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Desenvolvimento de Software para DImensionamento Otimizado de Porticos Espaciais em Estruturas de Metalicas

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𝑿𝑢𝑏 Limites da variável de projeto (120) 
Onde: 
𝑿 = 
{
 
 
 
 
𝑋1
𝑋2
𝑋3
.
.
.
𝑋𝑛}
 
 
 
 
 Variáveis de Projeto (121) 
 
 
53 
 
 O vetor 𝑿 refere-se às variáveis a serem alteradas para atingir o mínimo da função 
objetivo (Eq. 117). A função objetivo 𝐹(𝑿), assim como as funções de restrições 𝑔(𝑿) e 
ℎ(𝑿), podem ser funções lineares ou não lineares da variável de projeto 𝑿. Essas funções 
ainda podem ser em função de 𝑿 de forma explícita ou implícita. A função de restrições de 
igualdades (Eq. 119), quando forem explícitas em 𝑿 podem ser utilizadas como uma forma de 
reduzir as variáveis de projeto. Por exemplo, quando temos que 𝑋1 = 𝑋2, reduzimos a 
variável 𝑋1 o qual ficara em função explicitamente de 𝑋2. Dessa forma, o nosso problema terá 
𝑛 − 1 variáveis de projeto a serem otimizadas. 
 A equação (120) representa os limites da variável de projeto. Apesar de esses limites 
apresentarem restrições de inequação, dada pela equação (118), é mais conveniente mostrar 
essas restrições separadamente, com a finalidade de mostrar a região de pesquisa para a 
otimização. 
 
 Visando um dimensionamento ótimo, aquele que gera o menor custo de material, 
técnicas de otimização foram empregadas. Um dos objetivos deste trabalho é utilizar métodos 
diretos de otimização que utilizem restrições. Deste modo, será utilizado duas técnicas de 
otimização: modelo matemático determinístico com variável contínua, e modelo 
probabilístico com variável discreta. Para o modelo matemático, foi utilizado a Programação 
Quadrática Sequencial (PQS), já para o modelo probabilístico, foi utilizado o Algoritmo 
Genético (AG). 
 
2.5.1. Programação Quadrática Sequencial 
 
 Quando se busca a solução para um problema de otimização a primeira opção é aquela 
que seja a mais eficaz. O uso de subproblemas quadráticos para se obter a proposta ótima em 
cada interação é uma das metodologias mais preciosas e competentes. Um dos métodos que 
usa essa metodologia é a Programação Quadrática Sequencial. (Miálich Junior, 2016) 
 A base do PQS usa o Método de Newton, ou Quasi-Newton, para resolver as condições 
de Karush-Kuhn-Tucker. Basicamente, ao invés de resolver o problema final de otimização, 
esse método envolve a solução de um subproblema em cada interação. Cada um desse 
subproblema é uma minimização quadrática PQ (Programação Quadrática) que consiste na 
aproximação quadrática da função Lagrangiana otimizada sobre uma aproximação linear de 
restrições. (Miálich Junior, 2016) 
 De acordo com Nunes et al. (2010), o problema de otimização pelo método da 
Programação Quadrática Sequencial, parte de uma estimativa inicial, a qual irá fornecer uma 
solução de um subproblema simples, de forma que este subproblema esteja localmente muito 
bem representado, e assim irá fornecer uma aproximação ainda melhor para a solução 
procurada. 
 A formulação do problema de otimização pelo método do PQS segue como base as 
equações (117) a (121). Entretanto, o PQS resolve o problema de otimização iterativamente, 
onde a solução de cada passo é obtida com a solução de aproximação da função objetivo 
 
 
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𝐹(𝑿), que será substituída por uma aproximação quadrática (equação 3.3.1-1) e as funções de 
restrições 𝑔(𝑿) e ℎ(𝑿) serão substituídas por aproximações lineares (equação 3.3.1-2 e 3.3.1-
3). 
Minimizar: 𝑄(𝑺) = 𝐹(𝑿) + ∇𝐅(𝐗) 𝑇𝐒 +
1
2
𝐒𝑇𝐁 𝐒 (122) 
Tal que: 
∇𝐠(𝑿)𝑇𝐒 + 𝐠(𝑿) ≤ 0 (123) 
∇𝐡(𝑿)𝑇𝐒 + 𝐡(𝑿) = 0 (124) 
 Sendo 𝐁 uma aproximação positiva definida da matriz Hessiana da função de Lagrange, 
que inicialmente é a matriz identidade. Pare este trabalho, essa matriz será atualizada pelo 
método métrico BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno). A matriz 𝐒 é a matriz com as 
componentes das variáveis de projeto. 
 Utilizando 𝑋0 como o ponto de partida do processo, o vetor com as variáveis de projeto, 
𝑿, e atualizado a cada passo, sendo 𝑿𝒌 = 𝑿𝒌−𝟏 + 𝛼𝑘𝐒, onde 𝒌 varia de 1 até o numero de 
interações necessárias para a convergência. O valor de 𝛼𝑘 ∈ (0,1] é determinado para 
garantir as propriedades de convergência global do método. Este procedimento é feito com 
técnicas de linesearch ou pela limitação do problema quadrático indicado na região de 
confiança. 
 
