequência, a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada 
e a porcentagem; 
c) qual é a variável e de que tipo ela é; 
d) construa um gráfico adequado. 
 
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 23
10.) Dada a seguinte distribuição 
 
Tabela 3 Distribuição do número de acidentes por dia na Rodovia X no Rio de Janeiro em 1977. 
No. de Acidentes No. de Dias 
0 8 
1 9 
2 3 
3 5 
4 3 
5 2 
Total 30 
 
a) calcule: a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada e a porcentagem; 
b) qual é a variável e de que tipo ela é; 
c) construa um gráfico adequado. 
 
 
11.) Dada a seguinte distribuição, faça um gráfico adequado 
 
Tabela 4 Matrículas no ensino de Terceiro Grau, Brasil -1975 
Área de Ensino Matrículas 
Ciências biológicas 32109 
Ciências Exatas e Tecnologia 65949 
Ciências Agrárias 2419 
Ciências Humanas 148842 
Letras 9883 
Artes 7464 
Duas ou mais áreas 16323 
 
 
12.) Um pesquisador aplicou um teste aos alunos de um colégio e obteve os seguintes resultados: 
 
31 13 14 20 23 21 22 12 30 20 16 25 
21 29 17 25 21 21 15 22 19 22 22 19 
28 15 27 25 26 19 20 10 22 31 22 21 
26 13 23 23 29 26 30 15 36 19 29 12 
22 30 21 27 22 16 16 17 20 16 23 19 
11 33 15 17 27 21 23 32 12 22 22 22 
22 23 38 38 19 19 34 24 17 20 31 11 
11 30 20 15 24 17 37 31 16 18 21 40 
24 20 34 17 40 18 36 29 21 24 31 35 
 
a) faça um rol crescente para os dados; 
b) fazer uma distribuição por frequência; 
c) calcule: o ponto médio, a frequência, a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada 
e a porcentagem; 
d) faça um gráfico adequado. 
 
 
 
 
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 24
13.) Dada a seguinte distribuição: 
 
Tabela 5 População dos alunos de cinco escolas do município X, 1995 
Escola No. de Alunos 
A 400 
B 300 
C 350 
D 450 
E 520 
Total 2020 
 
a) calcule: a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada e a porcentagem; 
b) faça um gráfico adequado. 
 
14.) Dada a seguinte distribuição 
 
Tabela 6 Vendas de bebidas leves em um dia na Cidade X, 1995 
Tipo Vendas 
Cola 600 
Limão 200 
Laranja 100 
Uva 50 
Cereja 40 
Outros 10 
Total 1000 
 
a) calcule: a frequência acumulada, a proporção, a proporção acumulada e a porcentagem; 
b) faça um gráfico adequado. 
 
 
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 25
CAPÍTULO 4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO, DISPERSÃO E OUTRAS MEDIDAS 
 
 
Como vimos anteriormente estamos buscando a sintetização de um conjunto de dados 
normalmente obtidos por uma amostra. Neste capítulo vamos aprender o cálculo de medidas resumo 
que possibilitem representar estes dados de uma forma resumida. 
 
 
4.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Essas medidas apresentam a posição dos dados, ou seja, a sua localização. 
 
 
4.1.1 MÉDIA ARITMÉTICA 
 
 
Média Aritmética - Dados Não Agrupados 
 
 
Seja x1, x2, x3, ... ,xn os valores obtidos de uma amostra de tamanho n. A média aritmética x é 
dada por: 
x
xi
n


 
Exemplo 1: Determinar a média da seguinte amostra: 3,7,8,10,11. 
8,7
5
1110873
x 

 
 
 
Média Aritmética - Dados Agrupados 
 
 
Quando os valores estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos para estimar 
a média os valores de x1, x2, x3, ... ,xk ponderados pelas respectivas frequências absolutas f1, f2, f3, 
..., fk. Assim: 
 
x
xi.fi
n


 , onde n =  fi 
Exemplo 2: Dada a seguinte distribuição: 
 
xi fi xi.f i 
1 1 1 
2 3 6 
3 5 15 
4 1 4 
Total 10 26 
 
Uma forma prática para o cálculo é construirmos a coluna xi.f i, assim: 
x
26
10
2,6  
 
Exemplo 3: Dada a distribuição dos salários da Companhia Beta: 
 
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 26
Tabela 6 Distribuição dos salários (em número de salários mínimos) da Companhia Beta 
Salários No. de funcionários 
 3 |-- 6 12 
 6 |-- 9 18 
 9 |-- 12 20 
12 |-- 15 10 
15 |-- 18 5 
18 |-- 21 3 
Neste caso: 
 
Salários fi xi xi.fi 
 3 |-- 6 12 4,5 54,0 
 6 |-- 9 18 7,5 135,0 
 9 |-- 12 20 10,5210,0 
12 |-- 15 10 13,5 135,0 
15 |-- 18 5 16,5 82,5 
18 |-- 21 3 19,5 58,5 
 68 675,0 
 
