Aula 10: Estudo de integrais

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 10: Estudo de integrais
Apresentação
Vimos que é possível solucionar problemas com taxas de variação utilizando o cálculo diferencial na aula anterior. Nesta
aula, faremos o inverso, isto é, veremos o cálculo integral e determinaremos uma função a partir de informações de sua taxa
de variação.
Com esse conhecimento, poderemos calcular a posição futura de um corpo a partir da sua posição atual e do conhecimento
das forças que atuam sobre ele. Dessa forma, seremos capazes de determinar as áreas de regiões irregulares no plano.
Estudaremos também a formulação da soma de Riemann para a integral de�nida, que permite que você calcule áreas sob
curvas, que não podem ser calculadas com a geometria clássica ou analítica.
Objetivos
Identi�car os conceitos de integração de funções de uma variável real;
Aplicar técnicas de integração;
Determinar propriedades e aplicações das integrais de�nidas.
Cálculo integral
Na matemática, tudo possui o seu inverso:
−
A subtração como inverso da adição;
÷
A divisão como inverso da multiplicação.
No cálculo diferencial, temos também o inverso da derivada, que é a antiderivada (primitiva), ou integral, como chamaremos aqui.
Logo, para todo � pertencente ao intervalo �, � será a antiderivada de � num dado intervalo � se �'� = ��.
Exemplo
1. Uma função �� é chamada de primitiva da função �� em um intervalo � se �'� = ��.
A função �� =
��
�
 é uma primitiva da função �� = ��, pois:
�'� =
���
�
= �� = ��
Observe que as funções �� =
��
�
+ 9 ou �� =
��
�
− 2 ou �� =
��
�
+ � também são primitivas de �� = ��, pois:
�'� = �'� = �'� = ��
2. Se a função �� é uma primitiva da função ��, a expressão ��+ � será chamada de integral inde�nida de �� e será expressa
por:
∫���� = ��+ �
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Integral inde�nida de �� ou simplesmente integral de �� em
relação a �
Chamamos de integração o processo que permite encontrar a integral inde�nida de uma função. Assim, temos que:
(i) ∫���� é o sinal de integração;
(ii) �� é a função integrando;
(iii) �� é a diferencial que identi�ca a variável de integração.
A partir da de�nição de integral inde�nida, temos as seguintes propriedades:
(i) ∫���� = ��+ � ↔ �'� = ��
(ii) ∫���� representa uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto de todas as primitivas da função que integra.
(iii) 
�
��
∫���� =
�
��
��+ � = �'� = ��
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A partir delas, observamos que:
∫���� = ��+ � → �
��
�� = �'� = ��
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Isso permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas de
derivação.
Propriedades da integral indefinida
∫ � ���� = � ∫ ����
∫ �� ± ���� = ∫ ���� ± ∫ ����
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Regra generalizada para integração de uma função
Se � é uma função derivável, então: ∫ ���� = �
�+�
�+�
+ �, com � + 1 ≠ 0.
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Exemplo
a) ∫7�� + ����
Solução:
∫7��+ ���� = ∫7����+ ∫���� = 7
��+�
�+�
+ �� +
��+�
�+�
+ ��
�� e �� são constantes arbitrárias. De modo que �� + �� = �, ou seja, basta colocar o termo “+�” no �nal da solução das
integrais, independentemente do número de parcelas da função do integrando.
Logo:
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∫7��+ ���� = ∫7����+ ∫���� = 7
��+�
�+�
+ �� +
��+�
�+�
+ �� =
���
�
+ �
�
�
+ �
b) ∫����
Solução:
��+�
�+�
= �
�
�
Logo:
∫���� =
��
�
+ �
c) ∫��
Solução:
∫1 · �� = �+ �
d) ∫3�� + 5��
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Solução:
∫3��+ 5�� = ∫3����+ ∫5�� = 3∫����+ 5∫�� = 3 ·
��+�
�+�
+ 5�+ � = 3
��
�
+ 5�+ � = ��+ 5�+ �
e) ∫
�
��√
��
Solução:
∫
�
�
�
�
�� = 2∫�
−�
� �� = 2
�
−�
�
+�
−�
�
+�
+ � = 2 ·
�
�
�
�
�
+ � = 2 ·
�
�
��
�
√ + � = 3 · ��
�
√ + �
f) ∫
�
��
+ �
��
+ 5��
Solução:
∫
�
��
��+ ∫
�
��
��+ 5∫�� = 2∫�−���+ 3∫�−���+ 5∫�� = 2 ·
�−�+�
−�+�
+ 3
�−�+�
−�+�
+ 5�+ � = 2
�−�
−�
+ 3
�−�
−�
+ 5�+ � = − �−�− 3
�−�+ 5�+ � = −
�
��
− �
�
+ 5�+ �
Para veri�car se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução ��+ �. Se essa derivada for igual a ��
, a primitiva está correta. Caso o resultado seja diferente, existe algum erro nos cálculos.
