A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
168 pág.
Desenvolvimento de Software para DImensionamento Otimizado de Porticos Espaciais em Estruturas de Metalicas

Pré-visualização | Página 16 de 38

𝑋3 só 
poderá ser igual à zero, já que em perfis soldados o raio de concordância é zero (Figura 7). 
Entretanto, para perfis laminados, não existe função de restrições de igualdade, que será 
representada por uma célula vazia. 
 
3.4. Problema com Variável Contínua 
 
 A formulação computacional para o problema com variável contínua será feito com 
base na Programação Quadrática Sequencial. O método do PQS pode ser obtido através 
função fmincon do Optimization Toolbox™ do MATLAB 2016a. Dessa forma, para esse 
trabalho será proposto um modelo de otimização voltado ao utilizado no MATLAB. 
 Abaixo, a formulação do problema fica descrita como: função objetivo (137); ponto 
inicial (138); limite inferior e superior (139); função de restrições de inequações não lineares 
(140); função de restrições de igualdades não lineares (141). 
𝐹(𝑿)𝑃𝑄𝑆 = 𝜌𝑎ç𝑜 ∑ [ 𝐴𝑏
𝑖 (𝑿𝑖) 𝐿𝑖] 
𝑛
𝑖=1 (137) 
𝑿0
𝑖 = [�̅�1,0
𝑖 �̅�2,0
𝑖 �̅�3,0
𝑖 �̅�4,0
𝑖 �̅�5,0
𝑖 ] (138) 
[ 𝑋1,𝑙𝑏
𝑖 𝑋2,𝑙𝑏
𝑖 𝑋3,𝑙𝑏
𝑖 𝑋4,𝑙𝑏
𝑖 𝑋5,𝑙𝑏
𝑖 ]
𝑙𝑏
≤ 𝑿𝑖 ≤ [ 𝑋1,𝑢𝑏
𝑖 𝑋2,𝑢𝑏
𝑖 𝑋3,𝑢𝑏
𝑖 𝑋4,𝑢𝑏
𝑖 𝑋5,𝑢𝑏
𝑖 ] 𝑢𝑏 (139) 
 
 
61 
 
𝒈𝑖(𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑔EL
𝑖 (𝑿𝑖) 
𝑔𝑤
𝑖 (𝑿𝑖) 
𝑔𝑒𝑛𝑟
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝑔𝑒𝑜
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑔𝜆
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝑘𝑐
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝑙𝑎𝑚
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝐶𝑆
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝐶𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) 
𝑔𝑉𝑆
𝑖 (𝑿𝑖) }
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
≤ 0 (140) 
𝒉𝑖(𝑿𝑖) = ℎ𝑔𝑒𝑜
𝑖 (𝑿𝑖) = 0 (141) 
onde: 
𝜌𝑎ç𝑜: é o peso específico do aço (7850 𝑘𝑔𝑓/𝑚
3); 
 Note que a função objetivo (137) é o peso total da estrutura, composta pelo somatório 
da área – Equação (12) – vezes o comprimento da viga e por fim multiplicado pelo peso 
específico do aço. Quanto menor for o peso de aço total determinado, menor será o consumo, 
e consequentemente menor será o custo. 
 O ponto inicial (138) foi obtido como um ponto médio dos limites inferiores e 
superiores (139), já que é um ponto que fica mais próximo dos limites de forma equivalente. 
Esses limites foram obtidos como os valores mínimos e máximos de cada elemento 
geométrico descrito na Figura 7, de acordo com o catálogo da GERDAU, para perfis 
laminados, e a NBR 5884:2005, para perfis soldados. 
 As funções de restrições não lineares, equação (140) e equação (141), foram definidas 
no item 3.3. Lembrando que de acordo com a equação (118), 𝒈𝑖(𝑿𝑖) ≤ 0 e de acordo com a 
equação (119), 𝒉𝑖(𝑿𝑖) = 0. Elas podem ser divididas em quatro seções: restrições aos 
estados-limites (Eq. 128); restrição a perfis de alma esbelta (Eq. 129); restrição a 
enrijecedores (Eq. 130); restrições geométricas de inequações (Eq. 131) e igualdades (Eq. 
132). 
 
 
 
62 
 
 
3.5. Problema com Variável Discreta 
 
 Para o mesmo problema que o proposto para variável contínua, foi proposto outra 
formulação, visando resultados em variáveis discretas. Dessa forma, foi utilizado o Algoritmo 
Genético como método de otimização para uma solução discreta.·. 
 No caso do trabalho em estudo, assim como na Programação Quadrática Sequencial, a 
função aptidão será o peso da estrutura, e o problema será discreto. Para transformar o 
problema de contínuo para discreto, foi necessário criar um vetor de codificação para ser 
utilizado na metodologia do AG. Esse vetor é um binário, que quando convertido para um 
número inteiro, será atribuído como a posição do perfil na tabela. 
 Para a formulação computacional do problema utilizando o Optimization Toolbox™ do 
MATLAB 2016a, foi necessário: função aptidão (142); limite inferior e superior (143); função 
de restrições de inequações não lineares (144); função de restrições de igualdade não linear 
(145). 
𝐹(𝑿𝑏𝑖𝑛)𝐴𝐺 = {
𝑿𝑏𝑖𝑛 → 𝑿
𝜌𝑎ç𝑜 ∑ [ 𝐴𝑏
𝑖 (𝑿𝑖) 𝐿𝑖] 
𝑛
𝑖=1
 (142) 
[ 0 0 … 0 0 ]𝑙𝑏
𝑖 ≤ 𝑿𝑏𝑖𝑛
𝑖 ≤ [ 1 1 … 1 1 ]𝑢𝑏
𝑖 (143) 
𝒈𝑖(𝑿𝑖) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑔EL
𝑖 (𝑿𝑖) 
𝑔𝑤
𝑖 (𝑿𝑖) 
𝑔𝑒𝑛𝑟
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝑔𝑒𝑜
𝑖 (𝑿𝑖) =
{
 