9,9265
68
675
x  
 
4.1.2 MÉDIA GEOMÉTRICA 
 
Média Geométrica - Dados Não Agrupados 
 
Seja x1, x2, x3, ... ,xn os valores obtidos de uma amostra de tamanho n. A Média Geométrica 
mg é dada por: 
 
mg x .x .x .....x1 2 3 nn 
Exemplo 4: Determinar a média geométrica dos valores: 3,6,12,24,48 
mg 3.6.12.24.48 248.832 12n n   
 
Média Geométrica - Dados Agrupados 
 
Quando os valores estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos para estimar 
a média geométrica os valores de x1, x2, x3, ... ,xk ponderados pelas respectivas frequências 
absolutas f1, f2, f3, ... ,fk. Assim: 
 
mg x .x .x .....x1
f1
2
f2
3
f3
k
fkn onde n =  fi 
 
Exemplo 5: Calcular a média geométrica para a distribuição: 
xi | 1 2 3 5 
________________________ 
fi | 2 3 1 2 
mg 1 .2 .3 .5
mg 600 2,904
2 3 1 28
8

 
 onde n = 8 
 
 
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 27
4.1.3 MÉDIA HARMÔNICA 
 
 
Média Harmônica - Dados Não Agrupados 
 
Seja x1, x2, x3, ..., xn os valores obtidos de uma amostra de tamanho n. A Média Harmônica 
(mh) é dada por: 
 
mh
n
1
xi


 
 
Exemplo 6: Calcular a média harmônica para 2,5,8 
 
mh
3
1
2
1
5
1
8
3,64
 
 
 
Média Harmônica - Dados Agrupados 
 
Quando os valores estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos para estimar 
a média harmônica os valores de x1, x2, x3, ..., xk ponderados pelas respectivas frequências absolutas 
f1, f2, f3, ... ,fk. Assim: 
 
mh
n
fi
xi


 onde n =  fi 
 
Obs.: A média harmônica é particularmente recomendada para série de valores que são inversamente 
proporcionais, como para o cálculo da velocidade média, custo médio de bens comprados com uma 
quantia fixa, etc. 
 
Exemplo 7: 
 
xi | 1 2 3 5 
________________________ 
fi | 2 3 1 2 
mh
4
4,23
 
mh = 0,94 
 
4.1.4 MEDIANA 
 
Se os valores obtidos com a amostra são colocados em ordem crescente, a mediana será o 
elemento que ocupa a posição central. A mediana é definida como o elemento onde 50% dos valores 
estão abaixo dele e 50% estão acima. 
 
0% 50% 100% 
 |-------------------------------------------|---------------------------------------------| 
 md 
 
 
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 28
Mediana - Dados Não Agrupados 
 
Seja x1, x2, x3, ... ,xn os valores obtidos de uma amostra de tamanho n. E sendo x(1), x(2), 
x(3), ... x(n) os valores ordenados de forma crescente, a Mediana (md) será dada por: 
Se n for ímpar: md = x( n+1/2 ) 
Se n for par: 
2
xx
md
2
2
n
2
n






















 
Exemplos 8 e 9: 
 Ex.8) 35 36 37 38 40 40 41 43 46 
 n = 9  ímpar md = x ( 9 + ½ ) = x ( 5 ) = 40 
 Ex. 9) 12 14 14 15 16 16 17 20 
 n = 8  par 
    
15,5=
2
16+15
2
x+x
2
x+x
=md
542
10
2
8





















 
 
Mediana - Dados Agrupados em Intervalo de Classes 
 
Quando os valores estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos para estimar 
a mediana os valores de x1, x2, x3, ... ,xk ponderados pelas respectivas frequências absolutas f1, f2, 
f3, ... ,fk. 
 
Procedimento: 
 
1 - Calcula-se n/2 
2- Acumulando-se a frequência, determina-se a classe onde se encontra a mediana, 
3 - Utiliza-se a fórmula: 



















 .h
f
Fa
2
n
LImd
md
 
 
onde: 
 
LI = limite inferior da classe que contém a mediana, 
n = tamanho da amostra ou número de elementos =  fi, 
Fa = soma das frequências anteriores a classe que contém a mediana, 
fmd = frequência da classe que contém a mediana. 
 