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Atividade
1. Agora é sua vez! Calcule as integrais inde�nidas a seguir:
a. ∫8��+ 4��− 6�+ 5��
b. ∫��+ 1��
c. ∫�
�
� − ���
d. ∫ �√ �− 1��
e. ∫
�
�√
��
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Integral de�nida e de�nição da área
Quando é preciso encontrar a área de uma região S, que está sob a curva � = �� de � até �, veri�que se � (�gura 10.1) está
limitada pelo grá�co de uma função contínua � (onde �� > 0), as retas verticais � = � e � = �, e o eixo �.
 Figura 10.1 – área S sob a curva contínua f(x), limitada pelas retas x = a e x = b. Fonte: G. B. Thomas, 2002.
Um conceito primitivo de área é o da área do retângulo. Calcular a área do retângulo e de outras �guras geométricas elementares,
como triângulo e paralelogramo, é relativamente fácil.
Para calcular a área de uma região S qualquer, faça uma partição � do intervalo �, �, isto é, divida o intervalo �, � em �
subintervalos, por meio dos pontos escolhidos arbitrariamente, da seguinte maneira:
� = �� < �� < �� < … < ��+� < �� < … < �� = �
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Determinemos o comprimento do �-ésimo subintervalo ��−�, �� como:
∆ �� = �� − ��−�
Vamos construir retângulos de base �� − ��−� e altura ���, em que �� é um ponto do intervalo ��, ��−�.
Assim, a soma das áreas dos � retângulos, que denotaremos por ��, será:
�� = ��� * ∆ �� + ��� * ∆ �� +…+ ��� * ∆ �� = ∑�=�
� ��� * ∆ ��
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Onde se lê que o somatório do produto corresponde a:
��� * ∆ ��, varia de � = 1 até � = �.
Essa soma se chama Soma de Riemann da função � relativa à partição �. Quando � cresce, é natural esperar que a soma das
áreas dos retângulos se aproxime da área � sob a curva. Chamamos de norma da partição � o comprimento do seu subintervalo
mais longo:
� = ���∆ ��; � = 1, 2, 3, …, �
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Caso o limite exista, a medida da área � da região � que está sob um grá�co de uma função contínua � é:
� = lim
�→�
∑�=�
� ��� * ∆ ��
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontalDe�nição de integral de�nida
Considerando �� uma função limitada de�nida no intervalo fechado �, � e � uma partição qualquer de �, �, a integral de �� no
intervalo �, �, denotada por ∫�
�
����, é dada por:
∫�
�
���� = lim
�→�
∑�=�
� ��� * ∆ ��
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Desde que exista o limite, a integral de�nida de ���� vai de � até �.
Propriedades da integral de�nida
i. ∫�
�
� ���� = � ∫�
�
����
ii. ∫�
�
��+ ���� = ∫�
�
����+ ∫�
�
����
iii. Se � < � < �, então ∫�
�
���� = ∫�
�
����+ ∫�
�
����
iv. ∫�
�
���� = − ∫�
�
����
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Saiba mais
Assista ao vídeo <https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-7/v/connecting-the-�rst-and-second-
fundamental-theorems-of-calculus> sobre o teorema fundamental do cálculo e integrais de�nidas.
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Se � é tal que �'� = �� para � entre �, �, então:
∫�
�
���� = ��− ��
O resultado será um valor numérico sem o termo “+�”.
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Exemplo
a) Cálculo da integral de �� = �� no intervalo [1, 2]
∫�
�
���� = ∫�
�
���� =
��
� �
�
Para resolver essa questão, substitua � pelo limite superior de integração. Nesse caso, 2 menos (subtrair) onde tem � você
substituirá pelo limite inferior, que é 1.
