Fundamentos da Cinemática

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Fundamentos da cinemática 
Referencial 
É um corpo que a partir dele estudamos o movimento de outro corpo, assim conseguimos 
determinar: 
Posição, Movimento e Repouso, Trajetória, Variação do Espaço e distância percorrida, 
Função Horária do Espaço, Velocidade Escalar Média, entre outras grandezas ou 
características do movimento, por isso, é comum ouvirmos nas aulas de física, tudo depende 
do referencial. 
Ao estudar o movimento de um corpo além de adotar o referencial, é necessário avaliar 
para situação problema, se o corpo pode ser tratado como um ponto (ponto material ou 
partícula) ou corpo extenso. 
Por exemplo um carro é um ponto material ou um corpo extenso? 
Depende. Se o carro tiver em uma rodovia, as dimensões do carro são desprezíveis 
comparado com a dimensão da rodovia, nessa situação, podemos trata-lo como ponto 
material, representando como um ponto. Agora se o carro tiver estacionando em uma vaga 
muito apertada, apesar da vaga ser maior que o carro, não podemos desprezar suas 
dimensões, portanto nesse caso o carro é tratado como corpo extenso. 
 
Instante e Intervalo de tempo 
 
O instante é o momento que ocorre o fenômeno 
Exemplo: você começou ler esse resumo as 10h da manhã 
o que significa essa informação? 
 Significa que você ficou esperando 10h para começar a ler? Ou que você está lendo por 
10h? Não, o real significado é que no momento que no relógio indicou 10h, ou seja, nesse 
instante, você começou a ler o resumo. 
Na física o instante é representado pela letra t minúscula, por exemplo t = 10h. 
Intervalo de tempo é a duração do evento ou do fenômeno, vamos supor que você acabe de 
ler o resumo no instante t = 10h20min, portanto temos dois instantes, o inicial e o final, para 
obtermos o intervalo de tempo (duração), fazemos: 
∆t = t - t0 
Sendo Δt o intervalo de tempo, t instante final e t0 instante inicial. 
Nesse caso 
∆t = 10h20min - 10h 
∆t = 20 min 
 
Posição 
Ao adotar um referencial podemos determinar a posição de outros corpos. 
Quando um corpo está em movimento em relação ao referencial adotado, sua posição 
altera, por isso podemos 
 
Movimento e Repouso 
 
Para analisarmos se um corpo está em movimento ou repouso, precisamos de um 
referencial, ou seja outro corpo, a partir disso, se a posição do corpo altera com o tempo, 
para um dado referencial, dizemos que esse corpo está em movimento. 
Agora se a posição do corpo não altera no tempo, ou seja, permanece a mesma, dizemos 
que esse corpo está em repouso em relação a esse referencial. 
 
Dois fatos importantes, primeiro a reciprocidade, se o corpo A está em movimento em 
relação ao corpo B, então o corpo B está em movimento para o corpo A, da mesma forma se 
o corpo C está em repouso para o corpo A, então o corpo A está em repouso para o corpo C, 
podemos ir além e afirmar que C está em movimento para B e vice e versa. 
Segundo fato, lembre-se que tudo depende do referencial, portanto quando mencionar que 
um corpo está em movimento, sua afirmação só será verdadeira, se informar o referencial. 
Quando o problema não informa o referencial, é porque ele está adotando um ponto na 
superfície da Terra como referencial. 
Trajetória 
 
Ao adotar um referencial, podemos analisar o comportamento de outros corpos. 
Quando um corpo está parado, podemos simbolizar sua posição como um ponto em relação 
ao referencial escolhido. 
Agora se o corpo estiver em movimento, sua posição vai mudar, imagina que tivéssemos 
uma câmera e marcássemos onde esse copo passou a cada instante, se o intervalo de tempo 
para cada marcação for bem pequeno, teremos uma coleção de pontos, uma coleção de 
posições, ao ligar esses pontos teremos a trajetória descrita por esse corpo no referencial 
escolhido. 
Lembre-se que a trajetória depende do referencial, portanto ao mudar de referencial a 
trajetória do corpo observado pode ser outra. 
 
