ANOVA - Análise de Variância

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ANOVA - Análise de variância Profª. Drª. Iara R. A. P. Bresolin 
ANOVA – análise de variância
ANOVA de fator único 
É a análise de dados obtidos de amostras de mais de duas populações numéricas (distribuições) ou dados de experimentos em que foram empregados mais de dois tratamentos. 
ANOVA – análise de variância✓ Fator 
É a característica que diferencia os tratamentos ou populações entre si. 
✓ Níveis do fator 
São os tratamentos ou populações diferentes. 
ANOVA – análise de variância✓ Exemplo 
Um experimento para estudar os efeitos da presença de três diferentes soluções de açúcar (glicose, sacarose, frutose) no crescimento de bactérias. 
Fator: açúcar (qualitativo) 
Níveis: 3 níveis, um para cada açúcar 
ANOVA – análise de variânciaSeja 
✓ I = o número de populações ou tratamentos que estão sendo comparados; 
✓ μ1 = a média populacional 1 ou a resposta média real quando se aplica o tratamento 1; 
. 
. 
. 
✓ μI = a média populacional I ou a resposta média real quando se aplica o tratamento I. 
ANOVA – análise de variânciaAs hipóteses de interesse são: 
H0: μ1= μ2=...= μI 
versus 
Ha: pelo menos dois μis são diferentes 
Exemplo ANOVA
A tabela abaixo apresenta os dados de um experimento de fator único, envolvendo I=4 tipos de caixas e sua resistência à compressão (lb). 
	Tipo de caixa 
1 
	Resistência a compressão (lb) 
655,5 788,3 734,3 721,4 679,1 699,4
	2 
	789,2 772,5 786,9 686,1 732,1 774,8
	3 
	737,1 639,0 696,3 671,7 717,2 727,1
	4 
	535,1 628,7 542,4 559,0 586,9 520,0
ANOVA – análise de variância
Sejam Xi,j = a VA que representa a j-ésima medida obtida da i ésima população ou a medida obtida na j-ésima unidade experimental que recebe o i-ésimo tratamento. 
Exemplo ANOVA
	Tipo de caixa Resistência a compressão (lb) 1 655,5 788,3 734,3 721,4 679,1 699,4
	2 789,2 772,5 786,9 686,1 732,1 774,8
	3 737,1 639,0 696,3 671,7 717,2 727,1
	4 535,1 628,7 542,4 559,0 586,9 520,0
Assim: 
x2,3 = 786,9 lb 
x5,1 = não existe 
x1,5 = 679,1 lb 
ANOVA – análise de variância 
Suposições: 
As I distribuições populacionais ou de tratamento são todas normais e têm a mesma variância σ². 
Considere que as σ² serão iguais, se o maior S não for maior do que duas vezes o menor.
Aprendendo usar a tabela F Teste F 
A distribuição F possui 2 parâmetros: o número de graus de liberdade do numerador, ν1 e o número de graus de liberdade do denominador, ν2. Ambos inteiros positivos. 
Requisitos: 
✓ As duas populações precisam obrigatoriamente serem normalmente distribuídas (método extremamente sensível). 
✓ As duas populações independentes (dados não pareados). 
Fα, ν1, ν2 = 1/F 1- α, ν2, ν1
Exercício Praticando a utilização da tabela A9-Devore: Valores críticos para Distribuição F 
a) F0,05 , 6, 10 = 3,22 
b) F0,05 , 10, 6 = 4,06 
c) F0,95 , 6, 10 = não tem direto na tabela, então usar 
Fα, ν1, ν2 = 1/F 1- α, ν2, ν1 
F0,95 , 6, 10 = 1/F 0,05, 10, 6 = 1/ 4,06 = 0,25
ANOVA – análise de variância Teorema: 
Quando H0for verdadeiro e as suposições forem satisfeitas, f tem distribuição F com ν1 = I – 1 e ν2 = I(J-1). 
Quando f representa o valor calculado de F, a região de rejeição: 
Para um teste com nível de significância α
Tabela ANOVA Soma dos quadrados totais 
Soma dos quadrados dos tratamento Soma dos quadrados dos erros
Tabela ANOVA SQT=SQTr + SQE
Exemplo tabela ANOVA 
Os dados a seguir provêm de um experimento de comparação do grau de resíduos em tecidos copolimerizados com 3 diferentes misturas de ácido metacrílico. Testar se a média real do grau de resíduo é igual para as 3 diferentes misturas de ácido metacrílico. Considere α=0,01
Exemplo tabela ANOVA 
1) Parâmetro de interesse: Testar se a média real do grau de resíduo é igual para as 3 diferentes misturas de ácido 
2) Hipótese nula (H0): μ1= μ2= μ3 
3) Hipótese alternativa (Ha): pelo menos 2 μ’s diferentes 
4) Valor da estatística de teste: f =QMTr 
QME
Exemplo tabela ANOVA 5) Região de rejeição: = F0,01, 2, 12 = 6,93 sendo: ν1 = I – 1 = 3 -1 = 2 e ν2 = I(J-1) = 3(5-1) = 12 
6) Substituindo na Tabela ANOVA:
	Fonte de 
variação 
Tratamentos 
	gl (ν) 
I-1=2 
	Soma dos 
quadrados 
SQTr = 0,0608 
	Média dos 
quadrados 
QMTr = SQTr/(I-1) 0,0304
	f 
QMTr/QME 
0,9870
	Erros 
	I(J-1)=12 
	SQE = 0,3701 
	QME = SQE/I(J-1) 0,0308
	
	Total 
	IJ-1=14 
	SQT = 0,4309
	
	
Exemplo tabela ANOVA =154,592 + 3,972 + 4,692-13.513,25 2 = 0,0608 
= 
(0,56-0,918)2+(1,12-0,918)2+(0,90-0,918)2+(1,07-0,918)2+(0,94-0,918)2+ (0,72-0,794)2+ ... + (0,91-0,794)2+ 
(0,62-0,938)2+ ... + (0,93-0,938)2 = 0,3701
Exemplo tabela ANOVA 
7) Conclusão: A hipótese nula (H0) NÃO será rejeitada com nível de significância α = 0,01, pois 0,99 < 6,93. Logo, μ1 = μ2 = μ3.
O que é p-valor? 
Podemos basear nossa conclusão de um teste de hipótese (ou ANOVA) no p-valor (não aprendemos a calcular ele em sala de aula), pois muitos softwares fornecem o p-valor. 
Quando p-valor < α rejeito H0 
Quando p-valor > α NÃO rejeito H0
Resolvendo o exercício no Excel Dados → análise de dados → ANOVA fator único → ok