2.5.2. Algoritmo Genético 
 
 O Algoritmo Genético aqui utilizado será um problema com restrições não lineares e de 
variável discreta. Este método se baseia no processo de seleção natural que imita a evolução 
biológica. 
 Para este trabalho, será utilizada a função ga do MATLAB 2016a. De acordo com a 
documentação online do MATLAB, a função começa com a criação da população inicial, de 
forma aleatória, dentro de um intervalo da região onde será encontrada a solução. A cada 
passo, o algoritmo aumenta a população atual, através da criação de novos indivíduos 
chamados filhos. Assim, o algoritmo seleciona um grupo para formar a nova população, 
chamados de pais, que irão contribuir com seus genes para a nova geração. A função ga 
seleciona os indivíduos que tem os maiores valores de aptidão. 
 Os tipos de filhos que o algoritmo cria para a próxima geração são: filhos de elite, filhos 
por crossover e filhos por mutação. Os filhos de elite são aqueles que possuem os maiores 
valores de aptidão. Estes indivíduos sobrevivem automaticamente para a próxima geração. Os 
filhos por crossover são criados combinado os genes de dois indivíduos. Por exemplo, na 
figura 12 é mostrado um exemplo de filho por crossover. Basicamente, o processo de 
crossover faz com que seja escolhido aleatoriamente um conjunto de coordenadas do vetor 
dos pais, chamado de gene, e atribuídos para o filho. Já os filhos por mutação, são todos os 
indivíduos que sofrem mudanças aleatórias em seus genes. Na figura 12 é mostrado 
ilustrativamente como seria uma mutação de um indivíduo. Na prática, os valores de uma ou 
mais coordenadas de um indivíduo é alterado aleatoriamente. 
 
 
55 
 
 
Figura 12 Diagrama esquemático dos três tipos de filhos. 
 
Fonte: MATLAB R2017b, Documentation. 
 
 Repetindo esse processo, de criar a população, cruzar os indivíduos e selecionar os mais 
aptos, aproxima-se assim do ponto mínimo. Na figura 13 é mostrado um exemplo de 
convergência do método do algoritmo genético. Onde a função possui duas variáveis, ou seja, 
dois tipos de genes, e a função aptidão é ilustrada como curvas de níveis. Note que neste 
exemplo, existem mínimos locais na região do mínimo global, entretanto, basta um indivíduo 
estar nas proximidades do mínimo global, que a solução irá convergir. 
 
Figura 13 População nas gerações 60, 80, 95 e 100. 
 
Fonte: MATLAB R2017b, Documentation
 
 
 
3. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 
 
3.1. Considerações Iniciais 
 
 Antes de definir a formulação do problema, algumas considerações foram determinadas. 
Essas considerações foram definidas pelas limitações do programa de análise estrutural e por 
algumas dificuldades na implementação do projeto. 
 Primeiro, foi considerado somente a combinação que fornece os maiores valores de 
deslocamentos, a combinação rara de ações. Ainda foi proposta uma metodologia 
simplificadora para a combinação de ações. Foram adotadas duas ações atuantes na estrutura, 
classificadas como permanentes e variáveis. Assim, na Tabela 4 é ilustrada uma metodologia 
adotada na norma brasileira, para unificação das ações. Dessa forma, foi proposto um fator 
único para as ações presentes na estrutura, adotando como uma média dos fatores unificados. 
Dessa forma, com um único fator de ponderação das ações, é possível determinar os esforços 
solicitantes de cálculo. 
 As equações de combinação unificadas utilizadas neste trabalho ficaram simplificadas 
pelas seguintes equações: 
𝐶𝑢𝑛𝑖,𝑢𝑙𝑡 = 𝛾𝑀𝐴𝐺,𝑘 + 𝛾𝑀𝐴𝑄,𝑘 (125) 
𝐶𝑢𝑛𝑖,𝑠𝑒𝑟 = 𝐴𝐺,𝑘 + 𝐴𝑄,𝑘 (126) 
sendo, 𝐶𝑢𝑛𝑖,𝑢𝑙𝑡 a combinação unificada para os ELU e 𝐶𝑢𝑛𝑖,𝑠𝑒𝑟 a combinação

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