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EESC USP PROJETO REENGE HÍDRÁULICA BÁSICA 4ª EDIÇÃO RODRIGO DE MELO PORTO ' • • 1 .·.' • J . " " HIDRAULICA BASICA -4ªEDIÇAO REVISADA RODRIGO DE MELO PORTO Departamento de Hidráulica e Saneamento Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo Publicação EESC-USP São Carlos, SP 2006 Copyright© 2006, 2004, 2003, 2001, 2000, 1998 - EESC - São Carlos-SP. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, guardada pelo sistema "retrieval" ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, seja este eletrônico, mecânico, de fotocópia, de gravação, ou outros, sem prévia au- .torização, por escrito, da EESC. 1 ª Edição - tiragem: 1.000 exemplares 2ª Edição - tiragem: 5.500 exemplares 3ª Edição - revisada - tiragem: 2.000 exemplares 4ª Edição - revisada e ampliada - tiragem: 2.000 exemplares Re'visão, editoração eletrônica e fotolitos: RiMa Artes e Textos Fone: (0xx16) 3372-3238 Fax: (0xx 16) 3372-3264 P853h.2 e-mail: paulo@rimaeditora.com.br Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento da Informação do Serviço de Biblioteca - EESC/USP Porto, Rodrigo de Melo Hidráulica básica/ Rodrigo de Melo Porto. -- 4. ed. -- São Carlos : EESC-USP, 2006 . (540] p. : il . Inclui referências bibliográficas. Projeto REENGE. ISBN 85-7656-084-4 1. Hidráulica. 2. Condutos forçados. 3. Condutos livres . 4. Ensino. 5. Aprendizado . I. Título. Ao meu pai, Eng. Fernando de Figueiredo Porto, pelo exemplo de caráter e por tudo aquilo que me proporcionou. À Lú, pelo amor; dedicação e paciência. Para Mau, Tati e Li, razão de tudo. A AGRADECIMENTOS Este livro é fruto do apoio recebido da diretoria da Escola de Engenha- ria de São Carlos, na pessoa de seu diretor, prof. Jurandyr Povinelli, e do estímulo e incentivo dos colegas do Departamento de Hidráulica e Sanea- mento. Deve-se ressaltar o trabalho paciente da bolsista Tatiana Gonçalves Porto na revisão preliminar do texto, elaboração de tabelas e exercícios, o apoio recebido do prof. Woodrow N. L. Roma como "consultor em in- formática" e a colaboração do Eng. José Eduardo Mateus Évora na elabo- ração da interface do programa REDEM.EXE. De modo particular e especial reconhece-se o trabalho dedicado, competente e contínuo do Sr. Valdecir Aparecido de Arruda na elaboração dos desenhos e na arte final da versão preliminar. Aos professores Walter H. Grafe Mustafá S. Altinakar, da École Polythecnique Federale de Lausanne, agradece-se a autorização do uso, tradução e adaptação do programa ExplicMl .exe e permissão da reprodu- ção dos Exemplos SB e SD do livro Hydraulique Fluviale, do qual se ex- traiu boa parte do Capítulo 14. · Aos professores Gilberto Queiroz da Silva e Antenor Rodrigues Bar- bosa, da Universidade Federal de Ouro Preto, agradece-se a gentileza da foto do Chafari z da Casa dos Contos, que compõe a capa. Agradecimentos à prof. Luisa Fernanda Ribeiro Reis da EESC e ao prof. Podalyro Amaral de Souza da EPUSP, pelas críticas e sugestões per- tinentes. E, finalmente, uma palavra de agradecimento aos alunos da discipli- na SHS-401 Hidráulica, do curso de Engenharia Civil da EESC, que, nas versões preliminares, se empenharam na maratona "em busca do erro per- dido". Com certeza alguns ainda estão escondidos, e antecipadamente se agradece a quem encontrá-los. São Carlos, dezembro de 1998. Rodrigo de Melo Porto, rodrigo@sc. usp. br A APRESENTAÇÃO O REENGE (Reengenharia do Ensino de Engenharia) é uma linha de atuação do Programa de Desenvolvimento das Engenharias que tem por obje- tivo apoiar a reformulação dos programas de ensino de engenharia como par- te do processo de capacitação tecnológica e de modernização da sociedade brasileira, bem como da preparação para enfrentar os desafios futuros gerados pelos progressos técnico e científico alcançados em nível internacional. Visando à consecução de seu objetivo, o REENGE tem oferecido apoio e incentivo para o desenvolvimento de importantes projetos, dentre os quais se destaca a publicação de livros didáticos para os cursos de graduação e educa- ção continuada. A presente publicação Hidráulica Básica, patrocinada pelo REENGE, é um texto destinado ao apoio à disciplina Hidráulica dos cursos de Engenharia Civil, com caráter eminentemente didático e cobrindo os principais tópicos necessários à formação técnica do aluno nessa área. O autor, Rodrigo de Melo Porto, engenheiro civil formado pela Esco- la de Engenharia de São Carlos e professor doutor do Departamento de Hidráu- lica e Saneamento desta mesma escola, foi professor de Hidráulica na Unicamp e na Universidade Federal de São Carlos, possui vários trabalhos publicados, tanto de cunho técnico-científico quanto didático. A obra incorpora o resultado de um trabalho sério, dedicado e compe- tente realizado pelo professor Rodrigo, fruto de sua experiência na docência, constituindo-se numa valiosa contribuição ao ape1feiçoamento e melhoria das condições de oferecimento da disciplina Hidráulica nos cursos de Engenharia Civil no país. Prof Dr. Jurandyr Povinelli* * Diretor da Escola de Engenharia de São Carlos da USP, coordenador <lo projeto REENGE/EESC, foi pre- sidente da Comissão de Pós-graduação da EESC-USP, chefe do Departamento de Hidráulica e Saneamen- to da EESC-USP e secretário executivo da Comissão de Especialistas do Ensino de Engenharia do Ministério de Educação e dos Desportos. p PREFÁCIO DA 2ª EDIÇÃO Este livro é resultado do convênio firmado entre a CAPES e a Esco- la de Engenharia de São Carlos, através do programa REENGE, para a publicação de uma série de textos, de caráter didático, em Engenharia Civil e Engenharia Elétrica. A coleção de livros tem o objetivo fundamental de fornecer apoio aos estudantes das duas especialidades, através de textos que abranjam os principais assuntos enfocados nas diversas estruturas curriculares das es- colas de engenharia do país, de modo claro e didático, refletindo a expe- riência acadêmica dos autores, e com baixo custo. No caso específico deste volume, procurou-se elaborar um texto que concorresse para a melhoria da formação básica em Hidráulica do estudante dos cursos de Engenharia Civil. Tal formação é absolutamente necessária para que o Engenheiro Civil possa desempenhar seu papel no âmbito do planejamento, projeto e gerenciamento dos mais diversos siste- mas que tratam do uso e controle da água. Procurou-se desenvolver os capítulos de modo a contemplar os prin- cipais aspectos inerentes aos escoamentos em condutos forçados e livres, dentro de uma seqüência e profundidade que se acredita condizente com um curso de Hidráulica Geral em Engenharia Civil, e baseada na experiên- cia de anos de ensino. Pretendeu-se apresentar os tópícos mais fundamentais em cada as- sunto, de forma cuidadosa e rigorosa, sem, todavia, abusar do tratamento matemático e dando prioridade aós aspectos físicos e práticos da matéria. A estrutura do texto é dividida em duas partes bem distintas: a pri- meira, com seis capítulos, trata do escoamento permanente em condutos forçados; a segunda, com oito capítulos, trata de escoamentos permanente e variável com superfície livre. Seu conteúdo é suficiente para cobrir um curso anual da disciplina, com carga horária de três horas por semana (au- las práticas de laboratório a parte). O aluno com formação básica em Mecânica dos Fluidos pode supri- mir o primeiro capítulo sobre Conceitos Básicos. Também o último capítu- lo, sobre Escoamento Variável em Canais, pode ser dispensado sém perda do essencial, em virtude da limitação de tempo. ~ IX Devido à finalidade essencialmente didática da obra, incluiu-se em todos os capítulos uma série de exercícios resolvidos, somando ao todo 82, que espelhassem as características mais típicas dos conceitos discuti- dos em cada assunto, além de um conjunto de 265 problemas propostos, acompanhados das respostas, através dos quais o estudante tem a oportu- nidadede testar os conceitos e utilizar o ferramental disponível em cada tópico. Procurou-se, em algumas aplicações, fazer uso de metodologias computacionais como ferramenta que permite ao aluno, de modo rápido, analisar outros aspectos e alternativas de cada problema proposto. Para isto, no endereço eletrônico www.eesc.sc.usp.br/shs, na área Ensino de Graduação, estão disponíveis quatro programas computacionais nas lin- guagens Basic e Fortran e várias planilhas de cálculos para- resolução dos exemplos numéricos. Nesta 211 edição foram feitas pequenas correções no texto e nas res- postas de três problemas. Foram introduzidos quatro novos problemas de aplicação nos capítulos 3, 4, 8 e 12. Uma versão melhorada da planilha MOODY.XLS é apresentada no diretório Bombas do endereço eletrônico www.eesc.sc.usp.br/shs. Quer-se mais uma vez agradecer a todos que auxiliaram com críti- cas, sugestões e apontando as falhas que passaram na 1 ª edição, e também ao público em geral, que fez a edição anterior deste livro esgotar-se em pouco mais de um ano. São Carlos, março de 2000 p PREFÁCIO DA 1ª EDIÇÃO Este livro é resultado do convênio firmado entre a CAPES e a Esco- la de Engenharia de São Carlos, através do programa REENGE, para a publicação de uma série de textos, de caráter didático, em Engenharia Civil e Engenharia Elétrica. A coleção de livros tem o objetivo fundamental de fornecer apoio aos estudantes das duas especialidades, àtravés de textos que abranjam os principais assuntos enfocados nas diversas estruturas curriculares das es- . colas de engenharia do país, de modo claro e didático, refletindo a expe- riência acadêmica dos autores, e com baixo custo. No caso específico deste volume, procurou-se elaborar um texto que concorresse para a melhoria da formação básica em Hidráulica do estudante dos cursos de Engenharia Civil. Tal formação é absolutamente necessária para que o Engenheiro Civil possa desempenhar seu papel no âmbito do