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Desenvolvimento de Software para DImensionamento Otimizado de Porticos Espaciais em Estruturas de Metalicas

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(2014). 
 
 Assim, a matriz de rigidez local do pórtico espacial, é obtida com a superposição dos 
efeitos de esforços axiais, flexão e torção. Alocando cada um dos termos relacionados aos 6 
possíveis deslocamentos em um nó, e 12 possíveis esforços internos em uma barra, chega-se a 
matriz de rigidez local da barra de um pórtico espacial, ilustrado na Figura 4. 
 
 
 
22 
 
Figura 4 Matriz de rigidez local de uma barra de pórtico espacial. 
 
Fonte: Gomes Filho, H., e Garozi, (2014). 
 
 Entretanto, em estruturas espaciais, é importante considerar a orientação da barra no 
espaço. Dessa forma, é necessária uma formulação matricial de transformação de 
coordenadas. Para isso, será definida a matriz de rotação espacial, definida pela matriz: 
 
[𝑹] =
[
 
 
 
 
 
 
𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧
−𝑐𝑥𝑐𝑦
√𝑐𝑥2+𝑐𝑧2
√𝑐𝑥2 + 𝑐𝑧2
−𝑐𝑦𝑐𝑧
√𝑐𝑥2+𝑐𝑧2
−𝑐𝑧
√𝑐𝑥2+𝑐𝑧2
0
𝑐𝑥
√𝑐𝑥2+𝑐𝑧2]
 
 
 
 
 
 
 (3) 
 Caso 𝑐𝑥 = 0 e 𝑐𝑧 = 0, 
[𝑹] = [−
0 𝑐𝑦 0
𝑐𝑦 0 0
0 0 1
] (4) 
 
 Sendo: 
𝑐𝑥 =
𝑥
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
 (5) 
𝑐𝑦 =
𝑦
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
 (6) 
𝑐𝑧 =
𝑧
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
 (7) 
 
 
23 
 
 Onde 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são as coordenadas dos nós no espaço tridimensional, e 𝑐𝑥, 𝑐𝑦 e 𝑐𝑧 são os 
cossenos diretores de um vetor com as coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧). De forma gráfica, os cossenos 
diretores são vetores ortonormais que representam a orientação no eixo local da barra no 
espaço de três dimensões e podem ser mostrados na Figura 5. 
 Para toda a formulação tanto para análise quanto para dimensionamento, os eixos locais 
de referência, serão sempre os definidos pelos cossenos diretores (Figura 5). Sendo que o eixo 
x o eixo longitudinal da barra, o eixo z como o eixo perpendicular a alma do perfil (eixo de 
maior momento de inércia) e por fim o eixo y como sendo o eixo perpendicular às mesas do 
perfil (eixo de menor momento de inércia). 
 
Figura 5 Eixos locais do elemento barra. 
 
Fonte: Autor 
 
 Como o pórtico espacial possui uma matriz de rigidez de 12x12, a matriz de rotação do 
pórtico, deverá ser montada da seguinte forma: 
[𝑹𝒑] =
[
 
 
 
 
 
[𝑹] [𝟎] [𝟎] [𝟎]
[𝟎] [𝑹] [𝟎] [𝟎]
[𝟎] [𝟎] [𝑹] [𝟎]
[𝟎] [𝟎] [𝟎] [𝑹]]
 
 
 
 
 
12𝑥12
 (8) 
 Onde [𝟎] é a matriz nula de dimensão 3x3, e [𝑹𝒑] é a matriz de rotação do pórtico 
espacial. 
 Assim, a matriz de rigidez de uma barra no sistema global de coordenadas, o qual é o 
sistema unificado e comum a todas as barras, é dado por: 
[𝑲𝒈]𝑖
= [𝑹𝑷]
𝑡[𝑲ℓ]𝑖[𝑹𝑷] (9) 
 
 
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 Onde [𝑹𝑷]é a matriz de rotação do pórtico espacial (Eq. 8), [𝑲ℓ]𝑖 é a matriz de rigidez 
local da barra 𝑖 e [𝑲𝒈]𝑖
 é a matriz de rigidez global da barra 𝑖. 
 Portanto, a matriz de rigidez global da estrutura pode ser montada de acordo com o 
esquema montado na Figura 6. Onde 𝑚 e 𝑛 são os nós sequenciais em uma barra. 
 
Figura 6 Esquema de construção da matriz de rigidez global. 
 
Fonte: Gomes Filho e Garozi, (2014). 
 
 Dessa forma, com a inversa da matriz de rigidez global de todas as barras, é possível 
determinar os deslocamentos através da equação (2). Sendo que na matriz de rigidez global 
deverá ser imposta rigidez infinita nas diagonais referentes a deslocamentos e/ou rotações 
impedidas. Com os deslocamentos e rotações de todos os nós, determinam-se as reações pela 
mesma equação (2), mas agora, com a matriz de rigidez global sem os infinitos na diagonal. 
Com as reações e deslocamentos, retorna-se para a matriz local das barras, e determina os 
esforços internos pela mesma formulação matricial dada pela equação (2). Com os esforços 
internos, é possível gerar os diagramas para verificação da estrutura quanto ao 
dimensionamento adotado. 
 