 
𝑔𝜆
𝑖 (𝑿𝑖)
𝑔𝑘𝑐
𝑖 (𝑿𝑖)}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
≤ 0 (144) 
𝒉𝑖(𝑿𝑖) = [ ] = 0 (145) 
 
 Para este problema de variável discreta, houve a necessidade de uma troca de variável 
para atender a função do Matlab ga. Essa troca está sendo simbolizada dentro da função 
aptidão (142). A variável 𝑿𝑏𝑖𝑛 é um vetor com 𝑛𝑣𝑎𝑟 variáveis, e todas sendo valores de 0 ou 
1, exclusivamente, para cada célula do vetor. O 𝑛𝑣𝑎𝑟 irá depender da tabela de perfis usada 
como catálogo. Para a tabela de catalogo da GUERDAU, 𝑛𝑣𝑎𝑟 = 7, para todos os perfis 
soldados encontrados na NBR 5884:2005, 𝑛𝑣𝑎𝑟 = 9. Esse número de variáveis define a 
quantidade máxima possível de uma codificação em binário. 
 Garantindo que a variável 𝑿𝑏𝑖𝑛 obtenha valores que sejam somente inteiros, em todas as 
suas células e restringindo os limites inferiores e superiores como descrito em (143), é 
 
 
63 
 
possível controlar o vetor 𝑿𝑏𝑖𝑛 como sendo um vetor com variáveis binárias. Dessa forma, 
cada vetor com 𝑛𝑣𝑎𝑟 células binárias, representa um valor inteiro quando convertido. Assim 
este vetor representa a posição do perfil no catálogo, e é possível transformar o vetor 𝑿𝑏𝑖𝑛 no 
𝑿 para que possa ser determinado o peso do perfil destinado ao binário encontrado em 𝑿𝑏𝑖𝑛. 
Dessa forma, o nosso problema se torna um problema de variável discreta, onde será limitado 
aos perfis dos catálogos da GERDAU e da NBR 5884:2005. 
 Os limites superiores e inferiores (143) são os binários que representam o inteiro 
convertido mínimo e máximo para 𝑛𝑣𝑎𝑟 células. Note que o valor inteiro para o binário do 
limite inferior é 0 e para o limite superior é variado, dependendo de 𝑛𝑣𝑎𝑟. Se 𝑛𝑣𝑎𝑟 = 7, 
portanto o valor do inteiro que representa o binário do limite superior é 127, e se 𝑛𝑣𝑎𝑟 = 9 o 
limite superior será 511. Como a tabela de perfis não possui exatamente o número de 
elementos correspondente aos limites determinados pelos binários, já que a quantidade 
máxima de um binário com 𝑛𝑣𝑎𝑟 é de 2
𝑛𝑣𝑎𝑟 , foi necessário incluir uma condição dentro da 
função aptidão a qual quando o vetor binário 𝑿𝑏𝑖𝑛 for transformado em uma variável 𝑿 não 
existente, como por exemplo, um perfil do catálogo da GERDAU (que possui 88 perfis) entre 
as posições 89 e 128 o qual não existe, ele irá retornar sempre ao perfil de maior peso da 
tabela. 
 A função de restrições (144) segue o mesmo padrão que a função de restrições para a 
otimização determinística (140). Entretanto, note que não possui as restrições geométricas 
referentes aos perfis dos catálogos definidas na otimização determinística, já que se trata de 
uma otimização discreta, e, portanto não havendo a necessidade dessas limitações. 
Lembrando que de acordo com a equação (118), o conjunto de equações descrito pela equação 
(144) deve ser menor ou igual a zero, já que caracteriza as restrições de inequações (𝒈𝑖(𝑿𝑖) ≤
0) e de acordo com a equação (119) a equação (145) deve ser igual a zero (𝒉𝑖(𝑿𝑖) = 0), 
descrevendo as restrições de igualdade. 
 Observe que toda a técnica de otimização pelo algoritmo genético será feita com base 
em um vetor com variáveis binárias. Cada vetor com variáveis binárias representa um 
indivíduo que fornece uma solução para o problema. Este vetor é composto por um conjunto 
de perfis, que estão representados por valores binários. 
 O ponto de partida para a metodologia do AG é a população inicial. Esta população foi 
definida igual a uma matriz binária, onde cada linha representa um conjunto de binários 
referente a uma solução do problema. Essa solução é formada por um conjunto de vetores 
com variáveis binárias, onde cada vetor representa um número inteiro quando convertido que 
representa a posição do perfil no catalogo. Sendo assim a matriz da população inicial possui 
em cada linha

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.