planejamento, projeto e gerenciamento dos mais diversos siste- mas que tratam do uso e controle da água. Procurou-se desenvolver os capítulos de modo a contemplar os prin- cipais aspectos inerentes aos escoamentos em condutos forçados e livres, dentro de uma seqüência e profundidade que se acredita condizente com um curso de Hidráulica Geral em Engenharia Civil, e baseada na experiên- cia de anos de ensino. Pretendeu-se apresentar os tópicos mais fundamentais em cada as- sunto, de forma cuidadosa e rigorosa, sem, todavia, abusar do tratamento matemático e dando prioridade aos aspectos físicos e práticos da matéria. A estrutura do texto é dividida em duas partes bem distintas: a pri- meira, com seis capítulos, trata do escoamento permanente em condutos forçados; a segunda, com oito capítulos, trata de escoamentos permanente e variável com superfície livre. Seu conteúdo é suficiente para cobrir um curso anual da disciplina, com carga horária de três horas por semana (au- las práticas de laboratório a parte). O aluno com formação básica em Mecânica dos Fluidos pode supri- mir o primeiro capítulo sobre Conceitos Básicos. Também o último capítu- lo, sobre Escoamento Variável em Canais, pode ser dispensado sem perda do essencial, em virtude da limitação de tempo. XI B Hid,á"Uca Básica Devido à finalidade essencialmente didática da obra, incluiu-se em todos os capítulos uma série de exercícios resolvidos, somando ao todo 82, que espelhassem as características mais típicas dos conceitos discuti- dos em cada assunto, além de um conjunto de 261 problemas propostos, acompanhados das respostas, através dos quais o estudante tem a oportu- nidade de testar os conceitos e utilizar o ferramental disponível em cada tópico. Procurou-se, em algumas aplicações, fazer uso de metodologias computacionais como ferramenta que permite ao aluno, de modo rápido, analisar outros aspectos e alternativas de cada problema proposto. Para isto, no endereço eletrônico www.eesc.sc.usp.br/shs, na área Ensino de Graduação, estão disponíveis quatro programas computacionais nas lin- guagens Basic e Fortran e várias planilhas de cálculos para resolução dos exemplos numéricos. São Carlos, dezembro de 1998 s XIII SUMÁRIO PARTE 1 - ESCOAMENTO PERMANENTE EM CONDUTOS FORÇADOS .................................................. ..................... ....... 1 CAPÍTULO 1 - CONCEITOS BÁSICOS ........................................................ 3 1.1 Tipos e regimes dos escoamentos ... .... .... ....... .. ... ... .... ..... .. ........ 3 1.2 Equação da energia ......... ................. .. ....... .... ...... ....... ..... .......... 4 1.2.1 Equação do movimento sobre uma linha de corrente ..... ............ . 8 ... 1.2.2 Linha de energia e linha piezométrica ...... .................................. 9 1.2.3 Equação da energia em tubos de fluxo ........... .... ........... .......... 11 1.3 Análise dimensional aplicada ao escoamento forçado .............. 13 1.4 Velocidade de atrito .. ....... .......... ... ................. .. ............... ...... ... 15 1.5 Potência hidráulica de bombas e turbinas .. ........ .. .................. .. 17 1.6 Problemas .... ......... ... ......... ............... ... ............. ...... .......... ....... 23 CAPÍTULO 2 - ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES ................. 27 2.1 Tensão tangencial ........................... ... ...................................... 27 2.1.1 Escoamento laminar .. .................... ........ ........ ............. ...... .. ..... 28 2.1.2 Escoamento turbulento .. .. ...... ....... ........ ...... ............ ........... ...... 30 2.2 Comprimento de mistura de Prandtl - Distribuições de velocidade ............. ............................ .. ........ .... ... ................ 32 2.2.1 Lei de distribuição universal de velocidade ............ ............. .... 34 2.3 Experiência de Nikuradse .. ......... .... ......... ............................... 36 2.4 Leis de resistência no escoamento turbulento .............. ...... .... 37 2.4.1 Tubos lisos ... .. ....................................... ..... ..... .. ... ... ................. 38 2.4.2 Tubos rugosos ............. .. ......... ... ................... .... ............ ....... .... 39 2.5 Escoamento turbulento uniforme em tubos comerciais ..... ..... . 44 2.6 Fórmulas empíricas para o escoamento turbulento ................. 52 ~ 2.6.1 Fórmula de Hazen-Williams .. ..... .............................................. 53 2.6.2 Comparação entre a fórmula de Hazen-Williams e a fórmula universal ................... ......... ..... ......... .. ..... .... ... ........ 55 2.6.3 Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao ..... .. .... ......... ... ................... ..... . 56 2.7 Condutos de seção não circular ................... ... .... ........ ..... .. ...... 58 2.8 Problemas ...... .... ......... .. ........ .... .......... .. .......... ........................ 61 CAPÍTULO 3 - PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS ................................. 69 3.1 Introdução ........ ... .. .. .... .... ................... .. .... .... .............. .. ......... ... 69 3.2 Expressão geral das perdas localizadas .... ........ ........ .............. 70 3.3 Valores do coeficiente K para algumas singularidades .... ... ...... 71 3.3.1 Alargamentos e estreitamentos .. .............................................. 71 3.3.2 Cotovelos e curvas ...................... ......... .. .... .. .... .. ... .. .......... .. ..... 75 3.3.3 Registro de gaveta ........... .. ... ................................ ..... .......... .... 76 3.3.4 Válvula de borboleta .. .......................... ..................................... 76 3.3.5 Valores diversos do coeficiente de perda de carga .... ............... 77 3.4 Análise de tubulações ...... .. ......................... ..... .. ............... .. ..... 77 3.5 Influência relativa das perdas de carga localizadas ................... 78 3.6 Método doscomprimentos equivalentes ............. ........ .... .... ...... 84 3.7 Problemas .......... .. ..................... .. ................... ......................... 88 CAPÍTULO 4 - SISTEMAS HIDRÁULICOS DE TUBULAÇÕES .................. 93 r 4.1 Introdução ....................... ...... ...... ... .. .......................... ... .......... . 93 • 4.2 Relação entre perda de carga unitária e declividade da linha piezométrica .. ... .............................................. ........... 93 e 4.3 Influências relativas entre o traçado da tubulação e as linhas de carga ........... .. ...... ........... ............. ... ..... ......... ...... . 94 o 4.4 Distribuição de vazão em marcha ..................... ........ .............. 97 4.5 Condutos equivalentes .............. .. ... ...... ... .. .. ... ................ .. .. .... 101 4.5.1 Conduto equivalente a outro ................................. ... ....... .... ... 102 4.5.2 Conduto equivalente a um sistema ........................................ 102 4.6 Sistemas ramificados ......................................... .. .......... ....... 106 4.6.1 Tomada d'água entre dois reservatórios ..... ......................... .. 106 4.6.2 Problema dos três reservatórios ........................ .. .. ................ 107 4.7 Sifões ...................................... .. ... .... ...................... .. ....... ... ... 110 4.8 Escoamento quase-permanente ... ........... .............................. 114 4.9 Problemas ................. ... : ...................................................... .. 117 CAPÍTULO 5 - SISTEMAS ELEVATÓRIOS - CAVITAÇÃO ..................... 123 5.1 Introdução ........ .. ............................................... ..................... 123 5.2 Altura total de elevação e altura manométrica .. .. .................... 124 5.3 Potência do conjunto elevatório ...... ..................................... .. . 125 5.4 Dimensionamento econômico da tubulação de recalque .. .. ....... ...... ........ .. ................................................ 125 5.4.1 Custo de uma canalização ..... ... .... .......... .. ............................. 125 5.4.2 Tubulação de recalque ...................................... ..... .. .............. 127 5.4.3 Fórmula de Bresse ................................................ , ....... ......... 129 5.5 Bombas: tipos, características - Rotação específica .......... ... 132 5.5.1 Rotação específica ................ ................................................. 133 5.6 Relações de semelhança .... ...... .... ......... ...... ........................ .. 135 5.7 Curvas características ......................................... ................... 136 5. 7 .1 Curva característica de uma bomba .......................... ............ . 136 5.7.2 Curva característica de uma instalação ...... .. .......................... 139 5.7.2.1 Sistemas de tubulações em série e paralelo .......................... 141 5.7.3 Associação de bombas em série e paralelo ........................... 145 5.8 Escolha do conjunto motor-bomba ..................................... .. .. 148 5.8.1 Instalação, utilização e manutenção ...................................... 149 5.9 Cavitação ........................................................................... .. .. 153 5.9.1 O fenômeno ................................................................. .......... 153 5.9.2 N.P.S.H. (Net Positive Suction Head) disponível ..................... 155 5.9.3 N.P.S.H. requerido .................... ......... .................................... 156 5.9.4 Determinação da máxima altura estática de sucção .............. 157 5.9.5 Determinação da pressão atmosférica e da pressão de vapor .... ...................... ................................... ... .. 157 5.9.6 Coeficiente de cavitação de Thoma .......... .. ......................... 