Exemplo 3: 
Salários fi xi Fi 
 3 |-- 6 12 4,5 12 
 6 |-- 9 18 7,5 30 
 9 |-- 12 20 10,5 50 
12 |-- 15 10 13,5 60 
15 |-- 18 5 16,5 65 
18 |-- 21 3 19,5 68 
 68 - - 
 
 
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 29
1 - n/2= 68/2 =34 
2 - Identifica-se a classe que contém a mediana, pela frequência acumulada. Neste caso a terceira 
classe. 
3- Substituindo na fórmula: 





 
 .3
20
3034
9md 9,6 
 
4.1.5 QUARTIS 
 
Quartis - Dados Não Agrupados 
 
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim: 
Q1 = 1 quartil, deixa 25% dos elementos abaixo dele; 
Q2 = 2 quartil, deixa 50% dos elementos, é a mediana ; 
Q3 = 3 quartil, deixa 75% dos elementos abaixo dele; 
0% 25% 50% 75% 100% 
 |-----------------|-----------------|-----------------|-----------------| 
 Q1 Q2 Q3 
 
Quartis - Dados Agrupados em Intervalos de Classe 
 
Determinação de Q1: 
1- Calcula-se n/4. 
2- Identifica-se a classe Q1 pela frequência acumulada. 
3- Aplica-se a fórmula: 
 Q Li
n
4
Fa
f
.h1
q1
 





 












 
 
Determinação de Q3: 
1- Calcula-se 3n/4. 
2- Identifica-se a classe Q3 pela frequência acumulada. 
3- Aplica-se a fórmula: 
 Q Li
3n
4
Fa
f
.h3
q3
 



















 
 
Exemplo 3: Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3) e a mediana 
Salários fi xi Fi 
 3 |-- 6 12 4,5 12 
 6 |-- 9 18 7,5 30 
 9 |-- 12 20 10,5 50 
12 |-- 15 10 13,5 60 
15 |-- 18 5 16,5 65 
18 |-- 21 3 19,5 68 
 68 - - 
 
 Prof. DSc. Jefferson de Souza Pinto 
 30
1- Q1 md Q3 
 n/4=68/4=17 n/2=68/2=34 3n/4=51 
2- Uso das fórmulas 
83,6.3
18
1217
6Q1 




 
 





 
 .3
20
3034
9md 9,6 
3,12.3
10
5051
12Q3 




 
 
 
4.1.6 DECIS 
 
Decis - Dados Não Agrupados 
 
Continuando o estudo das medidas separatrizes: mediana e quartis, temos os decis. Que são os 
valores que dividem a série em 10 partes iguais. 
 
 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
 |--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------| 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
Decis - Dados Agrupados em Intervalos de Classe 
 
A formula, neste caso, também é semelhante às separatrizes anteriores. Onde: 
Determinação de Di: 
1- Calcula-se i.n/10, onde i=1,2,3,4,5,6,7,8,9. 
2- Identifica-se a classe Di pela frequência acumulada. 
3- Aplica-se a fórmula: 
 Di Li
i.n
10
Fa
f
.h
D i
 











 
 
 
4.1.7 PERCENTIS 
 
 
Pecentis - Dados Não Agrupados 
 
São medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. Assim: 
 
0% 1% 2% 3% 50% 97% 98% 99% 
|------|------|------|--------------------|--------------------|------|------|------| 
 P1 P2 P3 P50 P97 P98 P99 
 
Percentis - Dados Agrupados em Intervalos de Classe 
 
Determinação de Pi: 
 
1- Calcula-se i.n/100, onde i=1,2, 3,..., 98,99. 
 
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 31
2- Identifica-se a classe Pi pela frequência acumulada. 
3- Aplica-se a fórmula: 
 Di Li
in
100
Fa
f
.h
Di
 











 
 
Exemplo 3: Determinar o 10 Decil e o 90 Percentil da seguinte distribuição: 
Salários fi xi Fi 
 3 |-- 6 12 4,5 12 
 6 |-- 9 18 7,5 30 
 9 |-- 12 20 10,5 50 
12 |-- 15 10 13,5 60 
15 |-- 18 5 16,5 65 
18 |-- 21 3 19,5 68 
 68 - - 
 
1- D4 P10 
 i.n/10=4.68/10=27,2 i.n/100=10.68/100=6,8 
2- Uso das fórmulas 
53,8.318
122,27
6D1 




 
 
7,4.3
12
08,6
3P10 




 
 
 
 
4.1.8 MODA 
 
 
Moda - Dados Não Agrupados 
 
Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. E é definida como o valor mais 
frequente da distribuição. Para distribuição simples, sem agrupamento em classes, a identificação da 
Moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior frequência. Assim, para 
a distribuição 
 xi | 234 | 245 | 248 | 251 | 307 
------------------------------------------------------ 
 fi | 7 | 17 | 23 | 20 | 8 
 
a moda será 248. Indica-se mo=248. 
 