 
 
Espaço, Variação do Espaço e Distância Percorrida. 
Variação do espaço, ΔS, indica o quanto o corpo está deslocado em relação a sua posição 
inicial. 
 
ΔS = SFinal – SInicial 
 
Em alguns casos, SFinal é representada somente por S e a SInicial é representada por S0. 
Quando a variação do espaço ou deslocamento escalar, for: 
ΔS > 0, significa que o corpo foi para posições maiores que a inicial. 
ΔS = 0, significa que o corpo não se afastou da sua posição inicial, ou melhor, voltou para o 
ponto de partida, nesse caso, fique atento, o corpo deve ter invertido o movimento. 
ΔS < 0, significa que o corpo foi para posições menores que a inicial. 
Distância percorrida, d, indica o comprimento da trajetória descrita pelo corpo. 
 
Função Horária do Espaço 
 
Ao analisar o movimento de um corpo, podemos tabular algumas informações, por 
exemplo, sua posição e o instante que passou por lá. 
Exemplo: 
S(t) = 8 + 10.t 
S(t) = 3 – 4t + t² 
S(t) = 10.sen(2πt) 
 
Exemplo: 
S(t) = 8 + 10.t 
S(t) = 3 – 4t + t² 
S(t) = 10.sen(2πt) 
 
 
Exemplo: 
S(t) = 8 + 10.t 
S(t) = 3 – 4t + t² 
S(t) = 10.sen(2πt) 
 
 
 
 
Velocidade Escalar Média 
Velocidade Escalar Média (Vm): é a razão entre o deslocamento escalar de um corpo (ou 
partícula) e o intervalo tempo gasto em percorrê-la, logo seu cálculo será: 
 
 
O sinal da velocidade indica o tipo de movimento, quando móvel se movimentar no sentido 
da trajetória, ∆S > 0, sua velocidade será positiva, nesse caso, o movimento é chamado 
progressivo; caso o sentido contrário à orientação da trajetória ∆S < 0, sua velocidade será 
negativa, nesse caso, o movimento é chamado de retrógrado. 
A velocidade escalar média, indica em média quantos km o corpo percorre por hora, ou em 
média quantos m o corpo percorre por segundo, poderíamos utilizar outras unidades 
também. 
ATENÇÃO: uma unidade de velocidade bastante utilizada em nosso dia-a-dia é o quilômetro 
por hora (km/h). Podemos transformar velocidades em m/s, unidade do SI, para km/h ou 
vice-versa observando as seguintes condições: 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento Uniforme (M.U.) - Conceitos / Encontro 
Movimento uniforme (M.U.) 
É o tipo de movimento em que a velocidade do corpo não sofre alteração em todo o 
intervalo de tempo em que o movimento está sendo analisado. Resumindo, é todo 
movimento onde a velocidade do corpo é constante (sempre o mesmo valor). 
 
M.U. → Velocidade constante e diferente de 0 
 
 
 Função Horária das Posições 
É a fórmula matemática que fornece a posição do corpo em Movimento Uniforme (M.R.U.), 
em qualquer instante de tempo. Pode ser escrita matematicamente: 
 
 
 
Onde: 
 = posição final (m); 
 = posição inicial (m); 
 = velocidade constante (m/s); 
 = instante de tempo (s). 
 
 Encontro de Corpos 
 
 
 
 
ATENÇÃO: Adote sempre um referencial de sentido para o movimento, se ambos os corpos 
tiverem direção igual mas sentidos opostos, uma das velocidades (o sentido que estiver 
contra o adotado como referencial) deverá ser negativa. 
 
 
Gráficos 
Gráfico Velocidade X Tempo no M.U. 
Movimento Progressivo: 
 
Movimento Retrógrado: 
 
No gráfico “velocidade x tempo”, o 
deslocamento escalar é numericamente 
igual à área entre o gráfico e o eixo . 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico Posição X Tempo no M.U. 
Reta inclinada e crescente indica que o 
movimento é uniforme e progressivo. 
 