158 5.9.7 Aplicabilidade dos dois critérios ............................................ 159 5.1 O Problemas ......................................... .................................... 161' Ç,APÍTULO 6 - REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA .. ............................ 169 6.1 Introdução ......... ............................................ ................... ..... . 169 6.2 Tipos de redes ....................... ................................................ 169 6.3 Vazão de adução e distribuição .................................... .......... 171 6.4 Análise hidráulica de redes de abastecimento ........................ 172 6.5 Métodos de cálculo para o dimensionamento de redes .......... 173 6.5.1 Redes ramificadas ...................................................... ...... ..... 173 6.5.2 Redes malhadas - Método de Hardy Cross ........................... 178 6.6 Aplicação do método de Hardy Cross - O programa REDEM.EXE ...... ...... ............................................. 181 6.7 Problemas ............. ....... ............. ..... ... ....................... ............. 184 APÊNDICE ... ........................................................................................... 189 Tabela A1 .... .. ...................... ....... ..... ...... ................................. 191 Tabela A2 ............................................................................... 203 BIBLIOGRAFIA- PARTE 1 ........................................................................ 217 B Hid,á"Uca Básica PARTE li - ESCOAMENTO PERMANENTE E NÃO PERMANENTE EM CONDUTOS LIVRES ........................................................ 219 CAPÍTULO 7 - ESCOAMENTOS EM SUPERFÍCIE LIVRE ....................... . 221 7.1 Introdução ...................... ............. ........................................... 221 7.2 Elementos geométricos dos canais ....................................... 222 7.3 Tipos de escoamentos ........ ................................................... 223 7.4 Distribuição de velocidade .......... .. .......................................... 226 7.5 Distribuição de pressão ............................... ........... .. .............. 230 7.5.1 Escoamento paralelo ...................... .. ....... .. ......... ......... ...... .... 232 7.5.2 Influência da declividade de fundo .... .. ................................. .... 232 7.6 Problemas ...... ....... ..... .............. ..................................... ... ..... 233 CAPÍTULO 8 - CANAIS - ESCOAMENTO PERMANENTE E UNIFORME ........... ............... ...... ................................. . 237 8.1 Introdução .......... ....... ......... .................................... ......... .. ..... 237 8.2 Equações de resistência ...................... .... ...... ........................ 238 8.2.1 Fórmula de Manning .... ....................... ....................... .... .. ...... 243 8.3 Os coeficientes C e n ...... .... ................................... .. .............. 244 8.4 Cálculo de canais em regime uniforme ....... ............................ 248 8.4.1 Determinação da altura d'água ......................... .. ... .... .......... .. . 254 8.5 Seções de mínimo perímetro molhado ou de máxima vazão .. ....... .... .. .................... ................................ 254 8.5.1 Trapézio de mínimo perímetro molhado ......... ... ...................... 255 8.5.2 Retângulo de mínimo perímetro molhado ........... ...... ............... 256 8.6 Elementos hidráulicos da seção circular .............. ....... ........... 256 8.7 Canais fechados .. ....... ........................................................... 258 8.7.1 Seções circulares .. ...... ...................................................... .... 259 8.7.2 Seções especiais .... ........................... ................................... 260 8.8 O programa CANAIS3.EXE ........ .................... .. ... ................... 262 8.9 Problemas ..................................................... ........................263 CAPÍTULO 9 - OBSERVAÇÕES SOBRE O PROJETO E CONSTRUÇÃO DE CANAIS ........................................ 275 9.1 Introdução .......................................................... ..... ............. .. 275 9.2 Observações gerais .. ............................................................. 275 9.3 Problemas .......... .......... .................... ..................................... 283 CAPÍTULO 10 - ENERGIA OU CARGA ESPECÍFICA .............. ................ 287 10.1 Introdução .. ................................. ........................................... 287 10.2 Curvas y x E para q = cte e y x q para E= cte ...................... 288 Somãrio B 10.3 Escoamento crítico ......................................... ... ..... .. ...... ....... 290 10.4 Determinação das alturas alternadas em canais retangulares ......... ...................................... .......... 294 10.5 Velocidade crítica e celeridade ............................................. 296 10.6 Seção de controle .......................................................... ....... 300 10.7 Aplicações da energia específica em transições .................. 301 10.7.1 Redução na largura do canal ............. ........................ ........... 302 1 O. 7 .1.1 Calhas medidoras de vazão .. ...... ............ ........... ... ......... .. ..... 303 10.7.2 Elevação no nível de fundo ...... ............................................. 307 10.7.2.1 Vertedor retangular de parede espessa ................................ 308 10.8 Ocorrência da profundidade crítica ......... ... .. ............ ............ 311 10.9 Canais de forma qualquer ............................................ ...... .. . 314 10.1 o Problemas típicos .. ............................................... ................. 316 10.11 Problemas ..................................... .. ....... .......... .... ................. 327 CAPÍTULO 11 - RESSALTO HIDRÁULICO ............................................... 335 11.1 Generalidades ........ ................................................................ 335 11.2 Descrição do ressalto ....................... ..................................... 335 11.3 Força específica ............................ ... .......... .. .......................... 336 11.4 Canais retangulares ...... ..... .......................... .......................... 339 11.5 Canais não retangulares ........................................................ 341 11.6 Perda de carga no ressalto ...... ........ ....................... ...... .. ....... 344 11.7 Problemas .... ................ ............ ..... .. ........ ... .... ...... .... .... .. .. ..... 347 CAPÍTULO 12- ORIFÍCIOS -TUBOS CURTOS-VERTEDORES .......... 351 12.1 Introdução ... .............. .... ...... .... ... ....... .. ............ ................... .... 351 12.2 Orifícios ................................................................................. 351 12.2.1 Classificação dos orifícios ....... .... ........................................... 351 12.3 Descarga livre em orifícios de parede fina ...... ......... ................ 352 12.3.1 Vazão descarregada ..... .... .. ................................................... 353 12.4 Perda de carga em orifícios ...... ... .. ....... ... ............................ ... 356 12.5 Determinação experimental dos coeficientes de um orifício .... 357 12.6 Teoria dos grandes orifícios ............ ................... ..................... 358 12.7 Orifícios afogados ............. .. ........................................... ........ 360 12.8 Contração incompleta do jato ............................................. .... 361 12.9 Escoamento sob carga variável .... .. ....... ....... .. ........................ 362 12.1 O Influência da espessura da parede ......................................... 365 12.10.1 Bocal cilíndrico externo ... .................................... ...... .... ......... 365 12.10.2 Bocal cilíndrico interno ou bocal de Borda ....... .... ................ ... 368 12.11 Tubos curtos com descarga livre ................................... ...... ... 370 12.12 Comportas de fundo planas .................................................... 37 4 12.12.1 Escoamento afogado ........................... .... .. ............................ 377 12.13 Vertedores ............................................................................. 381 12.13.1 Nomenclatura e classificação ................................................ 382 12.13.2 Vertedor retangular de parede fina sem contrações ................ 383 12.13.3 Valores do coeficiente de vazão Cd ............................................................ 386 12.13.4 Influência da contração lateral ............................................. ... 388 12.14 Vertedor triangular de parede fina ....... .. .................................. 388 12.15 Vertedor trapezoidal de parede fina ........................................ 390 12.16 Vertedor retangular lateral ...................................................... 391 12.16.1 Características do escoamento ........................ ..... ................. 391 12.16.2 Equacionamento ..................................................... ............... 392 12.16.3 Determinação do coeficiente de descarga ........................ ...... 394 12.17 Vertedor de soleira espessa horizontal ................................... 396 12.18 Descarregadores de barragens ............................................... 397 12.18.1 Geometria da soleira normal ........ ............ ...... ........................ 399 12.18.2 Variação do coeficiente de vazão com a carga ................... .... 399 12.19 Aplicações ............................................................................ . 