Moda - Dados Agrupados em Intervalos de Classe 
 
Determinação de mo: 
 
1 - Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior frequência) 
2 - Aplica-se a fórmula: 
 
 
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 32
 mo Li
d
d d
.h1
1 2
 






 
onde: 
 
Li = limite inferior da classe modal 
d1 =diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente anterior 
d2 =diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente posterior 
h = amplitude da classe modal 
 
Exemplo 13: 
 
Salários No. de funcionários 
 3 |-- 6 12 
 6 |-- 9 18 
 9 |-- 12 20 
12 |-- 15 10 
15 |-- 18 5 
18 |-- 21 3 
1 - A classe modal é 9 |-- 12 
2 - Aplica-se a fórmula 
 d1= 20- 18 
 d2= 20- 10 
 mo 9
2
2 10
.3 





 9,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Representação Gráfica da Moda 
 
 
 Prof. DSc. Jefferson de Souza Pinto 
 33
 
4.1.9 UMA ANÁLISE CONJUNTA DE ALGUMAS MEDIDAS 
 
 
Vejamos o que se pode concluir acerca dos quartis e da mediana a partir de seu posicionamento 
no gráfico das frequências acumuladas da amostra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A frequência relativa acumulada anterior ao primeiro quartil é 25%, dado o fato de ¼ da 
amostra possuir menor ou igual conhecimento de informática que o estudante situado nessa posição. 
A frequência relativa acumulada posteriormente é 100% - 25% = 75%, dado o fato de ¾ da amostra 
possuírem maior ou igual conhecimento de informática que o primeiro quartil. O primeiro quartil 
amostral, assim, divide a imagem de forma tal que ¼ dos dados é igual ou inferior a ele e ¾ lhe é 
superior ou igual. 
 
A frequência acumulada anterior ao conhecimento de informática do estudante mediano é 50%, 
valor igual à frequência posteriormente acumulada e correspondendo à divisão da imagem em duas 
partes de forma tal que a mediana é superior ou igual aos valores da primeira parte e igual ou inferior 
aos valores da segunda. De fato, a mediana nada mais é do que o segundo quartil amostral: 
 
2d qm  
 
A frequência acumulada anterior ao terceiro quartil é 75% e a que se acumula posteriormente é 
25%. O conhecimento de informática do estudante situado no terceiro quartil, assim, é superior ou 
igual a ¾ dos valores do rol e igual ou inferior aos ¼ restantes. Ou seja, o terceiro quartil amostral 
divide a imagem de forma tal que ¾ dos dados é igual ou inferior a ele e ¼ lhe é superior ou igual. 
 
 
4.1.10 “BOX AND WHISKERS PLOT” = “CAIXA COM PATAS” 
 
 
O gráfico da página seguinte é chamado de “Box and Whiskers Plot” ou “box-plot”. A 
expressão em inglês pode ser traduzida, ao pé da letra, como “diagrama da caixa com bigodes” ou 
então traduzida livremente como “diagrama da caixa com patas”. 
 
18%
68% 71%
94%
91%
97% 100%
38%
50%
59%
79%
24%
0%
25%
50%
75%
100%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
F
re
q
u
ên
ci
as
 R
el
at
iv
a
s 
A
cu
m
u
la
d
as
 (
%
)
 1o quartil = 15% Mediana = 22,5% 3o Quartil = 45% Conhecimento 
 de Informática (%)
1/4
do rol 
3/4
do rol 
1/2
do rol 
A Mediana e os Quartis dividem a Distribuição de Freqüências Acumuladas em 4 Partes Iguais
 
 Prof. DSc. Jefferson de Souza Pinto 
 34
O “box-plot” representa graficamente a estrutura dos dados de conhecimento de informática 
da amostra, podendo-se observar os limites mínimo e máximo, as posições intermediárias situadas 
no primeiro e o terceiro quartis e, no centro, o conhecimento de informática do estudante mediano. 
Analisando o box-plot, podemos visualizar se uma amostra possui distribuição de frequências 
simétrica ou assimétrica, bem como, após certo treino, inferir o grau de assimetria da distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na caixa central do “box-plot” estão agrupados 50% dos valores amostrais, sendo 25% na 
parte acima da mediana e 25% na parte abaixo. Na parte inferior da caixa temos outros 25% dos 
valores amostrais e, na pata superior, encontramos o restante 25% dos dados. 
 
Podemos concluir o seguinte: 
 
A amplitude de variação dos 25% (1/4) dos dados que se situam entre a mediana e o primeiro 
quartil é igual a 22,5% - 15% = 7,5% de conhecimento de informática, indicando que dentro desses 
limites se dá a mais alta concentração de ocorrência de valores amostrais. 
A amplitude dos 25% (1/4) dos dados que se situam entre o mínimo e o primeiro quartil é igual 
a 15% - 0% = 15% de conhecimento de informática. Dentro desses limites se dá a segunda mais alta 
concentração de valores amostrais. 
Já a amplitude dos 25% (1/4) dos dados entre a mediana e o terceiro quartil é bem maior, 
igual a 45% - 22,5% = 22,5% de conhecimento, indicando uma baixa concentração de valores 
amostrais nessa faixa da imagem. 
Maior ainda é a amplitude dos 25% (1/4) dos dados entre o terceiro quartil e o valor máximo 
da amostra, 80% - 45% = 35% Nessa faixa mais alta de conhecimento de informática os valores 
amostrais são mais raros. 
Resumindo tais observações, notamos que os dados amostrais se concentram mais nos valores 
de conhecimento de informática mais baixos e são mais rarefeitos entre os valores mais altos, 
indicando que a distribuição de frequências da amostra é assimétrica positiva. 
Outra forma de se perceber a assimetria positiva da distribuição é notar que a mediana está 
abaixo do meio da caixa central e que a pata inferior é menor que a pata superior. A amplitude da 
caixa superior é mais que o dobro da amplitude da caixa inferior, e uma relação semelhante ocorre 
entre a amplitude da pata superior e a da pata inferior. O box-plot é assimétrico, achatado na parte 
inferior e alongado na parte superior. 
O que normalmente ocorre em uma amostra é o box-plot ser simétrico. Novamente, notamos 
que nossa amostra não possui um comportamento normal. 
 
