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LOGARITMOS Definição O logaritmo de a na base b é o expoente que deve ser atribuído à base b para que o resultado seja a. Considerando x o logaritmo, a notação é: log𝑏 𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏 𝑥 = 𝑎. O número a é chamado de logaritmando e deve ser maior do que zero (𝑎 > 0), enquanto b é a base e deve ser maior do que zero e diferente de um (𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1). Caso uma das condições não ocorra, o logaritmo não existe. Exemplos: Calcule log2 8. Buscamos qual deve ser o expoente da base 2 para que o resultado seja 8. Chamando tal expoente de x, temos: 2𝑥 = 8 ⇒ 2𝑥 = 23 ⇒ 𝑥 = 3. Portanto, log2 8 = 3. Calcule log 0,1. Quando a base não aparece, ela vale 10. Logo: 10𝑥 = 0,1 ⇒ 10𝑥 = 1 10 ⇒ 10𝑥 = 10−1 ⇒ 𝑥 = −1. Portanto, log 0,1 = −1. Propriedades 1) log𝑏(𝑥𝑦) = log𝑏 𝑥 + log𝑏 𝑦. 2) log𝑏 ( 𝑥 𝑦 ) = log𝑏 𝑥 − log𝑏 𝑦. 3) log𝑏(𝑥) 𝑘 = 𝑘 ∙ log𝑏 𝑥. 4) log𝑏 𝑎 = log𝑐 𝑎 log𝑐 𝑏 . Exercícios resolvidos 1) Dado que log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, determine log 1,2. Resolução: Note que 1,2 = 12/10, então basta utilizar as propriedades: log 1,2 = log ( 12 10 ) = log 12 − log 10 = log(2 ∙ 2 ∙ 3) − 1 = log 2 + log 2 + log 3 − 1 = 0,3 + 0,3 + 0,48 − 1 = 0,08. 2) (ITA) Se log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, então log9 20 é igual a 𝑎) 𝑏 1 + 2𝑎 𝑏) 𝑎 1 + 𝑏 𝑐) 1 + 𝑎 2𝑏 𝑑) 𝑏 2𝑎 𝑒) 𝑏 𝑎 Resolução: Precisamos mudar log9 20 para base 10, já que conhecemos dois logaritmos nessa base. log9 20 = log 20 log 9 = log(2 ∙ 10) log(3 ∙ 3) = 𝑎 + 1 2𝑏 . Alternativa correta: C. RESUMOS
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