401 12.19.1 Eclusa para navegação .. .. .............................................. ........ 401 12.19.2 Esvaziamento de um reservatório de abastecimento predial ....................................................... 403 12.19.3 Derivação de água em projetos de abastecimento .................. 404 12.19.4 Bacia de detenção em sistemas de controle de cheias urbanas ....... ....................... ......... ........ .................. 406 12.19.5 Defesa contra inundações ...................................................... 407 12.19.6 Controle de canais por comporta plana vertical .......... ... .. .. ..... 408 12.20 Problemas ............................................................................. 409 CAPÍTULO 13 - ESCOAMENTO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO ....................................................................... 415 13.1 Generalidades .. ................ ........... ..... ...................... ... ............. 415 13.2 Equação diferencial do escoamento permanente gradualmente variado ......... ........................................ ............ 416 13.3 Classificação dos perfis ......................................... ................ 417 13.4 Perda de carga localizada ...................................................... 422 13.5 Singularidades ....................................................................... 423 13.6 Determinação do perfil d'água em canais prismáticos ............ 435 13.6.1 Step method .......................................................................... 435 13.7 Computação do perfil d'água ............ ...................................... 437 13.7.1 Localização do ressalto hidráulico ...................... ...... .. ........... 442 13.8 Formas da superfície da água ................................................ 444 13.9 Problemas ........................................................... .. ................ 446 CAPÍTULO 14 - ESCOAMENTO VARIÁVEL EM CANAIS ......................... 455 14.1 Introdução ................................................................ ....... ...... . 455 14.2 Definições .. .... .............................. .... ........................ .............. 455 14.3 Ondas de translação- Escoamento rapidamente variado ...... 457 14.3.1 Notação ...................................................... .. ....... .... .............. 457 14.3.2 Altura e velocidade de uma onda ..... ... .......... ........ ............. .. ... 458 14.3.3 Onda de translação negativa ........... ............ ........................... 463 14.4 Equações hidrodinâmicas ...... ............................... ....... .......... 469 14.4.1 Equação da continuidade ........... ......... ........... ........ ......... ....... 469 14.4.2 Equação dinâmica .............................. .. .. .... ...................... ..... 471 14.5 Simplificações das Equações de Saint-Venant ........ .. ............ 474 14.5.1 Onda cinemática ....... .................................. .... ....................... 475 14.6 Propagação de cheias em rios ........... .............................. .. .... 481 14.6.1 Método Muskingum .. ................................................ ............. 482 14.6.1.1 Determinação das constantes K e x .. .......... ..... .... ..... ............ 485 14.7 Métodos numéricos para a resolução das equações de Saint-Venant ...................................... ... ......... .. ........ .... .. ... 487 14.7.1 Método das características ... ......... ... .................................... 487 14.7.2 Métodos de diferenças finitas ........... ...... .............................. 491 14. 7 .3 Esquema explícito .. .................. .. ........................................... 494 14.7.4 Esquema implícito .. ........ ............................... ....... ..... ............ 495 14.8 O programa ExplicM1 .EXE ... .......... ............... ... ................ .. ... 497 14.9 Problemas ................................. ... ......................................... 509 BIBLIOGRAFIA - PARTE li ........................................................... 513 INDICE ANALÍTICO ....................................................................... 517 PARTE 1 ESCOAMENTO PERMANENTE EM CONDUTOS FORÇADOS "IS QUAE POTATUM COLE GENS PLENO ORE SENATUM, SECURI UT SITIS NAM FACITILLE SI TIS" Chafariz da Casa dos Contos - 1760 Ouro Preto - Minas Gerais 1 CONCEITOS BÁSICOS 1.1 TIPOS E REGIMES DOS ESCOAMENTOS De modo geral, os escoamentos de fluidos estão sujeitos a determina- das condições gerais, princípios e leis da Dinâmica e à teoria da turbulência. No caso dos líquidos, em particular da água, a metodologia de aborda- gem consiste em agrupar os escoamentos em determinados tipos, cada um dos quais com suas características comuns, e estudá-los por métodos próprios. Na classificação hidráulica, os escoamentos recebem diversas conceitua- ções em função de suas características, tais como: laminar, turbulento, unidi- mensional, bidimensional , rotacional , irrotacional, permanente, variável, uniforme, variado, livre, forçado, fluvial , torrencial etc. O escoamento é classificado como laminar quando as partículas mo- vem-se ao longo de trajetórias bem definidas, em lâminas ou camadas, cada uma delas preservando sua identidade no meio. Neste tipo de escoamento, é preponderante a ação da viscosidade do fluido no sentido de amortecer a ten- dência de surgimento da tmhnlên.cia. Em geral, este escoamento ocorre em b,aixas velocidades e ou em fluidos muito viscosos. Como na Hidráulica o líquido predominante é a água, cuja viscosidade é relativamente baixa, os escoamentos mais freqüentes são classificados como turbulentos. Neste caso, as partículas do líquido movem-se em _trajetórias ir- regulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quan- tidade de movimento entre regiões da massa líquida. Esta é a situação mais comum nos problemas práticos da Engenharia. O escoamento unidimensional é aquele em que as suas propriedades, como pressão, velocidade, massa específica etc., são funções exclusivas de somente uma coordenada espacial e do tempo, isto é, são representadas em termos de valores médios da seção. Quando se admite que as partículas escoem em planos paralelos segundo trajetórias idênticas, não havendo variação do escoamento na direção normal aos planos, o escoamento é dito bidimensional. " Se tratti di acqua anteponi l'esperienza alla teoria.'' [Leonardo da Vinci] 3 - Os programas computacionais para a- companhamento do texto, bem como a resolução de alguns exemplÕs, estão disponíveis em quatro diretórios: • Bombas; • RedeSi • Canais; • Variável; no seguinte endereço eletrônico: www.eesc.sc.usp.br/shs na ãrea Ensino de Graduação. D Hid,ã,Uca Básica Cap. 1 Se as partículas do líquido, numa certa região, possuírem rotação em re- lação a um eixo qualquer, o escoamento será rotacional ou vorticoso; caso contrário, será irrotacional. No caso em que as propriedades e características hidráulicas, em cad1!_ ponto do espaço, forem invariantes no tempo, o escoamento é classificado de permanente; caso contnfrio, é dito ser não permanente ou variável. Escoamento uniforme é aquele no qual o vetor velocidade. em módulo, direção e sentido, é idêntico em todos os pontos, em um instante qualquer, ou, matematicamente, avias= O, em que o tempo é mantido constante e os é um deslocamento em qualquer direção. No escoamento de um fluido real, é co- mum fazer uma extensão deste conceito, mesmo que, pelo princípio da ade- rência, o vetor velocidade seja nulo nos contornos sólidos em contato com o fluido. De forma mais prática, o escoamen10 é considerado uniforme quando todas as seções transversais do conduto forem iguais e a velocidade média em todas as seções, em um determinado instante, for a mesma. Se o vetor velo- cidade variar de ponto a J.2QillQ.,_11l!.!Jl instante qualquer, o escoamento é dito não uniforme ou variado. O escoamento é classificado em superfície livre, ou simplesmente livre, se, qualquer que seja a seção transversal, o líquido estiver sempre em conta- to com a atmosfera. Esta é a situação do escoamento em rios, córregos ou canais. Como características deste tipo de escoamento, pode-se dizer que ele se dá necessariamente pela ação da gravidade e que qualquer perturbação em trechos localizados pode dar lugar a modificações na seção transversal da cor- rente em outros trechos. O escoamento em pressão ou forçado ocorre no interior das tubulações, ocupando integralmente sua área geométrica, sem contato com o meio exter- no. A pressão exercida pelo líquido sobre a parede da tubulação é diferente da atmosférica e qualquer perturbação do regime, em uma seção, poderá dar lu- gar a alterações de velocidade e pressão nos diversos pontos do escoamento, mas sem modificações na seção transversal. Tal escoamento pode ocorrer pela ação da gravidade ou através de bombeamento. O escoamento turbulento livre costuma ser subdividido em regime flu- vial, quando a velocidade média, em uma seção, é menor que um certo valor crítico, e regime torrencial, quando a velocidade média, em uma seção, é maior que um certo valor crítico. 