Aula-05

a mesma cor das contas 2 e 4, mas ela pode repetir a cor das 
contas 1 e 5. Portanto, há 7 possibilidades para pintar a conta número 3. 
O total de maneiras para pintar as contas do colar obedecendo as exigências é igual a 8 ∙ 7 ∙ 7 =
392. 
Gabarito: B 
 
58. (CESGRANRIO 2010/Petrobras) 
Quantos são os anagramas da palavra PETROBRAS que começam com as letras PE, nesta 
ordem? 
(A) 720 
(B) 2.520 
(C) 5.040 
(D) 362.880 
(E) 3.628.800 
Comentário 
Se os anagramas devem começar com as letras PE, nesta ordem, então devemos permutar 
apenas as letras T-R-O-B-R-A-S. 
São 7 letras com 2 R’s repetidos. O número de anagramas será igual a: 
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𝑃oN =
7!
2! =
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
2 ∙ 1 = 2.520 
Gabarito: B 
 
59. (CEPERJ 2009/SEPLAG-RJ) 
Em uma mesa redonda vão sentar-se seis pessoas, entre as quais há um casal. Sabendo que o 
casal sentará junto (um ao lado do outro), o número de maneiras diferentes que as pessoas 
podem ficar dispostas em volta da mesa é: 
a) 24 
b) 48 
c) 60 
d) 64 
e) 72 
Comentário 
Estamos permutando as pessoas em torno de uma mesa redonda. Utilizaremos a permutação 
circular. A primeira decisão é tomar a ordem em que o casal A e B se colocarão na mesa 
redonda. Há duas possibilidades: AB e BA. Agora tudo se passa como se A e B fossem uma única 
pessoa. Iremos permutar 6 – 1 = 5 “objetos” em torno de uma mesa redonda. Lembre-se da 
fórmula da permutação circular: 
(𝑃𝐶)K = (𝑛 − 1)! 
Portanto, podemos permutar os 5 objetos de (5 − 1)! = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 maneiras. Assim, o 
número de maneiras diferentes que as pessoas podem ficar dispostas em volta da mesa é 2 ∙
24 = 48. 
Gabarito: B 
 
 
 
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60. (CESGRANRIO 2010/EPE) 
Dos 24 municípios situados na área de estudo da Bacia do Araguaia, 2 localizam-se no Mato 
Grosso, 8, no Tocantins e os restantes, no Pará. Uma equipe técnica deverá escolher três 
munícipios no Pará para visitar no próximo mês. De quantos modos distintos essa escolha 
poderá ser feita, sem que seja considerada a ordem na qual os municípios serão visitados? 
(A) 56 
(B) 102 
(C) 364 
(D) 464 
(E) 728 
Comentário 
São 24 municípios no total. Como 2 localizam-se no Mato Grosso e 8 no Tocantins, então há 24 −
2 − 8 = 14 municípios no Pará. Queremos escolher 3 destes 14 municípios sem levar em 
consideração a ordem deles. 
A resposta desse problema é o número de combinações de 14 objetos tomados 3 a 3, 
representado por 𝐶MXJ . 
Esse cálculo é feito da seguinte maneira: teremos uma fração. Colocaremos o fatorial do menor 
dos números no denominador. No caso, o fatorial de 3 (no denominador. Ficamos assim por 
enquanto: 
𝐶MXJ = 3 ∙ 2 ∙ 1 
E o numerador? Devemos expandir o número 14 na mesma quantidade de fatores do 
denominador (3 fatores). 
𝐶MXJ =
14 ∙ 13 ∙ 12
3 ∙ 2 ∙ 1 = 364 
Gabarito: C 
 
 
 
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61. (CETRO 2006/Pref. da Estância Turística de Embu) 
Com seis tipos de doce e cinco tipos de fruta, quantos pratos podem ser formados, tendo, cada 
um, dois tipos de doce e dois tipos de fruta? 
(A) 300 
(B) 150 
(C) 75 
(D) 50 
(E) 25 
Comentário 
Obviamente, em um prato de doces e frutas a ordem dos objetos não é relevante. 
Assim, temos 6 tipos de doces disponíveis dos quais desejamos escolher apenas 2 e temos 5 
tipos de frutas das quais desejamos escolher 2. 
O total de possibilidades é 
𝐶BN ∙ 𝐶IN =
6 ∙ 5
2 ∙ 1 ∙
5 ∙ 4
2 ∙ 1 = 150	𝑝𝑟𝑎𝑡𝑜𝑠. 
Gabarito: B 
 