 Prof. DSc. Jefferson de Souza Pinto 
 35
4.2 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
Essas medidas apresentam a dispersão dos dados, ou seja, a sua variabilidade. 
 
 
4.2.1 AMPLITUDE 
 
É a diferença entre os 2 valores extremos da amostra. Só tem sentido se os dados não estiverem 
agrupados em intervalos de classe. 
 
H = xmáx - xmin 
 
Exemplos 14 e 15: 
 Ex. 14) 4, 6, 6, 6, 8 
 H = 8 - 4 = 4 
 Ex. 15) 4, 5, 6, 7, 8, 
 H = 8 - 4 = 4 
Obs.: Apesar da amplitude ser a mesma, a dispersão dos dados não, é diferente. A amplitude é uma 
medida precária. 
 
4.2.2 VARIÂNCIA, DESVIO-PADRÃO E COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
Variância - Dados Não Agrupados 
 
Seja x1, x2, x3, ... ,xn os valores obtidos de uma amostra de tamanho n. A variância s² é dada 
por: 
 
 
1n
x.xi
1n
xxi
s
222
2






n
 
Retomando o exemplo 1: 3,7,8,10,11 
 70,9
15
8,7.53431n
x.xi
s
222
2 






n
 
 
Variância - Dados Agrupados 
 
Se os valores estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos para estimar a 
variância os valores de x1, x2, x3, ... ,xk ponderados pelas respectivas frequências absolutas f1, f2, 
f3, ... ,fk. Assim: 
1n
xn.fx
s
2
i
2
i2




 
Voltando ao exemplo 2: 
 
xi fi xi.fi xi2.f i 
1 1 1 1 
2 3 6 12 
3 5 15 45 
4 1 4 16 
 10 26 74 
 
 
 Prof. DSc. Jefferson de Souza Pinto 
 36
7111,0
110
6,21074
1n
xnfx
s
22
i
2
i2 







 
 
ou no exemplo 3: 
 
Salários fi xi xi.fi xi2.f i 
3 |-- 6 12 4,5 54,0 243,00 
6 |-- 9 18 7,5 135,0 1012,50 
9 |-- 12 20 10,5 210,0 2205,00 
12 |-- 15 10 13,5 135,0 1822,50 
15 |-- 18 5 16,5 82,5 1361,25 
18 |-- 21 3 19,5 58,5 1140,75 
 68 - 675,0 7785,00 
 
x
675
68
9,9265  
1885,16
168
9265,9687785
1n
xnfx
s
22
i
2
i2 







 
 
 
4.2.3 DESVIO PADRÃO 
 
 
Como a variância é uma medida que pode causar alguns problemas de interpretação, pois, 
expressa um desvio quadrático médio, costuma-se usar o desvio padrão que é definido como a raiz 
quadrada positiva da variância. Assim temos uma medida de variabilidade expressa na mesma 
unidade dos valores do conjunto de dados: 
 
s s 2 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 no exemplo 1: 
 
Média = Ponto que Anula a Soma dos Desvios
1
1
1
1
6
2 4
3
3
4
5
3
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
Conhecimento de Informática (%)
= Braços da Alavanca
F
re
q
ü
ên
ci
a
s 
A
b
so
lu
ta
s 
=
 P
es
o
s
Média = 27,1%
Desvios à Média (Negativos) x Frequências + Desvios à Média (Positivos) x Frequências = Zero
Desvios Positivos
Desvios Negativos
 
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 37
 no exemplo 2: 
 
 no exemplo 3: 
 
 
4.2.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
 
É uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos relativos do grau de 
concentração em torno da média de séries distintas. É dada por: 
 
CV
s
x
 
 
Exemplos: 
 no exemplo 1: 
 
 no exemplo 2: 
 
 no exemplo 3: 
 
 
 Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00 com desvio padrão de R$ 1.500,00, 
e o das mulheres é em média de R$ 3.000,00 com desvio padrão de R$1.200,00. Assim: 
 
para os homens CV= 
 
 
para as mulheres CV= 
 
 
Logo, podemos concluir que os salários das mulheres apresentam maior dispersão relativa que 
o dos homens. 
 