1.2 EQUAÇÃO DA ENERGIA Seja um volume elementar, representado por um paralelogramo de base dA e altura ds, de um líquido sujeito à ação de forças de campo (gravidade) e de contato (pressão e atrito), conforme Figura 1.1, em que se n são direções cap. 1 Conceitos Básicos D ---~ 5 +s ortogonais. Na ausência de efeitos termodinâmicos e não havendo adição ou extração de trabalho do exterior, pela presença de uma bomba ou turbina, é possível chegar à equação do movi- mento pela aplicação da equação funda- mental da Dinâmica à massa que no instante t ocupa uma certa posição no espaço. Raio de curvatura do ponto P (~+..!.... ih dn)dA* 2 éln (p+..!....hds)dA 2 i)s A equação fundamental da Dinâ- mica, aplicada a um elemento diferen- cial da massa de líquido, na forma, representa o equilíbrio dinâmico das for- ças, tanto na direção tangencial ao es- coamento (direção s), quanto na direçãonormal (direção n). O elemento de mas- sa dm = pdVol encerra o ponto P, no qual as propriedades e características do escoamento são definidas por: z, cota topográfica ou geométrica relativa a um plano horizontal de referência; p, massa específica; p, pressão; V, velocidade na direção s; e -e, tensão de cisalhamento devida aos efeitos de viscosidade. '----- (p - ..!.... élp dn)dA • 2 éln pgdVol Figura 1.1 Forças sobre o volume elementar. Resultante das forças na direção +s. a) Força de pressão: b) Força de superfície devido à resistência ao escoamento. Na hipótese de a variação de velocidade nas proximidades do ponto P só ocor_rer na direção n, isto é, não há efeito de binormalidade, a tensão trativa ou de cisalhamento será responsável por um esforço que se opõe ao movimento, na forma: D H;ara,uoa Bás;oa Cap. 1 em que dA * é a área da face do paralelogramo perpendicular à dire- ção n. c) Componente do peso na direção s: az -pgdVolcos0 = -pgdVol- as Para o sistema de coordenadas intrínseco, isto é, ao Ióngo da linha de corrente (coordenada s), o campo de velocidade é dado por V= V(s, t) e o campo de aceleração por: - DV av ds av a=-=--+ - Dt as dt at com o primeiro termo, do segundo membro, caracterizando a aceleração sofrida pelo líquido ao mudar de posição (aceleração de transporte) e o segundo, a aceleração local. Observando que ds·dA = dn·dA* = dVol e que dm = pdVol, a equação fundamental da Dinâmica na direção +s toma-se L i\= p dVol ã , logo: [ ap éh az] [ªv ds av] [ a v 2 av] --+--pg- dVol = pdVol --+- = pdVol - (- )+- as an as as dt at ds 2 at portanto: 1 ap 1 a-i: az a v 2 av ---+---g- = -(-)+- p as p an as as 2 at (1.1) No caso particular de um líquido ideal, em que não se manifestam os efeitos da viscosidade e conseqüentes esforços cisalhantes, a Equação 1.1 tor- na-se: a P v 2 av - ( - + gz + -) = - - as p 2 at (1 .2) Se, além da restrição acima, considera-se o movimento permanente, isto é, avtat = O e, portanto, a trajetória da partícula coincidente com a linha de cor- rente, a Equação 1.2 pode ser escrita como: d y2 _E_+ gdz +d(-) =0 p 2 ( 1.3) que é a equação de Euler1 em uma dimensão. A Equação 1 .3 integrada entre dois pontos ao longo da trajetória fica: 2 d y2 f _E_ + g z + - = cte. 1 p 2 (l .4) No caso em que as variações de pressão sofrida pelo fluido ao longo da trajetória forem relativamente pequenas, que não afetem o valor da massa es- pecífica, situação em que se considera o fluido incompressível, isto é, y = pg = cte., tem-se: V? H = E. + z + -- = cte . y 2g ( 1.5) A equação acima exprime o teorema de Bernoulli,2 para líquidos perfei- tos e regime permanente, na qual a carga total H, por unidade de peso do lí- quido, é constante ao longo de cada trajetória. Resultante das forças na direção +n a) Força de pressão 1 ap • 1 ap • ·ap • (p - --dn)dA - (p +--dn)dA = --dndA 2 an 2 an an b) Componente do peso na direção +n az - p gdVol cos a=-p g dVol- an A equação fundamental da Dinâmica, na forma, I, i\1 == dm ã 11, na qual ã" é a aceleração normal, dirigida para o centro de curvatura da linha de cor- rente, fica: dp • dZ v2 - - dndA - pgdVol- = - pdVol- an an r Cap. 1 CoooMos Bã,;,os D 1. Leonhard Euler, matemático suiço, 1707-1783. 2. Daniel Bernoulli, matemático h9lan- dês, 1700-1782. dp dZ v 2 -+pg-=p- dll éJn r (1.6) Esta equação permite determinar a distribuição de pressão na direção normal à linha de corrente, desde que se conheça a distribuição da velocida- de na mesma. Se a curvatura das linhas de corrente for desprezível, o efeito da aceleração normal pode ser negligenciado (r ➔ oo), a equação precedente, fica: a - ( p+pgz) =O an (1.7) portanto p + pg z = cte., ou seja, a distribuição de pressão é hidrostática na di- reção normal. Tal propriedade é particularmente importante nos escoamentos li vres. 1.2.1 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO SOBRE UMA LINHA DE CORRENTE Os termos da Equação 1.1 representam forças por unidade de massa, que divididos pela aceleração da gravidade tornam-se forças por unidade de peso. Reescrevendo a equação de forma mais conveniente pelo agrupamento das par- celas, esta toma a forma: a p v 2 a • 1 av --(-+ z +-) +-(-) = -- as y 2g an y g at ( 1.8) Multiplicando os tennos da equação anterior por ds, os produtos expri- mem os trabalhos mecânicos realizados pelas forças, por unidade peso, ao lon- go da linha de corrente, isto é, as energias equivalentes. Integrando entre dois pontos ao longo da linha de corrente, vem: 2 a P v 2 2 a • 1 2 av J -(-+z+-)ds - J-(- )ds=--J -ds 1 as y . 2g I an y g I at O termo 2 a -f-( .::_ )ds 1 an y ( 1.9) representa a energia gasta para vencer as forças de atrito no deslocamento entre os pontos I e 2, e está associada, portanto, a uma perda de energia ou perda de carga no escoamento de um fluido real e representada por tlH12. Assim, a integração da Equação 1.9 leva a: v 2 P v 2 t 2 av E!_+ z, + _, = _2 + Z2 + _2 + t.H,2 +-J-ds y 2g r 2g g, at ( 1.1 O) Como o termo cJV/ot representa a aceleração local, portanto independen- te da direção s, a integral entre os pontos 1 e 2 da linha de corrente pode ser efetuada, ficando: V 2 p V 2 L dV h+ z, + - ' = -2+z2 +-2 +LlR,2 +-- y 2g y 2g g dt em que L é o comprimento do arco entre os dois pontos 1 e 2. '\ "1L1 .2.2 LINHA DE ENERGIA E LINHA PIEZOMÉTRICA (1.11) Considere-se a Equação 1.1 1 no caso particular do escoamento penna- nente, no qual o último termo é nulo. (1.lla) Esta equação, pelo fato de cada parcela representar energia por unida- de de peso e ter como unidade o metro, admite uma interpretação geométri- ca de importância prática. Tais parcelas são denominadas como: • p/y (m) - energia ou carga de pressão; • z (m) - carga de posição (energia potencial de posição em relação a um plano horizontal de referência); • V2/2g (m) - energia ou carga cinética; • LlH (m) - perda de carga ou perda de energia. Conhecendo-se a trajetória de um filete de líquido, identificada pelas co- tas geométricas em relação a um plano horizontal de referência, pode-se repre- sentar os valores de p/y, obtendo-se o lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por p/y + z e designado como linha de carga efetiva ou linha piezo- métrica. Cada valor da soma p/y + zé chamado de cota piezométrica ou car- e,,_, G-O""'ª" ª"''" lJ Quais as hipóteses feitas na dedução da Equação 1.4? l:JL....-:H~i~d:_::rá:::u::,::lic::::a:..:B::á:::s::.:ic::a:........::.C.::.a!:.p.:....1:....... ________ _____ _________________ _ __ _ __ ·-··=-=:::::·- ·- ·- ·- ·- ___ 7 _ Linhadeenergia V2/2g ·- ----. Ml12 1 - . ..... Linha - .. ----------------- ' 2'· 1-piezométrica Pify ------- 2 /2g . ...._ .................... ...... P;/y - - /Trajetória Z2 Figura 1.2 Linha de energia e linha piezométrica em escoamento permanente. ga piezométrica. Se acima da linha piezométrica acrescentarem-se os valores da carga cinética V2/2g, obtém-se a linha de cargas totais ou linha de energia, que designa a energia mecânica total por unidade de peso de líquido, na forma H = p/y + z + V2/2g. No caso de fluidos reais em escoamento permanente, a carga total diminui ao longo da trajetória, no sentido do movimento, como conseqüência do trabalho realizado pelas forças resistentes, como indicado na Figura 1 .2. Algumas observações sobre estes conceitos básicos são ne- cessárias: a) Como, em geral, a escala de pressões adotada na prática é a escala efetiva, isto é, em relação à pressão atmosférica, a linha piezométrica pode coincidir com a trajetória, caso em que o escoamento é livre, ou mesmo passar abaixo desta, indicando pressões efetivas negativas. b) Todas as parcelas da Equação 1.11 devem ser representadas geome- tricamente como perpendiculares ao plano hotizontal de referência, independente da curvatura da trajetória. Na Figura 1.3, a colocação de um tubo piezométrico no ponto P, em uma seçãocom pressão po- sitiva, faz com que o líquido em seu interior atinja o ponto Sem con- tato com a atmosfera, equilibrando a pressão em P. A cota do ponto S, em relação ao plano de referência, é a cota piezométrica dada pela soma p/y + z, como na Figura 1.3. O raciocínio pode ser estendido acrescentando-se a carga cinética. e) Em cada seção da tubulação, a carga de pressão disponível é a dife- rença entre a cota piezométrica, p/y + z, e a cota geométrica ou topo- gráfica z. Esta diferença pode ser positiva, negativa ou nula. d) A linha de carga total, ou linha de energia, desce sempre no sentido do escoamento, a menos que haja introdução de energia externa, pela instalação de uma bomba. A linha piezométrica não necessariamente segue esta pro- priedade, como será visto adiante. ~---!./ Trajetória e) Quando se utiliza o conceito de perda de carga entre dois pontos da trajetória, trata-se de perda de energia total, ou seja, H = p/y + z + V2/2g, como na Figura 1.2, e não de per- da de carga piezométrica. Se, no entanto, no escoamento for- çado em regime permanente a seção geométrica da tubulação for constante e, conseqüentemente, a carga cinética também, as linhas de energia e piezométrica serão paralelas, portanto pode-se usar como referência a linha piezométrica. Figura 1.3 Tubo piezométrico. Esta observação é importante nos escoamentos em superficies livres, em que a linha de energia, geralmente, não é paralela à linha piezométrica, a não ser no caso de escoamento rigorosamente permanente e uniforme. Nesta situ- ação particular de escoamento permanente e unifonne em condutos livres, a linha de energia é paralela à linha piezométrica, que é a própria linha d'água, pois a pressão reinante é constante e igual à atmosférica, e é também parale- la à linha de fundo do canal: 1.2.3 EQUAÇÃO DA ENERGIA EM TUBOS DE FLUXO A Equação 1.11 foi