A reta inclinada decrescente indica que o 
movimento é uniforme e retrógrado. 
 
 
Gráfico Aceleração X Tempo no M.U. 
No movimento retilíneo uniforme, a 
velocidade permanece constante e 
diferente de zero, ou seja, a aceleração é 
nula. 
 
 
 
 
 
Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) - Conceitos 
Aceleração 
Quando em um movimento ocorre uma variação de velocidade, surge uma grandeza física 
nesse movimento. Essa grandeza recebe o nome de Aceleração (a). Podemos definir a 
aceleração de um corpo como sendo a grandeza física que relaciona a variação da 
velocidade de um corpo num determinado intervalo de tempo, portanto, temos:Funções Horárias do M.U.V. 
Função Horária da Velocidade 
Fornece a velocidade do corpo (em M.U.V.) em qualquer instante de tempo . É expressa: 
 
Onde: 
 = velocidade instantânea (m/s); 
 = velocidade inicial (m/s); 
 = instante de tempo (s); 
 = aceleração (m/s²). 
Função Horária da Posição 
Fornece a posição em que o corpo (em M.U.V.) se encontra para um dado instante de 
tempo qualquer. 
ACELERAÇÃO DEVE SER CONSTANTE! É expressa: 
 
Onde: 
 = posição final (m); 
 = posição inicial (m); 
 = velocidade inicial (m/s); 
 = instante de tempo (s); 
 = aceleração (m/s²). 
 
 
 
 
Fórmula de Torricelli 
Equação de Torricelli 
Relaciona diretamente a velocidade com o espaço percorrido por um corpo em M.U.V.. Tem 
por principal vantagem de utilização o fato de que a Equação de Torricelli é uma equação 
que não depende de valores de tempo. É expressa: 
 
Onde: 
 = velocidade instantânea (m/s); 
 = velocidade inicial (m/s); 
 = variação da posição (m); 
 = aceleração (m/s²). 
 Gráficos 
Gráfico Aceleração X Tempo no M.U.V 
 
 
No gráfico “aceleração x tempo”, a variação de velocidade é numericamente igual à área 
entre o gráfico e o eixo . 
 
 
 
 
Gráfico Velocidade X Tempo no M.U.V 
Em gráficos de velocidade pelo tempo, representa-se esse tipo de movimento por uma reta 
em virtude da equação da velocidade , que é uma equação do 1º grau 
crescente para aceleração positiva e decrescente para aceleração negativa. A tangente da 
inclinação da reta indicada nos gráficos resulta numericamente na aceleração escalar. 
 
 
A área entre a reta e o eixo resulta numericamente o deslocamento do móvel no intervalo 
de tempo considerado. 
 
 
Gráfico Posição X Tempo no M.U.V 
A função horária da posição permite localizar o móvel em qualquer instante. É uma função 
do 2º grau e sua representação em gráfico corresponde a uma parábola. Para esse tipo de 
gráfico, a velocidade escalar instantânea em dado instante é dada por uma reta tangente à 
curva no ponto considerado. 
Se , a parábola tem concavidade voltada para cima. 
 
Se , a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
 
Classificação de Movimentos 
 
Propriedades Gráficas (Noções de Derivada e Integral) 
 
 
Movimento circular uniforme 
Frequência e Período 
 
Frequência (f) 
É o número de vezes em que determinado fenômeno acontece em certo intervalo de 
tempo. 
 
No SI, a frequência é medida em rotações por segundo, denominada hertz (Hz) em 
homenagem ao físico alemão Heinrich Hertz. Assim “ ” Hz correspondem a “ ” rotações 
por segundo. 
 
 
 
 
Período (T) 
É o intervalo de tempo em que um evento periódico se repete. Como período é tempo, a 
unidade de medida pode ser horas, minutos, segundos, dias, meses... No SI, usa-se a 
unidade segundo(s). 
 