2.2. Propriedades Geométricas 
 
 Os perfis estruturais idealizados pelas condições de projeto neste trabalho e previstos na 
NBR 8800:2008 e ainda os que são mais utilizados na construção civil brasileira, podem ser 
subdivididos em dois grandes grupos: perfis laminados e perfis soldados. 
 Neste item, serão definidas todas as propriedades geométricas, ambos para os perfis 
laminados e soldados, com formato I e H. Sequencialmente, a formulação para verificação de 
elementos estruturais em aço, de acordo com NBR 8800:2008, será apresentada abordando o 
dimensionamento às forças axiais, de tração e compressão, à flexão simples, à força cortante e 
à flexão assimétrica, além de outras prescrições da NBR 8800:2008. Toda a formulação ficará 
em função das propriedades geométricas aqui definidas, as quais dependem somente das 
variáveis de projeto estabelecida na Figura 7. 
 
 
25 
 
 Na Figura 7 estão representados os perfis soldados e laminados, com as variáveis de 
projeto, atribuídas ao vetor 𝑿𝑖 que será mais detalhado no item 2.5 (Métodos de Otimização). 
É importante observar a simbologia geométrica de cada elemento do perfil, onde 𝑑 é a altura 
nominal do perfil, 𝑏𝑓 é a largura das mesas superior e inferior do perfil, 𝑅 é o raio de 
concordância (para perfis laminados), 𝑡𝑤 é a espessura da alma, 𝑡𝑓 é a espessura da mesa, ℎ é 
a distancia entre as faces internas das mesas e 𝑑′ é a altura da alma. 
 
Figura 7 Variáveis geométricas em perfil soldado e laminado I e H, e o vetor 𝑿. 
 
Fonte: Autor 
 Na Figura 7, o perfil de menor altura nominal é o perfil laminado e o outro é um perfil 
soldado. De caráter geométrico, a única diferença notável na forma dos perfis laminados e 
soldados está na presença do raio de concordância (R). Por sua vez, os perfis soldados 
possuem dimensões maiores e uma maior variedade de possibilidades de dimensões, enquanto 
os laminados possuem uma dimensão mais limitada. Ainda, os perfis soldados possuem um 
custo de fabricação um pouco maior, sendo utilizados em situações onde não é possível 
aplicar os perfis laminados. 
 
 
26 
 
2.2.1. Perfis Laminados I e H 
 
 Os perfis laminados são aqueles obtidos por um processo de transformação mecânica de 
metais chamado laminação. Nesse processo, a forma de um corpo metálico é alterada para 
torná-lo adequado a determinada aplicação. O processo de laminação é feito a quente, com 
temperaturas superiores a 1.000 ºC. Neste processo, a seção da placa ou do perfil é reduzida 
com o giro de cilindros dispostos em todas as direções, os quais formam uma seção que 
diminui gradativamente, com o objetivo de formar a seção desejada. Os cilindros são 
dispostos em direções opostas e em pares, os quais giram em sentidos opostos e movem a 
peça alongada de aço por arrastamento, devido às forças de atrito. Durante a passagem pelos 
cilindros, a peça é comprimida pelos cilindros na direção transversal, com o objetivo de 
homogeneizar a peça e alongar no sentido longitudinal (Fakury, 2016). A Figura 8 mostra a 
disposição dos cilindros na produção de uma chapa laminada. 
 
Figura 8 Processo de Laminação do Aço. 
 
Fonte: Associação Brasileira do Alumínio 
 Dentre os a perfis laminados de seção aberta como o I, H, U e L e os de chapas e barras 
redondas, será dado um enfoque maior em perfis I e H de faces paralelas. Estes possuem essa 
denominação, pois a face interna das mesas é paralela à externa. Estes perfis são inspirados na 
padronização norte-americana e europeia, e são produzidos pela GERDAU, utilizando em sua 
maioria o aço ASTM A572-Grau 50. Estes perfis foram projetados para terem boas 
propriedades geométricas para uso estrutural em relação ao volume de aço consumido. 
 Os perfis I laminados são mais pertinentes a ser utilizado para flexão simples em torno 
do eixo x, o qual por referencia é o eixo de maior momento de inércia. Estes possuem altura 
de 150 mm até aproximadamente 610 mm e são especificados pela letra W (wide flange), 
seguido pela sua altura nominal em milímetros e a sua massa em quilogramas por metro 
(exemplo: W 460 x 89). 
 Os perfis H por sua vez, são mais indicados para compressão, associados com flexão, 
situação bem comum em pilares. Este tipo de seção