desenvolvida ao longo de uma linha de corrente ide- al. Em muitas aplicações da Engenharia não interessa o conhecimento das ca- racterísticas do escoamento em determinados pontos ou mesmo em determinada trajetória, mas sim seus valores médios cm seções retas de tubos de fluxo. Para uma veia líquida os valores de pressão, massa específica ou carga de posição, em uma certa seção, não sofrem variações apreciáveis. Porém devido à presença de fronteiras sólidas, existe uma distribuição de velocidades por trajetórias, que pode se distanciar do valor médio V na seção. Desta forma a cada trajetória corresponde uma linha de energia, e inte- ressa, do ponto de vista prático, definir uma linha de energia correspondente ao escoamento na totalidade da seção, através do uso do valor médio da velo- cidade. Com relação ao perfil de velocidade, através de uma área A, apresen- tado na Figura 1.4, pode-se dizer que: A taxa de transferência da energia cinética (potência cinética) da mas- sa global, tendo velocidade média V, vale: 1 2 y 2 1 3 E 1 = -m V ➔ TEc1 = yQ- = - p A V (i) e 2 2g 2 (1.12) Para um elemento de área dA, em que a velocidade é v, a taxa de trans- ferência da energia cinética vale: 1 2 1 3 J 1 3 '') dE 2 = -dm V ➔ dTEc2 = - p V dA ➔TE02 = - p V dA (11 (1.13) e 2 2 A 2 A relação entre (ii) e (i) é chamada "fator de correção da energia cinética" ou coeficiente de Coriolis3 e é dada por: Em um detennlnado escoamento sob pressão, a cota piezométrica de uma seção a jusante pode ser maior que a de uma seção a montante? Figura 1.4 Distribuição de velocidade em uma seção. 3. Gustave-Gaspard Coriolis, engenheiro francês, 1792-1843 G Hid@,uca Bãsica Cap. 1 4. Joseph Boussinesq1 matemático francês, 1842-1929 J, v3 dA ➔ a= A ~l V 3 . A (1.14) A taxa de transferência (fluxo) da quantidade_ de movimento da massa global, tendo velocidade média V, vale: -> -> -> Q = m V ➔T Q = p V 2 A (iii) (1.15) Para um elemento de área dA, ·em que a velocidade é v, a taxa de trans- ferência da quantidade de movimento vale: (1.16) A relação entre (iv) e (iii) é chamada ''fator de correção da quantida- de de movimento" ou coeficiente de Boussinesq4, e é dada por: r p v 2 dA r v 2 dA . A JA ➔ A= JA > 1 1--' = p y2 A 1--' y2 A - (1.17) Assim, a equação geral da energia para uma veia líquida, representada pelas velocidades médias nas seções 1 e 2, torna-se: ( 1.18) Para um escoamento laminar em um duto circular, em que o perfil de velocidade é parabólico, o valor do coeficiente a é igual a 2,0 e do coeficiente S igual a 4/3 (Problema.l.la). Para o escoamento turbulento em uma seção cir- cular em que a distribuição de velocidade se aproxima do valor médio, os coeficientes de Coriolis e Boussinesq são, respectivamente, 1,06 e 1,02 (Problema.1.1 b ). Para as seções circulares, seja o escoamento laminar ou turbulento, mos- tt·a-se que a relação entre o coeficiente de Coriolis e de Boussinesq é dada por: a= 3 CS - 1) + 1 (1.19) __________________________________ c_a....:p_._1 __ c_o_n_ce_it_o_s _B_ás_i_co_s-----it] O coeficiente de Coriolis é particularmente mais importante nos es- coamentos livres, nos quais a distribuição de velocidade em uma seção é me- nos uniforme que no escoamento forçado com seção c ircular. 1.3 ANÁLISE DIMENSIONAL APLICADA AO ESCOAMENTO FORÇADO O teorema fundamental da Análise Dimensional, conhecido como teo- rema de Vaschy-Buckingham ou teorema dos Tis, é o instrumento básico de grande utilidade na Hidráulica experimental, e é enunciado da seguinte forma: "Todo fen ômeno físico representado por uma relação dimensional mente homogênea de n grandezas físicas, na forma: F(G 1, G2, .. ,Gk, ... Gn) = O, pode ser descrito por uma relação de n - r g rupos adimensionais independentes, <P(TI1, TI2, ... Iln-r) = O, em que r é o número de grandezas básicas ou funda- mentais necessárias para expressar dimensionalmente as variáveis G;." No caso particular da Hidráulica, o valor de ré, no máximo, 3, ou seja, existem no máximo 3 grandezas básicas necessárias para descrever dimen- sionalmente cada variável do fenômeno. Em geral, tais grandezas são: massa (força), comprimento e tempo. Escolhendo como variáveis básicas (sistema pró-básico) as grandezas Gk, Gi e Gm, cada grupo adimensional independente é da forma: Jl_ =A- G(J.1 G (J.2 G(J.3 G- 1 1 k I m 1 em que Ai é um número puro, Gi, uma grandeza do fenômeno diferente das variáveis básicas e a i, expoentes a determinar, pela imposição de homoge- neidade dimensional na relação anterior, uma vez que TI; é um número puro. Para melhor consistência física da metodologia, o sistema pró-básico deve ser constituído por uma grandeza cinemática (velocidade ou vazão), uma grande- za dinâmica (massa específica) e uma grandeza geométrica característica qualquer. No fenômeno físico do escoamento de um líquido real, com velocida- de média V, caracterizado pela sua viscosidade dinâmica µ e massa específi- ca p, através de uma tubu lação circular de diâmetro D, comprimento L e coeficiente de rugosidade da parede E, a queda de pressão 6p ao longo do comprimento L pode ser tratada pelo teorema dos Tis, na forma: 6p = F (p, V, D , µ, L, E) com n = 7 e r = 3, existem 4 grnpos adimensionais independentes que descre- vem o fenômeno na sua totalidade. Escolhendo para sistema pró-básico o temo p, V, D, a aplicação do princípio da homogeneidade dimensional leva aos se- guintes adimensionais: Considere o escoamento bidimensional mostrado abaixo. Mostre que os fatores de correção da energia cinética e da quantidade de movimento valem, respectivamente, a. = 2 e~= 4/3. [J Hid,áollca Bãs;ca Cap. 1 5. Osborne Reynolds, engenheiro irlan- dês, 1842-1912. O fator de correção da energia cinética tem a mesma unidade da carga cinética? 6. Henri-Phillbert-Gaspard Darcy, enge- nheiro francês, 1803-1858, e Ludwig- Julius Welsbach, engenheiro e pro- fessor alemão, 1806-1871. L1p nl = -- ➔ Número de Euler pV2 pVD TT 2 = --➔ Número de Reynolds5 µ ê TT3 = - ➔ Rugosidade relativa D n =~ 4 D Portanto, existe uma funçãoadimensional na forma: A experiência mostra que a queda de pressão é diretamente proporcio- nal à relação L/D, logo a expressão torna-se: A função entre parênteses pode ser levantada experimentalmente e re- presentada pelo fator de atrito da tubulação f a ser discutido no próximo ca- pítulo. Desta forma, a queda de pressão é dada por: L L1p = pf- y2 D e como L1p = y L1H e y = pg, vem: L y2 L1H = f-- D 2g (1.20) em que o fator 2 foi introduzido para reproduzir a definição de carga cinética da equação da energia. A Equação 1.20, a ser analisada no próximo capítulo, é a fórmula universal de perda de carga ou equação de Darcy-Weisbach, 6 de grande importância nos problemas de escoamentos. Deve-se observar que a aplicação do teorema dos TTs não fornece a expressão analítica da função adimensional <l>, o que poderá ser conseguido, em cada caso particular, por teo- ria ou experimentação. 1.4 VELOCIDADE DE ATRITO Considere-se o escoamento de um fluido real, incompres- sível, em regime permanente, através de uma tubulação circular de diâmetro constante e área A. As forças que atuam sobre fluido são: forças de pressão, gravidade e cisalhamento devido ao atrito com a parede da tubulação. O diagrama de forças, mostrado na Figura 1.5, permite concluir que na condição de equilíbrio dinâ- mico, na direção x, tem-se: (1.21) Cap. 1 CooreUos Sãs"°' [J z, z, em que 'to é a tensão média de cisalhamento (tensão trativa mé- dia ou tensão tangencial média) entre o fluido e o perímetro da seção em contato com o fluido, P, o perímetro da seção e W, o peso de fluido correspondente ao volume ocupado. Figura 1.5 Equilíbrio de forças no escoamento per- manente. Como z - z sen0 = 2 1 L e W = yAL, a Equação 1.21 fica: (1.22) que desenvolvida torna-se: ( h+z ) - c h+z ) = ~i_L y I y 2 yA (1.23) Observando, na equação anterior, que a diferença entre os dois primei- ros termos é a perda de carga L't.H entre as seções 1 e 2 (regime permanente e uniforme) e definindo como raio hidráulico, Rh, a relação entre a área A da seção ocupada pelo fluido e o perímetro P da seção, em contato com o fluido, parâmetro que reflete as dimensões e aspecto da seção reta do escoamento, vem: (1.24) [] HldcáoHca Básica Cap. 1 Definindo como perda de carga unitária, J(mlm) = Afl/L, a relação entre a perda de carga ~H entre as seções I e 2 e o comprimento do trecho L, a equa- ção precedente fica : (1.25) Esta expressão é válida tanto para condutos forçados quanto para con- dutos livres, no escoamento uniforme, e tem emprego em Transporte de Sedi- mentos e projetos de seções estáveis em canais. Em tubos de seção circular, a tensão tangencial distribui-se uniformemente no perímetro e coincide com o valor médio dado pela Equação 1.25. Em tubos de seção não circular e em canais, a tensão tangencial tem distribuição não uniforme e 'Co representa o seu valor médio no perímetro molhado. No caso particular do escoamento forçado em seção circular com diâ- metro D, no qual a área ocupada pelo escoamento é a própria área da seção, o raio hidráulico vale D/4. Deste modo, a Equação 1.24 leva a: ( 1.26) que comparada com a fórmula universal de perda de carga, Equação 1.20, vem: (1.27) A Equação 1.27 pode ser escrita na forma: (1.28) Como o fator de atrito fé adimensional, o termo .J-c 0 /p tem dimensão de velocidade sendo definido como velocidade de atrito ou velocidade de cisalhamento, u. = .J-c 0 /p, e encontra aplicações em áreas como turbulência, distribuição de velocidades em condutos forçados, estabilidade hidráulica de fundo de canais etc. Deve ser observado que a velocidade de atrito engloba somente a tensão de cisalhamento e a massa específica do fluido , e é definida sempre pela mesma equação, independente do regime do escoamento ser laminar ou turbulento e da parede da tubulação ser lisa ou rugosa. 