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Calculo I- (Rolle, TVM, Crescimento de funções e valores extremos, Concavidade, Gráficos)

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Universidade Estadual do Rio de Janeiro
Faculdade de Formação de Professores
Departamento de Matemática
Cálculo I 2020.1 (Peŕıodo Acadêmico Emergencial) Profa Fernanda
Lista 9 (Rolle, TVM, Crescimento de funções e valores extremos, Concavidade, Gráficos)
1. A altura de uma bola, t segundos após o lançamento, é dada por f(t) = −16t2 + 48t+ 32.
(a) Verifique que f(1) = f(2).
(b) Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade v da bola em algum instante do intervalo [1, 2]?
Enuncie o Teorema de Rolle para f .
(c) Calcule a velocidade média da bola durante os dois primeiros segundos. Em que instante a velocidade ins-
tantânea é igual a velocidade média calculada? Qual teorema nos garante a existência deste instante?
2. Se a > 0 e n é um inteiro não negativo, prove que p(x) = x2n+1 + ax + b não pode ter duas ráızes reais
distintas.
3. Seja P uma função polinomial não constante. Se P tem três ráızes reais distintas em intervalo [a, b], prove
que P ′′(c) = 0 para algum c ∈ (a, b).
4. Estude o crescimento das funções e determine os pontos de máximo e ḿınimo locais de cada uma.
(a) f(x) = x3 − 2x2 + x+ 2
(b) f(x) =
x4
4
− 2x3 + 9x
2
2
(c) f(x) = x2 − x+ 5
(d) f(x) =
x2 − x+ 1
2(x− 1)
5. Determine os extremos absolutos das funções nos intervalos indicados.
(Sugestão: Confira a Observação 5.3 do livro)
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 2 em [0, 2]
(b) f(x) =
x5
5
− x
3
3
+ 2 em [−2, 2]
(c) f(x) = x3 − 3x2 + 1 em [−2, 3]
6. Estude f com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
(a) f(x) = e
−x2
2
(b) f(x) = x3 − 3x2 − 9x
(c) f(x) = x4 − 4x3
7. Esboce os gráficos, dando explicitamente as informações: doḿınio; existência de asśıntotas; estudo do
crescimento e da concavidade de f ; interseção com os eixos.
(a) f(x) =
x3 − 2
x
(b) f(x) =
3x2
(x− 2)2
Respostas:
1. (a) f(1) = f(2) = 64 ; (b) v = 0 ; (c) Vm = 16m/s; instante t = 1s; TVM
2. Suponha por absurdo a existência de ráızes x1 < x2 e aplique o Teorema de Rolle para p em [x1, x2]. Mostre
que existe contradição com p′(x).
3. Se x1 < x2 < x3 são as ráızes de P , aplique o Teorema de Rolle para P em [x1, x2] e [x2, x3]. Se c1 ∈ (x1, x2)
e c2 ∈ (x2, x3) são tais que P ′(c1) = P ′(c2) = 0, aplique o Teorema de Rolle para P ′ em [c1, c2].
4. (a) f crescente em (−∞, 1/3]∪ [1,∞) ; f decrescente em [1/3, 1]; Máximo local em x = 1/3 e ḿınimo local
em x = 1
(b) f crescente em [0,∞) ; f decrescente em (−∞, 0]; Mı́nimo local em x = 0
(c) f crescente em [1/2,∞) ; f decrescente em (−∞, 1/2]; Mı́nimo local em x = 1/2
(d) f crescente em (−∞, 0] ∪ [2,∞) ; f decrescente em [0, 1) ∪ (1, 2]; Máximo local em x = 0 e ḿınimo local
em x = 2
5. (a) Máximo absoluto em x = 2 e ḿınimo absoluto em x = 0
(b) Máximo absoluto em x = 2 e ḿınimo absoluto em x = −2
(c) Máximo absoluto em x = 0 e x = 3 e ḿınimo absoluto em x = −2
6. (a) Concavidade para cima em (−∞,−1) e (1,∞); Concavidade para baixo em (−1, 1); Pontos de inflexão:
−1 e 1
(b) Concavidade para cima em (1,∞); Concavidade para baixo em (−∞, 1); Ponto de inflexão: 1
(c) Concavidade para cima em (−∞, 0) e (2,∞); Concavidade para baixo em (0, 2); Pontos de inflexão: 0 e 2
7.
Figura 1: (a)
Figura 2: (b)