Vamos lá:
∫�
�
���� = ∫�
�
���� =
��
� �
�
= �
�
�
− �
�
�
= �
�
− �
�
= �
�
b) ∫�
�
��+ 3�− 1�� = ∫�
�
����+ 3∫�
�
���− ∫�
�
�� =
��
�
+ ��
�
�
− �
�
�
= ��
�
�
+ 3
��
�
− 0 −
��
�
+ 3
��
�
− 1 = 0
�
�
+ �
�
− 1 =
�+��−�
�
= �
�
=
�
�
c) Mudando os limites para −1, 0, encontramos 
−��
�
.
d) Calculando a integral de �� =
�
��
 no intervalo 1, 2.
∫�
�
���� = ∫�
� �
��
�� = ∫�
�
�−��� =
�−�+�
−�+� �
�
= �
−�
−� �
�
= �
−�
−�
− �
−�
−�
= − �
�
+ �
�
= �
�
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Leitura
Algumas técnicas de integração <galeria/aula10/anexo/tecnicas_de_integracao.pdf> para diferentes funções.
Aplicações das integrais
Veja dois tipos de cálculos de área:
Sob a curva �� no intervalo �, �;
Entre as curvas �� e �� no intervalo �, �.
Cálculo de áreas sob a curva �� no intervalo �, �
Para determinar a área de diferentes regiões, é preciso encontrar a área de uma região �, que está sob a curva de uma função ��,
como demonstrado na �gura 10.1.
Dessa forma:
Á��� � = ∫�
�
����
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Exemplo
a) Calcular a área do conjunto do plano limitado pelas retas � = 0, � = 1 e pelo grá�co de �� = ��
á��� = ∫�
�
���� = ∫�
�
���� =
��
� �
�
= �
�
�
− �
�
�
= �
�
� . � .
� . � . signi�ca unidades de área
b) Calcular a área de �� = �+ 1 entre � = 0 e � = 4
á��� = ∫�
�
���� = ∫�
�
�+ 1�� =
��
�
+ �
�
�
= �
�
�
+ 4 − 0 = 8� . � .
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Atividade
2. Considerando �� = 5, tomemos a região delimitada por � = 1, o eixo � e as retas � = 1 e � = 3. Faça o grá�co e calcule a área
dessa região.
3. Considerando �� = �, tomaremos a região delimitada pelo eixo �, a função �� = � e as retas � = 0 e � = 7.
Cálculo de área entre as curvas �� e �� no intervalo �, �
Considere a região entre os grá�cos de duas funções. Em seguida, suponha que �� e �� sejam funções contínuas no intervalo �, �
e que �� > �� para todo � em �, �. Dessa forma, a área da região limitada acima por � = ��, abaixo por � = ��, à esquerda pela
reta � = � e à direita pela reta � = �, conforme a �gura a seguir, corresponde a:
� = ∫�
�
��− ����
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 Figura 10.2 – Área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x), à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b. Fonte: G. B. Thomas, 2002.
Exemplo
Cálculo da área da região delimitada por � = �� = �+ 6 e � = �� = �� em −2, 3.
� = ∫�
�
��− ����� = ∫−�
�
�+ 6 − ���� = ∫−�
�
�+ 6 − ����� = ∫−�
�
���+ ∫−�
�
6��− ∫−�
�
����� =
��
�
+ 6�−
��
� −�
�
� =
��
�
+ 6 · 3 −
��
�
−
−��
�
+ 6 · −2 −
−��
�
� =
�
�
+ 18 −
��
�
− �
�
− 12 +
�
�
� =
��
�
−−��
�
� =
��
�
+ ��
�
= ��
+��
�
= ���
�
� . � .
Portanto, a área delimitada por:
� = �� = �+ 6 e � = �� = �� em −2, 3 é 
���
�
� . � . .
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Atividade
4. Encontre a área delimitada pela curva � = 1 − �� e as reta � = �− 1 entre −1, 2
Mudança de variável ou regra da substituição
Agora aprenderemos como substituir uma integral relativamente complicada por uma mais simples. Sejam � e � funções
diferenciáveis. Suponha que � seja uma primitiva de �. Então:
��� é uma primitiva de ����'�
���' = �'���'� = ����'�

Portanto:
∫����'�� = ���+ �
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Onde � é uma constante arbitraria. Assim, se �zermos a mudança de variável ou substituição � = ��, temos:
∫�'���'��� = ∫���'�� = ���+ � = ∫�'���
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Escrevendo �' = �, obtemos a regra da substituição:
∫����'��� = ∫����
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Exemplo
Para encontrar ∫2� 1 + ��√ ��, escolha a função de maior potência para chamar de �.