1.5 POTÊNCIA HIDRÁULICA DE BOMBAS E TURBINAS Conforme foi dito nas observações sobre a Equação 1.11 a, a linha de energia sempre decai no sentido do escoamento, a menos que uma fonte ex- terna de energia seja introduzida. Turbinas e bombas são máquinas hidráuli- cas que têm a fun ção, respectivamente, de extrair ou fornecer energia ao escoamento. A aplicação do princípio da conservação da energia ao escoamento per- Cap. 1 Coocenos Bãskm G manente do sistema mostrado na Figura 1 .6, no qual a máquina instàlada en- q__ tre as seções e (entrada) e s (saída) pode ser uma bomba ou uma turbina, resulta em: Hc ± e máq = Hs (1.29) em que Hc e Hs são energ ias por unidade de peso do fluido em escoamento e emáq, a energia fornecida pela bomba (sinal +) ou consumida pela turbina (sinal - ), dividida pela unidade de peso do fluid o em escoamento. Pela definição de potência total (fornecida ou consumida) como sendo energia total por unidade de tempo, tem-se: Emaq emáq · peso Pot = -- = - --'--- - = yQe , L'lt L'lt maq (1.30) em que y Q é a vazão em peso através da máquina e Emaq, a energia total for- necida ou consumida. Assim, a expressão geral da potência hidráulica da má- quina é dada por: (1.31) As cargas ou energias nas seções de entrada e saída serão a soma das três parcelas de energia de que o fluido dispõe, isto é, H = p/y + z + aV2/2g. Como a transformação de energia no processo não se dá em condições ideais, sem perda de rendimento, a potência absorvida por uma turbina é in- ferior à potência que e la recebe do escoamento, ao passo que a potência cedida por uma bomba é superior à que o escoamento recebe. Definindo como altura total de elevação da bomba a diferença de car- gas do escoamento entre a saída e a entrada (H = Hs - Hc), como queda útil da turbina a diferença de cargas entre a entrada e a saída (Hu = He - Hs) e como ri o rendimento da transformação, nas condições do escoamento, têm-se: Figura 1.6 Máquina hidráulica em uma tubulação. tJ~H'...'.:i~d:_:::rá~u'.'..::lic~a....::B::::á:.::::si:.::::ca~..:C::::a:!:p.:.. . .:,_1 ____________ :...._ ___________________ _ Zm ? _·,::,1--- - ----~ mm ---, 1 1 : Hu 1 . J_• --- T Zm • para as bombas: Pot= yQ(Hs- H e) = yQH (1.32) TJ TJ • para as turbinas: Pot=Tj yQ(He -Hs) = riyQHu (1.33) No caso particular da água, cujo peso específico é y = 9,8· 103 N/m3, as expressões acima, para Q(m3/s) e H(m), tornam-se: 9,8-QH • para as bombas: Pot = - -- ( kW) (1.34) TJ • para as turbinas: Pot = 9,8 ·Tj QHu (kW) (1.35) A unidade de potência normalmente utilizada, principalmente quando se trata de bombas, é o cavalo-vapor, e a equivalência entre quilowatt e cavalo- vapor é a seguinte: 1 kW = 1,36 CV A aplicação da equação da energia aos problemas de escoamento em geral deve ser feita sempre tendo em mente o traçado da linha de energia ou, se for o caso, da linha piezométrica. Assim, é fundamental que se desenhe um esquema do desenvolvimento destas linhas entre seções de interesse, principal- mente quando no problema existe uma máquina hidráulica. Tal procedimento permite que não se aplique a equação da energia de forma abstrata, mas de modo consciente, pelo acompanhamento gráfico das alterações energéticas. 1 1 1 1 1 J 1 1 1 1 H ' 1 1 1 1 1 1 ;.--: 1 1 No caso da existência, no sistema hi- dráulico, que liga dois reservatórios de gran- des dimensões e abertos para a atmosfera, de uma bomba ou turbina, tais esquemas gráficos são mostrados na Figura 1.7. ~'-'--.-++-+---+-.; As relações entre as cotas dos níveis d'água nos reservatórios de montante e jusante (cotas piezométricas inicial e final), a perda de carga total do sistema f..H e as alturas características da bomba e da turbi- na, pelo traçado das linhas de energia, são: Figura 1.7 Instalação de turbina (T) e bomba (B) em uma tubulação. • para a bomba: H = Zj - Zm + D-Hm + D-Hj = Zj - Zm + D.H (1.36) na qual a diferença de cotas topográficas, Zi - Zm, entre os níveis d'água nos reservatórios é chamada de altura geométrica de elevação. •para a turbina : Hu = Zm - Zj - D-Hm - D-Hj = Zn - Zj - D-H ( 1.37) em que a diferença de cotas topográficas, Zm - Zj, entre os níveis d'água nos reservatórios é chamada de queda bruta. Em ambos os casos, D.Hm e D-Hj são as perdas de carga, respectivamente, nas tubulações a montante e a jusante da máquina. EXEMPLO 1.1 Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, água escoa em uma extensão de 300 m, ligando um ponto A na cota topográfica de 90,0 m, no qual a pres- são interna é de 275 kN/m2, a um ponto B na cota topográfica de 75,0 m, no qual a pressão interna é de 345 kN/m2 . Calcule a perda de carga entre A e B, o sentido do escoamento e a tensão de cisalhamento na parede do tubo. Se a va- zão for igual a 0,14 m3/s, calcule o fator de atrito da tubulação e a velocidade de atrito. Tendo a tubulação diâmetro constante, e sendo o escoamento permanen- te, a carga cinética em qualquer seção será a mesma. Deste modo, a linha de energia será paralela à linha piezométrica e a perda de carga pode ser calcula- da como a diferença entre as cotas piezométricas das seções A e B. O sentido do escoamento deverá ser condizente com os níveis de energia existentes nas se- ções A e B ou, no caso em questão, com as cotas piezométricas naquelas seções. A cota piezométrica em A vale (pA/y + ZA) e em B, (po/y + ZB), em que p/y é a carga de pressão disponível, em metros de coluna de água, em cada seção. Com os dados do problema, vem: 275-103 345-103 C.PA =( , +90)=118,06m e C.P8 =( 3 +75)=110,20m 9,8-10· 9,8-10· Portanto, a perda de carga entre A e B será D-H = 118,06 - 110,20 = 7,86 m. O sentido do escoamento será de A para B, pois C.PA > C.Po. Pela Equação 1.26: Cap. 1 Coooanoo BásicM [:] Cap. 1 7,86-9,8-10 3 ·0,30 = 19,26 N/m2 4-300 Da definição de velocidade de atrito: -fiº -✓19,26 -o 139 / u. - - J - , m s p 10· Para uma vazão Q = O, 14 m3/s, a velocidade média é V = 1,98 m/s. Da equação universal de perda de carga, Equação 1.20, pode-se deter- minar o fator de atrito f, como: ~H= f~~ ➔ f= 7,86 -0,30· 19,6 = 0039 D 2g 300-1,982 ' EXEMPLO 1.2 No estudo das bombas hidráulicas, consideram-se como principais gran- dezas físicas que intervêm no fenômeno as seguintes: a) massa específica do fluido: p; b) rotação do rotor da bomba: m; e) raio do rotor da bomba: R ; d) diferença de pressões nas seções de entrada e saída: ~p; e) vazão pela bomba: Q; f) potência necessária: Pot. Determine os grupos adimensionais independentes que descrevem o fe- nômeno físico. Pelo teorema dos Ils, como o número de grandezas físicas envolvidas no fenômeno é n = 6, para r = 3, existirão n - r = 3 grnpos adimensionais indepen- dentes que descreverão o fenômeno. Escolhendo como variáveis fundamentais (sistema pró-básico) o terno p, w, R, os três adimensionais são da forma: Cada uma das variáveis do fenômeno é expressa dimensionalmente, em termos das grandezas básicas, M, L e T, como na matriz dimensional abaixo: p (O R L'.p ·:,, . . Q Pot M 1 o o 1 o 1 L -3 o l -1 3 2 T o -1 o -2 -1 -3 Os expoentes CX; , ~; e y; podem ser determinados, impondo a homoge- neidade dimensional nas expressões dos grupos adimensionais, o que gera os três sistemas de equações: [M]º = [Mrl+I nl ➔ [L]º = [L]-3cxl+cx3-I ª2 =-2 [M]º= [Mt n2 ➔ [L]º = [L]-3P1+P3+3 ~3=-3 [M]º = [M}11+1 n) ➔ [L]º = [L]-3yl+y3+2 óp n i = _ _:___ pciR2 (coeficiente de pressão) (coeficiente de vazão) Pot nl = --- (coeficiente de potência) pwJRs Observe que o coeficiente de potência nada mais é que o produto dos outros dois adimensionais, indicando, portanto, que os coeficientes de vazão e pressão são os adimensionais independentes e mais importantes para o fenô- meno. Tais resultados serão usados no Capítulo 5, que trata da utilização de bombas hidráulicas. Cap. 1 Cooceiloo Bás;ros LJ EXEMPLO 1.3 Considere um sistema de bombeamento como o da Figura 1.7, no qual uma bomba, com rendimento de 75%, recalca uma vazão de 15 1/s de água, do reservatório de montante, com nível d'água na cota 150,00 m, para o reserva- tório de jusante, com nível d'água na cota 200,00 m. As perdas de carga totais na tubulação de montante (sucção) e de jusante (recalque) são, respectivamen- te, L1Hm = 0,56 me L1Hj = 17,92 m. Os diâmetros das tubulações de sucção e recalque são, respectivamente, O, 1_5 me O, 1 O m. O eixo da bomba está na cota geométrica 151,50 m. Determine: a) as cotas da linha de energia nas seções de entrada e saída da bomba; b) as cargas de pressão disponíveis no centro destas seções; e) a altura total de elevação e a potência fornecida pela bomba. a) Tomando como escala de pressões a pressão atmosférica (pressões re- lativas), as energias disponíveis no início e no fim da linha de ener- gia do sistema serão os níveis d'água nos reservatórios. Pela equação de Bernoulli aplicada à tubulação de sucção, calcula-se a cota da li- nha de energia na entrada da bomba, como: Zm = He + L1H111 ➔ He = 150,00 - 0,56 = 149,44 m Pela mesma equação aplicada à tubulação de recalque, determina-se a cota da linha de energia na saída da bomba, como: Hs = Zj + L1Hj ➔ Hs = 200,00 + 17,92 = 217,92 m b) Para uma vazão Q = 15 l/s, as velocidades médias nas tubulações de sucção e de recalque valem, respectivamente, Vc = 0,85 m/s e Vs = 1,91 m/s. As cargas cinéticas são, respectivamente, Ve2 /2g = 0,037 m e Vs 2 /2g = 0,186 m. Com as energias disponíveis na entrada e na saí- da da bomba, determinam-se as cargas de pressão disponíveis. He = pe/Y + zc + V; /2g ➔ 149,44 = Pe/y+l51,50 +0,037 :. Pe/y = -2,097m Hs =p5 /y + Zs + Vs 2 /2g ➔ 217,92 = p,/y+l51,50 +0,186 .'