No caso temos uma análise com a literatura da seguinte maneira: 
 
 Baixa dispersão: CV  15% 
 
 Média dispersão: CV 15-30% 
 
 Alta dispersão: CV  30% 
 
E ainda, uma desvantagem do C.V. é que ele deixa de ser útil quando a média está próximo de 
zero. 
 
 
4.2.5 AMPLITUDE INTERQUARTILÍCA (AIQ) 
 
 
É o intervalo para 50% valores dos dados do meio, ou seja, concentra nesse intervalo 50% dos 
valores da variável em análise. 
 
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 38
 
AIQ = Q3 -Q1 
 
Exemplo: 
 
Para os dados de salário inicial temos: 
 
Amplitude = 2825 - 2210 = 615 
 
Q3 = 2500 
Q1 = 2365 
 
Assim, 
 
AIQ = 2500 - 2365 = 135 
 
50% dos valores estão concentrados nesse intervalo entre os dois quartis, Q1 e Q3, onde a 
dispersão é de R$ 135,00. 
 
 
4.2.6 DESVIO MÉDIO (DM) 
 
 
O conceito estatístico de Desvio Médio ou também chamado Desvio Médio Absoluto (DMA) 
corresponde ao conceito matemático de distância. O desvio médio é dado por 
 
 
i
x x
DM
n



 
 
para o caso de considerarmos os dados brutos. 
Considerando as variáveis discreta e contínua temos 
 
 
i i
x x F
DM
n
 


 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule o desvio médio para a sequência :2,8,5,6X . 
 
 
 
2) Determine o desvio médio das seguintes séries: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
ix iF 
1 2 
3 5 
4 2 
 
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 39
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Como o desvio médio depende de cada elemento da série, sua sensibilidade é perfeita. 
 
 
4.2.7 DESVIO QUARTÍLICO OU INTERQUARTÍLICO 
 
 
O desvio quartílico dos valores da amostra é calculado através da expressão: 
 
2
Quartil 1 - Quartil 3
d
oo
 
 
ou: 
 
2
qq
d 13

 
 
O desvio quartílico, como a amplitude, é uma medida de dispersão dos dados. Veja o prezado 
leitor o box-plot para se certificar disso. Alterando um pouco a fórmula do desvio quartílico podemos 
obter uma interpretação para essa estatística: 
 
2
)qm()mq(
2
qq
d 1dd313



 
 
Observamos nessa nova fórmula que o desvio quartílico é a média das amplitudes das duas 
caixas centrais do box-plot. Concluímos que o desvio quartílico nos informa quanto em média os 
quartis se desviam da mediana. 
 
Tomando os valores da pesquisa que estamos analisando, temos o desvio quartílico amostral do 
conhecimento de informática: 
 
%15
2
%15%45
d 

 
 
Pode-se concluir o seguinte: 
 
A distância média entre o conhecimento de informática dos estudantes situados nos quartis e o 
estudante mediano é de 15%. Os estudantes situados nos quartis sabem, em média, 15% a mais ou a 
menos informática que o estudante mediano. 
 
A amplitude média das caixas do box-plot é igual a 15% de conhecimento de informática. Em 
média, ¼ dos dados centrais da amostra (25%) se distribuem em uma amplitude igual a 15% de 
conhecimento de informática. 
 
Classes 
iF 
2 ├ 4 5 
4 ├ 6 10 
6 ├ 8 4 
 8 ├ 10 1 
 
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 40
 
4.2.8 ERRO PADRÃO (SX) 
 
 
Quando se obtém uma amostra aleatória de tamanho n, estima-se a média populacional. É 
bastante intuitivo supor que se uma nova amostra aleatória for realizada a estimativa obtida será 
diferente daquela primeira. Desta forma, reconhece-se que as médias amostrais estão sujeitas à 
variação e formam populações de médias amostrais, quando todas as possíveis amostras são retiradas 
de uma população. 
O erro padrão analisa a variabilidade de uma média. Fornecendo um mecanismo de medir a 
precisão com que a média populacional foi estimada. Sua fórmula é dada por: 
 
 
 
 
 
 
4.3 MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
Numa distribuição simétrica, coincidem a média, a moda e a mediana e os quartis ficam 
equidistantes da mediana, o que não ocorre com uma distribuição assimétrica. Para sua análise temos 
a seguinte apresentação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Análise da assimetria 
 
Portanto, assimetria é o grau de deformação de uma distribuição de frequências (Polígono de 
Frequências). Para se mensurar a assimetria são utilizados os dois Coeficientes de Pearson. 
 
 
4.3.1 PRIMEIRO COEFICIENTE DE PEARSON 
 
 
O Primeiro Coeficiente de Pearson utiliza-se da seguinte fórmula: 
 
AS
x mo
s


 
Assimetria 
Positiva 
Simétrica 
Assimetria 
Negativa 
n
s
Sx 
 
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 41
 
O critério de análise é o seguinte: 
 Se AS= 0 a distribuição é simétrica. 
 Se AS > 0 a distribuição é assimétrica positiva. 
 Se AS < 0 a distribuição é assimétrica negativa. 
 