Nesse caso:
� = 1 + ��
��
��
= 2�
Queremos explicitar �� =
��
��
.
Vamos fazer a substituição?
∫2� 1 + ��√ �� = ∫2� �√
��
��
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Viu como �cou fácil?
Basta cortar 2� do numerador com 2� do denominador:
∫2� �√
��
��
= ∫ �√ ��
Essa integral já sabemos resolver:
∫ �√ �� = ∫�
�
��� =
� ���
�
+ �
Substituindo de volta � = 1 + ��, teremos que a solução �nal da integral é:
∫2� 1 + ��√ �� =
� �+��
�
�
�
+ �
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Saiba mais
Assista ao vídeo Introdução à integração por substituição <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-
techniques-calc/u-substitution-calc/v/u-substitution> .
Atividade
5. Resolva a integral:
∫��+ 3��
�
· 5��+ 6���
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6. Resolva ∫ 2�− 1√ ��
Regra da substituição para integrais de�nidas
Se �' for contínua em �, � e � for contínua na variação � = ��, então:
∫�
�
����'��� = ∫��
��
����
Parece complicado?
Basta você resolver a interação por substituição e depois aplicar os limites de integração.
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Exemplo
Vamos resolver o exemplo anterior:
∫�
�
�
2�− 1√ ��
Já sabemos que os passos para a solução dessa integral nos leva a:
∫�
�
�
2�− 1√ �� = ∫�
�
�
�√
��
�
= �
�
∫�
�
�
�
�
��� =
�
�
·
�
�
��√
�
�
�
Antes de efetuar a regra da integração de�nida, temos que ir até o �nal da solução da integral por substituição, ou seja, você não
deve resolver a integral de�nida em �.
Resolva a integral, faça a substituição de � e depois aplique os limites de integração em �. Logo, a aplicação dos limites de
integração deverá ser em �:
∫�
�
�
2�− 1√ �� = ∫�
�
�
�√
��
�
= �
�
∫�
�
�
�
�
��� =
�
�
·
�
�
��√
�
�
�
= ��
· 2�− 1��
�
�
�
= �
�
· 2 · 1 − 1�� −
�
�
· 2 ·
�
�
− 1
�
� = �
�
1√ −
�
�
0√ =
�
�
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Atividade
7. Resolva as integrais abaixo:
a) ∫�
�
� 3��+ 2√ ��
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b) ∫�
�
� ��+ 1√ ��
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Observações �nais
a) Integração de �� = ��
Vimos que existem regras para integração e para a integral:
∫���� = ��+ �
Aplicando a regra de substituição de variável, podemos resolver as integrais a seguir:
∫�����
Faremos:
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� = 5�
��
��
= 5�� =
��
�
Logo:
∫����� = ∫��
��
�
= �
�
∫���� =
��
�
+ �
Substituindo de volta � = 5�, teremos que:
∫����� =
���
�
+ �
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b) Integração de �� =
�
�
Integral do tipo:
∫
��
�
= ln �+ �
Também podemos resolver integrais do tipo ∫
��
��
 ou ∫
��
�+�
.
Basta utilizar a técnica de solução da integral por substituição de variável:
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∫
��
��
� = 3�
��
��
= 3�� =
��
�
Logo:
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∫
��
��
= ∫
��
�
�
= �
�
∫
��
�
= �
�
ln�+ �
Substituindo de volta: � = 3�
Teremos que:
∫
��
��
= �
�
ln3�+ �
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Analogamente:
∫
��
�+�
� = �+ 3
��
��
= 1�� = ��
Logo:
∫
��
�+�
= ∫
��
�
= ln�+ �
Substituindo de volta: � = �+ 3
Teremos que:
∫
��
�+�
= ln�+ 3 + �
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Referências
Bornatto G., Cálculo diferencial e integral. Disponível em: https:// issuu.com/ labvirtual. utfpr. pb/ docs/ apostila_ calculo_ 1.
<https://issuu.com/labvirtual.utfpr.pb/docs/apostila_calculo_1> Acesso em: 8 mar. 2019.
Explore mais
Exemplos de Integração. <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-calc>