. p,/y = 66,23 m e) H = H, - He = 217,92 - 149,44 = 68,48 m; e a potência fornecida vale: Pot = 9 , 3 QH = 9,3·0,0l5 ·68,48 = 13 42 kW (18 25 cv) 11 0,75 ' ' 1.6 PROBLEMAS 1.1 Determinar a relação entre a velocidade média V e a máxima Vmáx e os coeficientes de correção a de Coriolis e~ de Boussinesq, em um conduto cir- cular em que se produz: a) escoamento laminar cuja distribuição de velocidades segue a lei parabólica: b) escoamento turbulento em tubos lisos, cuja distribuição de velocida- des segue a lei da potência 1/7 de Prandtl: Em ambos os casos Vmáx é a velocidade no eixo do tubo; R o raio do mesmo; y = R - r, a distância da parede ao ponto de velocidade v. a)[ V/vmnx =l/2; a= 2 ; ~ = 4/3] b)[ V/vmáx = 49/60 ; a= 1,06 ; ~ = 1,02] ✓ O diâmetro de uma tubulação que transporta água em regime permanen- te, varia gradualmente de 150 mm, no ponto A, 6 m acima de um referencial, para 75 mm, no ponto B, 3 m acima do referencial. A pressão no ponto A vale 103 kN/m2 e a velocidade média é 3,6 m/s. Desprezando as perdas de carga, determine a pressão no ponto B. [ po = 35,2 kN/m2 ] - / Um determinado líquido escoa, em regime permanente, através de urna tubulação horizontal de O, 15 rn de diâmetro e a tensão de cisalhamento sobre a parede é de 10 N/m2. Calcule a queda de pressão em 30 rn desta tubulação. [ Lip = 8,0 kN/m2 ] 1.4 Um tubo de 150 mm de diâmetro e 6 m de comprimento é conectado a um reservatório de grandes dimensões (nível d'água constante), inicialmente cheio até uma altura h = 3 me aberto para a atmosfera. Na extremidade de jusante existe urna válvula de abettura rápida, fechada. Desprezando todas as perdas de carga, detennine a vmiação temporal da velocidade na saída cio tubo, V2(t), quando a vá!- Cap. 1 CooceU"' Bás;ros G Figura 1.8 Problema 1 . 1 8 Hid,á,lica Básica -- ·-- '7 0 NA : --------. - h =J m Figura 1.9 Problema 1.4. li º, 1 Cap. 1 L = 6m w w vula for instantaneamente aberta e a água escoar para a atmosfera. Faça um gráfico de (V2x t) nos primeiros 5 segundos do escoamen- to. Despreze a velocidade da água no reservatório, exceto na região imediatamente a montante da entrada do tubo. Sugestão: aplique a Equação 1.11 entre os pontos 1 e 2 em que a pressão é atmosféri- ca, com t-.H,2 = O. [V2(t) = 7,67 tgh (0,639 t), em quetgh significa tangente hiperbólica] 1.5 A vazão Q de um líquido através de um pequeno orifício em uma tubulação depende do diâmetro do orifício d, do diâmetro da tubulação D , da diferença de pressão L'-.p entre os dois lados do orifício, da massa específica p e da viscosidade absoluta µ do líquido. Mostre, usando o teorema dos TTs, que a vazão pode ser expressa por: 1.6 Um vertedor triangular é uma abertura feita em uma placa de metal ou madeira, colocada verticalmente na seção reta de um canal aberto. A água do canal é forçada a escoar pela abertura do vertedor. A vazão medida pelo vertedor é função da elevação (carga) H da corrente a montante do vertedor, medida acima da soleira, da aceleração da gravidade g, do ângulo de abertu- ra do triângulo ex e da velocidade de aproximação da água para o vertedor Yo; esta última variável V0 , é algumas vezes desprezível. Determine, usando o teorema dos TTs, a equação da vazão Q em função das demais variáveis. /1/! Determine a tensão tangencial média sobre o fundo de uma galeria de (,águas pluviais de 1,0 m de diâmetro, escoando uma certa vazão em regime per- manente e uniforme, a meia seção, isto é, com altura d'água igual a 0,5 m, com declividade de fundo igual a lo= 0,001 mim. Observe que, pela definição de raio hidráulico, a linha d'água em contato com a atmosfera não faz parte dope- rímetro molhado e que, se o escoamento é permanente e uniforme, a perda de carga unitária J(m/m) é igual à declividade de fundo I0 (m/m). [ "º = 2,45 N/m2] 1.8 Em um ensaio em laboratório, uma tubulação de aço galvanizado com 50 mm de diâmetro possui duas tomadas de pressão situadas a 15 m de distân- cia uma da outra e tendo uma diferença de cotas geométricas de 1,0 m. Quando a água escoa no sentido ascendente, tendo uma velocidade média de 2, 1 m/s, um manômetro diferencial ligado às duas tornadas de pressão e contendo mercúrio acusa uma diferença manométrica de O, 15 m. Calcule o fator de atrito da tubulação e a velocidade de atrito. Dado: densidade do mercúrio dr= 13,6. [f = 0,028; u. = 0,124 m/s] 1.✓ Em um canal aberto de seção reta triangular, com inclinação dos lados l'.ii(uaI a 45°, escoa uma certa vazão em regime petmanente e uniforme. A altu- ra d'água é igual a 1,0 me a declividade de fundo, 10 = 0,002 m/m. Determi- ne a velocidade de atrito média na seção. Sugestão: relembre o conceito de raio hidráulico. [u. = 0,0833 m/s] ~ Quando água escoa em uma tubulação horizontal de 100 mm de diâ- metro, a tensão de cisalhamento sobre a parede é de 16 N/m2. Determine a per- da de carga unitária na tubulação e a velocidade de atrito. [J = 0,065 mim; u. = O, 126 m/s] p{ Bombeiam-se O, 15 m3/s de água através de uma tubulação de 0,25 m de diâmetro, de um reservatório aberto cujo nível d'água mantido constante está na cota 567,00 m. A tubulação passa por um ponto alto na cota 587,00 m. Calcule a potência necessária à bomba, com rendimento de 75%, para manter no ponto alto da tubulação uma pressão disponível de 147 kN/m2, sabendo que, entre o reservatório e o ponto alto, a perda de carga é igual a 7,5 m. [Pot = 84,23kW(114,5S cv)] M2 Entre os dois reservatórios mantidos em níveis constantes, encontra- se uma máquina hidráulica instalada em uma tubulação circular com área igual a 0,01 m2. Para uma vazão de 201/s entre os reservatórios, um manômetro co- locado na seção B indica uma pressão de 68,8 kN/m2 e a perda de carga entre as seções D e C é igual a 7,5 m. Detetmine o sentido do escoamento, a perda de carga entre as seções A e B, as cotas piezométricas em B e C, o tipo de máqui- na (bomba ou turbina) e a potência da máquina se o rendimento é de 80%. Cap. 1 Cooceims Bãs<OO [:] t]1..-,.:H~i~dr:..:::á~ul::::ic:::a.:B:.::á::::si::::ca=-...::C:.:a:r:p.:... . .:...1 --------------------------------- 100 m Figura 1.1 O Problema 1 .12. Hg Figura 1.11 Problema 1.13. OOm F igura 1.12 Problema 1. 14. [A➔D; LlHAn = 2,796 m; CPs = 7,0 rn; CPc = 9,29 rn; Bomba; Pot = 0,563 kW (0,766 cv)] ~ A vazão de água recalcada por urna bomba é de 4500 1/min. Seu conduto de sucção, horizontal, tem diâmetro de 0,30 m e possui um manômetro diferencial, como na Figura 1.11. Seu conduto de saída, horizontal, tem diâmetro de 0,20 me sobre seu eixo, situado 1,22 m acima do precedente, um manômetro indica uma pressão de 68,6 kPa. Supondo o rendimento da bomba igual a 80%, qual a potência necessária para realizar este trabalho. Dado: densidade do mercúrio dr= 13,6. [Pot = 10,26 kW (13,95 cv)] 1.14 A Figura 1 .12 mostra o sistema de bombeamento de água do reservatório R1 para o reservatório R2, através de uma tubulação de diâmetro igual a 0,40 m, pela qual es- coa uma vazão de 150 1/s com uma perda de carga unitá- ria J = 0,0055 mim. As distâncias R1B1 e B1R2 medem, respectivamente, 18,5 m e 1800 m. A bomba B I tem po- tência igual a 50 cv e rendimento de 80%. Com os dados da Figura 1.12, determine: a) a que distância de B1 deverá ser instalada Bipara que a carga de pressão na entrada de Biseja igual a 2 mH2O; b) a potência da bomba B2, se o rendimento é de 80%, e a carga de pressão logo após a bomba. Despreze, nos dois itens, a carga cinética na tubulação. a) [x = 527,3 m] b) [Pot = 22,06 kW (30 cv); pi/y = 14,0 mH2O] 2 ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES 2.1 TENSÃO TANGENCIAL O fator de atrito entre o líquido e a parede da tubulação, definido no capítulo anterior, reflete o processo irreversível de transformação de parte da energia do escoamento em calor. Este processo de conversão pode ocorrer através de três caminhos: 1. Desenvolvimento de tensões cisalhantes entre camadas adjacentes de líquido, em um escoamento caracterizado por valores pequenos cio número de Reynolds e defi nido corno escoamento laminw: 2. Geração de um processo vorticoso turbulento, no qual parte da ener- gia do escoamento é utilizada para c riação, desenvolvimento e colap- so dos vórtices, e conseqüente dissipação por atrito viscoso entre partículas adjacentes. Tal vorticiclade é resultado do contato entre regiões do escoamento com líquido em movimento rápido e regiões com líquido em movimento lento o u estagnado na camada limite laminar, ou mesmo em zonas ele separação do escoamento. Tal escoa- mento, em que a perda de carga ocorre dessa maneira, é classifica- do corno e.1·coan1en10 turbulento . 3. Urna combinação entre os processos laminar e turbulento, anteriormente definidos, ele dissipação de energia é chamada ele escow11e11to tmnsi- cional. Este tipo ele escoamento é instável, 1 imitado a urna faixa estreita · ele baixos números ele Reynolds, sem interesse prático, principalmente em se tratando da água cuja viscosidade é baixa, o que leva a maioria cios escoamentos nas tubulações comuns a serem turbulentos. No processo ele dissipação de energia, a distribuição de velocidade em cada seção ela tubulação é importante. Se, por hipótese, um escoamento se desse com urna d istribuição ele velocidade rigorosamente uniforme, não have- ria tensões tangenciais entre partículas adjacentes e, portanto, não haveria perda de energia. Entretanto, pelo princípio da aderência, as partículas imediatamente adjacentes às fronteiras sólidas estão imóveis, resultando em um diferencial de velocidade entre elas e as vizinhas, que se propaga para toda massa fluida em 27 Grandes turbilhões têm pequenos turbilhões Que se alimentam de sua velocidade, E pequenos turbilhões têm turbilhões ainda menores, E assim por diante, até a viscosidade. [Lewis P. Richardson] ' -===----------- - j:Ii\11 escoamento. Este diferencial de velocidade cria tensões tangenciais e dissipa energia por atrito de escorregamento ou geração de turbulência. Em um conduto retilíneo, em uma seção afastada de alguma singulari- dade, no qual o escoamento é dito desenvolvido, isto é, em que o perfil de velocidade é estável, há uma relação direta entre a variação da tensão tangencial e tal perfil, seja no escoamento laminar ou
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