 
Relação entre período e frequência 
Nos conceitos de período e frequência, percebe-se que quanto maior a frequência do 
movimento circular, menor o período. Assim, quanto mais voltas se completam num 
segundo, menos tempo decorre para ser completada uma volta. Logo, essas duas grandezas 
físicas são inversamente proporcionais. 
 
Observações: 
 Se temos o período em segundos (s), a frequência virá em hertz (Hz); 
 Se temos o período em minutos (min), a frequência virá em rotações por minuto 
(rpm); 
 1 Hz = 60 rpm. 
Velocidade Angular e Linear 
Velocidade Angular 
A velocidade angular é a rapidez com que um móvel gira. A velocidade angular não depende 
do raio da trajetória. Quanto maior a frequência do movimento circular, maior sua 
velocidade angular. A velocidade angular também é conhecida como frequência angular. 
 ou 
Observação:com medido em rad e t, em segundos, a velocidade angular é medida em 
rad/s. 
 
Velocidade Linear 
A velocidade tangencial, linear ou escalar é a relação entre o espaço percorrido e o 
tempo gasto . Em cinemática suas unidades são: m/s, km/h, cm/min... 
 
 
 
Acoplamentos 
Eixo Comum 
A transmissão do movimento é feita por polias fixas num mesmo eixo, logo, concêntricas. 
 
Discos compartilhando o mesmo eixo central para rotação devem apresentar mesma 
velocidade angular. Desta forma vale a relação: 
 
 Polias compartilhando correias ou engrenagens 
Sistemas de polias compartilhando correias ou engrenagens conectadas devem apresentar 
mesma velocidade tangencial. Nestes casos, vale a relação: 
 
 
Função Horária do MCU 
 
Relação entre grandezas lineares e angulares 
As grandezas lineares relacionam-se com as grandezas angulares pelo raio do 
movimento circular: 
 
 
 
 Função horária 
As funções horárias do movimento angular são análogas às do movimento linear. 
 
MCU (Movimento circular uniforme) 
Linear 
Angular 
 
 
 
MCUV (Movimento circular uniformemente variado) 
Linear 
Angular 
 
Linear 
Angular 
 
Linear 
Angular 
 
Cinemática vetorial 
 
Conceitos Básicos - Deslocamento Vetorial 
Deslocamento Vetorial 
Deslocamento escalar é medido no percurso da trajetória. Por isso, ele irá depender da 
forma da trajetória. 
Já o deslocamento vetorial é independente da forma da trajetória, pois é medido pelo 
módulo do vetor que liga a posição inicial e a posição final, independentemente do trajeto 
percorrido entre as duas posições. 
 
Obs: o deslocamento escalar será sempre maior ou igual ao deslocamento vetorial. 
Conceitos Básicos - Velocidade Vetorial Média 
Velocidade Vetorial Média 
A velocidade vetorial média de um móvel é um vetor dado pela relação do 
deslocamento e o intervalo de tempo correspondente: 
 
Conceitos Básicos - Vetor Aceleração 
 
Aceleração Tangencial 
É a aceleração que causa a variação do módulo do vetor velocidade . 
 
Aceleração Centrípeta 
É a aceleração que causa variação da direção do vetor velocidade . 
 
Aceleração Resultante 
Se a velocidade vetorial varia em módulo e também em direção (movimento variado 
curvilíneo), existem as duas acelerações vetoriais, a tangencial e a centrípeta . Portanto a 
aceleração resultante é a adição vetorial das duas acelerações e . 
 
 
Como os vetores e possuem direções ortogonais, o módulo da aceleração resultante é 
dado pelo Teorema de Pitágoras (hipotenusa ao quadrado igual à soma dos quadrados dos 
catetos). 
 
Composição de Velocidade 
 
Da composição de dois movimentos, sempre há um movimento resultante. O princípio da 
simultaneidade, proposto por Galileu, permite análise de cada um dos movimentos 
separadamente. Segundo Galileu, o tempo gasto no movimento resultante é igual ao tempo 
gasto no movimento, se consideradas as duas direções separadamente. A composição de 
movimentos se faz sempre de forma vetorial.