 
4.3.2 SEGUNDO COEFICIENTE DE PEARSON 
 
 
O Segundo Coeficiente de Pearson utiliza-se da seguinte fórmula: 
 
AS
Q Q 2md
Q Q
3 1
3 1

 

 onde: AS = Grau de Assimetria ou enviesamento. 
 
Vale o mesmo critério do Primeiro Coeficiente de Pearson, ou seja: 
 
 
 Se AS= 0 a distribuição é simétrica. 
 Se AS > 0 a distribuiçãoé assimétrica positiva. 
 Se AS < 0 a distribuição é assimétrica negativa. 
 
 
4.4 MEDIDAS DE CURTOSE 
 
 
Algumas distribuições seriam bem caracterizadas, do ponto de vista da Estatística Descritiva, 
com as duas primeiras medidas apresentadas (tendência central e dispersão). Vimos que as medidas 
de assimetria complementavam as informações verificando se os seus pesos eram distribuídos 
igualmente dos dois lados da média. Uma medida menos usada, mas que completaria nossa discussão 
seria aquela chamada de curtose. Ela tenta medir o grau de achatamento das distribuições em relação 
à distribuição normal. 
 
Com referência ao grau de achatamento podemos ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Representação Gráfica da Curtose das distribuições 
 
Para medirmos o grau de curtose utilizamos o coeficiente: 
 1090
13
PP2
QQ
K


 
 
Se: 
 
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 42
 
 Se 0,263K   a curva correspondente à distribuição de frequência é mesocúrtica. 
 Se 0,263K   a curva correspondente à distribuição de frequência é leptocúrtica. 
 Se 0,263K   a curva correspondente à distribuição de frequência é platicúrtica. 
 
No exemplo a seguir, calcule os dois coeficientes de assimetria e o coeficiente de curtose: 
 
Tabela 1. Idade dos funcionários de uma empresa. 
Idades fi 
 7 ├ 17 6 
17 ├ 27 15 
27 ├ 37 20 
37 ├ 47 10 
47 ├ 57 5 
Total 56 
 
 
 
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 43
EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 04 - MEDIDAS POSIÇÃO, DISPERSÃO E 
OUTRAS MEDIAS 
 
1) Considere o consumo de água em 50 residências na Cidade X no ano de 1988 
450 600 700 400 600 800 990 750 500 600 990 400 
600 700 500 500 990 800 600 700 459 500 500 700 
800 800 800 900 990 600 700 450 400 500 750 600 
700 990 900 800 600 400 800 750 500 990 450 460 
900 990 
 
a) Calcular a média aritmética, a mediana, a moda, a amplitude, a variância e o desvio padrão 
dos dados não agrupados. 
b) Agrupar os dados, construindo uma distribuição de frequências; 
c) Calcular a média aritmética, a mediana, a moda, a variância e o desvio padrão dos dados 
agrupados no item b) 
d) Comparar os resultados obtidos em a) e em c) 
 
2) Calcular a média aritmética, a mediana, a moda, a variância e o desvio padrão 
 
Tabela E2 Amostra de 126 notas de Matemática do Concurso Vestibular da Universidade X em 
1988 
Notas frequência 
0 ├─1 36 
1 ├─2 20 
2 ├─3 25 
3 ├─4 18 
4 ├─5 13 
5 ├─6 9 
6 ├─7 5 
Total 126 
 
3) Calcular a média aritmética, a mediana, a moda, a variância e o desvio padrão 
 
Tabela E3 Amostra de 100 medidas de um mesmo tipo de cápsula - 1988 
Peso (mg) No. de cápsulas 
81├─82 1 
82├─83 3 
83├─84 10 
84├─85 30 
85├─86 37 
86├─87 14 
87├─ 88 3 
88├─89 2 
Total 100 
 
4) Determinar a média aritmética, a mediana, a moda, a variância, o desvio padrão e a amplitude dos 
seguintes conjuntos de dados: 
a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6 
b) 7, 8, 8, 10, 12 
c) 3,20; 4,00; 0,75; 5,00; 2,13; 4,75 
 
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 44
d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90 
 
5) Determinar a média aritmética, a mediana, a moda, a variância e o desvio padrão das seguintes 
distribuições: 
 
a) b) c) d) 
x
i
 f
i
 x
i
 f
i
 x
i
 f
i
 x
i
 f
i
 
3 2 10 5 2 3 85 5 
4 5 11 8 3 9 87 1 
7 8 12 10 4 19 88 10 
8 4 13 6 5 25 89 3 
12 3 6 28 90 5 
 
6) Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a seguinte distribuição. Calcular a média 
aritmética, a mediana, a moda, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição: 
 
