Resolução de exercício: Aplicação de Integrais

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EXERCÍCIO 3: Um método para retardar o crescimento de uma população de insetos sem usar pesticidas 
é introduzir na população um número de machos estéreis que cruzam com fêmeas férteis, mas não 
produzem filhotes. Se 𝑷 representar o número de fêmeas na população de insetos, 𝑆, o número de 
machos estéreis introduzidos a cada geração e 𝑟 a taxa de crescimento populacional natural, então a 
população de fêmeas está relacionada com o instante 𝑡 através de 
 
𝒕 = ∫
𝑷 + 𝑆
𝑷[(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆]
𝑑𝑷 
 
Suponha que uma população de insetos com 10.000 fêmeas cresça a uma taxa de 𝑟 = 0,10 e que 900 
machos estéreis sejam adicionados. Calcule a integral para dar uma equação relacionando a população 
de fêmeas com o tempo. 
 
• Calculando a integral ∫
𝑷+𝑆
𝑷[(𝑟−1)𝑷−𝑆]
𝑑𝑷 
 
O denominador da função é um produto de fatores lineares distintos, logo podemos usar o método 
de decomposição em frações parciais. Dessa forma, temos que 
 
∫
𝑷 + 𝑆
𝑷[(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆]
𝑑𝑷 = ∫ (
𝐴
𝑷
+
𝐵
(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆
) 𝑑𝑷 
 
• 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝑨 𝐞 𝑩: 
 
𝑷 + 𝑆
𝑷[(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆]
=
𝐴
𝑷
+
𝐵
(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆
 
 
⟹
𝑷 + 𝑆
𝑷[(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆]
=
𝐴(𝑟 − 1)𝑷 − 𝐴𝑆 + 𝐵𝑃
𝑷[(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆]
 
 
⟹ 𝑷 + 𝑆 = 𝐴(𝑟 − 1)𝑷 − 𝐴𝑆 + 𝐵𝑷 
 
⟹ 𝑷 + 𝑆 = [𝐴(𝑟 − 1)𝑃 + 𝐵]𝑃 − 𝐴𝑆 
 
⟹ 1𝑷 + 1𝑆 = [(𝑟 − 1)𝐴 + 𝐵]𝑷 − 𝐴𝑆 
 
⟹ {
(𝑟 − 1)𝐴 + 𝐵 = 1
−𝐴 = 1
 ⟹ {
(𝑟 − 1)𝐴 + 𝐵 = 1
𝐴 = −1
 ⟹ {
𝐴 = −1
𝐵 = 𝑟
 
Com isso, temos que 
 
∫
𝑷 + 𝑆
𝑷[(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆]
𝑑𝑷 = ∫ (
𝐴
𝑷
+
𝐵
(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆
) 𝑑𝑷 = ∫ (−
1
𝑷
+
𝑟
(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆
) 𝑑𝑷 
 
= ∫ −
1
𝑷
𝑑𝑷 + ∫
𝑟
(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆
𝑑𝑷 
 
• 𝐕𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐚𝐬 𝐝𝐮𝐚𝐬 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐢𝐬 𝐝𝐞 𝐬𝐞𝐩𝐚𝐫𝐚𝐝𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞: 
 
∫ −
1
𝑷
𝑑𝑷 = − ∫
1
𝑷
𝑑𝑷 = − ln|𝑷| + 𝐶1, 𝐶1 ∈ ℝ 
 
∫
𝑟
(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆
𝑑𝑷 = 𝑟 ∫
1
(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆
𝑑𝑷 
 
Usando 𝑑𝑷 =
1
𝑢′
𝑑𝑢, com 𝑢 = (𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆 e 𝑢′ = (𝑟 − 1), temos: 
 
∫
𝑟
(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆
𝑑𝑷 = 𝑟 ∫
1
(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆
𝑑𝑷 = 𝑟 ∫
1
𝑢
.
1
(𝑟 − 1)
𝑑𝑢 = 𝑟 ∫
1
𝑢(𝑟 − 1)
𝑑𝑢 
 
= 𝑟.
1
(𝑟 − 1)
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 =
𝑟
(𝑟 − 1)
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 =
𝑟
(𝑟 − 1)
. ln|𝑢| =
𝑟
(𝑟 − 1)
. ln|(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆| 
 
=
𝑟. ln|(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆|
(𝑟 − 1)
+ 𝐶2, 𝐶2 ∈ ℝ 
 
Logo, 
 
𝒕 = ∫
𝑷 + 𝑆
𝑷[(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆]
𝑑𝑷 = − ln|𝑷| + 𝐶1 +
𝑟. ln|(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆|
(𝑟 − 1)
+ 𝐶2, 𝐶1, 𝐶2 ∈ ℝ 
 
 
⟹ 𝒕 = − ln|𝑷| +
𝑟. ln|(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆|
(𝑟 − 1)
+ 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ 
 
• Substituindo 𝑷 = 10.000, 𝑆 = 900 e 𝑟 = 0,10 em 𝒕 = − ln|𝑷| +
𝑟.ln|(𝑟−1)𝑷−𝑆|
(𝑟−1)
+ 𝐶, temos: 
 
𝒕 = − ln|10000| +
0,10. ln|(0,10 − 1)10000 − 900|
(0,10 − 1)
+ 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ 
 
 
𝒕 ≈ −10,23 + 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ 
 
 
 
𝒕 = − ln|𝑷| +
𝑟. ln|(𝑟 − 1)𝑷 − 𝑆|
(𝑟 − 1)
+ 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