Tabela E6 Distribuição das estaturas de 140 alunos de uma escola 
Estaturas(cm) frequência 
145├─150 2 
150├─155 10 
155├─160 27 
160├─165 38 
165├─170 27 
170├─175 21 
175├─180 8 
180├─185 7 
Total 140 
 
 
7) Dadas a distribuição dos aluguéis de 65 casas. Determinar a média aritmética, a mediana, a moda, 
a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição: 
Tabela E7 Distribuição dos aluguéis de 65 casas 
Aluguel (em R$ x 100) frequência 
1,5├─3,5 12 
3,5├─5,5 18 
5,5├─7,5 20 
7,5├─9,5 10 
9,5├─11,5 5 
Total 65 
 
8) Dada a seguinte amostra de idades de alunos: 
28 33 27 30 31 30 33 30 33 29 
27 33 31 27 31 28 27 29 31 24 
31 33 30 32 30 33 27 33 31 33 
23 29 30 24 28 34 30 30 18 17 
18 15 16 17 17 18 19 19 20 29 
 
a) Calcular a média aritmética, a mediana, a moda, a amplitude, a variância e o desvio padrão 
dos dados não agrupados. 
 
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 45
b) Agrupar os dados, construindo uma distribuição de frequências (sugestão usar h=5 e iniciar 
com 15) 
c) Calcular a média aritmética, a mediana, a moda, a variância e o desvio padrão dos dados 
agrupados no item b) 
d) Comparar os resultados obtidos em a) e em c) 
 
9) Dado a seguinte distribuição, determinar a média aritmética, a mediana, a moda, a variância e o 
desvio padrão; 
 
Tabela E9 Distribuição do número de acidentes por dia na Rodovia X no Rio de Janeiro em 1977. 
No. de Acidentes No. de Dias 
0 8 
1 9 
2 3 
3 5 
4 3 
5 2 
Total 30 
 
Outras medidas 
 
10) Calcular os quartis (Q1 e Q3), os decis (D1 e D9), os percentis (P10 e P90) e os coeficientes de 
assimetria e de curtose: 
 
Tabela E1 Amostra de 126 notas de Matemática do Concurso Vestibular da Universidade X em 1988 
Notas frequência 
0 ├ 1 36 
1 ├ 2 20 
2 ├ 3 25 
3 ├ 4 18 
4 ├ 5 13 
5 ├ 6 9 
6 ├ 7 5 
Total 126 
 
11) Calcular os quartis (Q1 e Q3), os decis (D7e D9), o percentil (P99) e os coeficientes de assimetria 
e de curtose: 
 
Tabela E2 Amostra de 100 medidas de um mesmo tipo de cápsula - 1988 
Peso (mg) No. de cápsulas 
81├ 82 1 
82├ 83 3 
83├ 84 10 
84├ 85 30 
85├ 86 37 
86├ 87 14 
87├ 88 3 
88├ 89 2 
Total 100 
 
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 46
12) Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a seguinte distribuição. 
 
Calcular os quartis (Q1 e Q3), os decis (D4 e D7), o percentil (P88) e os coeficientes de 
assimetria e de curtose: 
 
Tabela E3 Distribuição das estaturas de 140 alunos de uma escola 
Estaturas(cm
) 
frequência 
145├ 150 2 
150├ 155 10 
155├ 160 27 
160├ 165 38 
165├ 170 27 
170├ 175 21 
175├ 180 8 
180├ 185 7 
Total 140 
 
13) Dadas a distribuição dos aluguéis de 65 casas. 
 
Calcular os quartis (Q1 e Q3), os decis (D4 e D9), o percentil (P72) e os coeficientes de assimetria e 
de curtose: 
 
Tabela E4 Distribuição dos aluguéis de 65 casas 
Aluguel (em R$ X100) frequência 
1,5├ 3,5 12 
3,5├ 5,5 18 
5,5├ 7,5 20 
7,5├ 9,5 10 
9,5├ 11,5 5 
Total 65 
 
 
 
 
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 47
CAPÍTULO 5 - PROBABILIDADE 
 
 
Teve origem com os jogos de azar, como girar roleta, lançar dados ou retirar cartas do baralho. 
As duas características mais importantes são a incerteza e a regularidade. Uma vez que o 
resultado em um jogo é incerto, mas tem uma regularidade. 
Ex.: Ao se lançar um dado várias vezes espera-se que o mesmo número de faces 
 
Vamos supor que desejamos saber a probabilidade de sair cara quando se lança uma moeda. Se 
a moeda for honesta, espera-se que numa série muito grande de lançamentos ocorram caras e coroas 
em igual número de vezes. Logo a probabilidade de ocorrer cara é 1/2. 
 
 
5.1 ESPAÇO AMOSTRAL 
 
Em um fenômeno aleatório ou probabilístico, isto é, sujeito às leis do acaso, chamamos de 
espaço amostral ao conjunto (em geral