62. (CETRO 2006/EBDA) 
Um hospital tem três médicos e cinco enfermeiras. Quantas equipes de plantões com cinco 
profissionais podem ser formadas contendo no mínimo um médico? 
(A) 15 
(B) 20 
(C) 40 
(D) 45 
(E) 55 
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Comentário 
A equipe terá no mínimo um médico. Há três possibilidades: 
 
i) Um médico (dentre 3 disponíveis) e 4 enfermeiras (dentre 5 disponíveis). 
𝐶JM ∙ 𝐶IX =
3
1 ∙
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 15 
ii) Dois médicos (dentre 3 disponíveis) e 3 enfermeiras (dentre 5 disponíveis). 
𝐶JN ∙ 𝐶IJ =
3 ∙ 2
2 ∙ 1 ∙
5 ∙ 4 ∙ 3
3 ∙ 2 ∙ 1 = 30 
iii) Três médicos (dentre 3 disponíveis) e 2 enfermeiras (dentre 5 disponíveis). 
𝐶JJ ∙ 𝐶IN =
3 ∙ 2 ∙ 1
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙
5 ∙ 4
2 ∙ 1 = 10 
Total de possibilidades: 15 + 30 + 10 = 55. 
Gabarito: E 
 
63. (CESGRANRIO 2008/Transpetro) 
Para ganhar o prêmio máximo na “Sena”, o apostador precisa acertar as seis “dezenas” 
sorteadas de um total de 60 “dezenas” possíveis. Certo apostador fez sua aposta marcando dez 
“dezenas” distintas em um mesmo cartão. Quantas chances de ganhar o prêmio máximo tem 
esse apostador? 
(A) 60 
(B) 110 
(C) 150 
(D) 180 
(E) 210 
Comentário 
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O apostador marcou 10 dezenas e apenas 6 serão sorteadas. Ele está concorrendo a: 
𝐶MYB 	𝑗𝑜𝑔𝑜𝑠 
Como o número de “cima” é muito grande, podemos trocá-lo por 10 − 6 = 4. 
𝐶MYB = 𝐶MYX =
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 210	𝑗𝑜𝑔𝑜𝑠 
Gabarito: E 
 
64. (CESGRANRIO 2009/DETRAN-AC) 
De quantas maneiras um comitê de três membros pode ser formado, a partir de uma lista de 
nove advogados? 
(A) 27 
(B) 84 
(C) 504 
(D) 729 
(E) 362.880 
Comentário 
Há 9 advogados dos quais serão escolhidos 3. Basta calcular o número de combinações de 9 
objetos tomados 3 a 3. 
𝐶�J =
9 ∙ 8 ∙ 7
3 ∙ 2 ∙ 1 = 84	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Gabarito: 
65. (CESGRANRIO 2008/Petrobras) 
Um grupo é formado por 7 mulheres, dentre as quais está Maria, e 5 homens, dentre os quais 
está João. Deseja-se escolher 5 pessoas desse grupo, sendo 3 mulheres e 2 homens. De quantas 
maneiras essa escolha pode ser feita de modo que Maria seja escolhida e João, não? 
(A) 60 
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(B) 90 
(C) 126 
(D) 150 
(E) 210 
Comentário 
Maria será escolhida. Temos, portanto, que escolher ainda 2 mulheres dentre as 6 que restaram. 
Teremos também que escolher 2 homens dentre os 4 que restaram, já que João não poderá ser 
escolhido. 
𝐶BN ∙ 𝐶XN =
6 ∙ 5
2 ∙ 1 ∙
4 ∙ 3
2 ∙ 1 = 15 ∙ 6 = 90 
Gabarito: B 
 
66. (ESAF 2010/MTE-AFT) 
O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 
mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 
funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? 
a) 192. 
b) 36. 
c) 96. 
d) 48. 
e) 60. 
Comentário 
Vamos imaginar inicialmente que não há restrições no problema. Temos um total de 10 
funcionários para escolher 3 para uma equipe de vendas. Obviamente em uma equipe de vendas 
não há ordem entre os elementos. Por exemplo, a equipe formada por Vitor, Guilherme e Moraes 
é a mesma equipe formada por Moraes, Vitor e Guilherme. 
 
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Desta forma, o número total de equipes (sem restrições) é igual a: 
𝐶MYJ =
10 ∙ 9 ∙ 8
3 ∙ 2 ∙ 1 = 120	𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑒𝑠 
 
Vamos agora retirar as equipes que não nos interessa. O problema exige que cada equipe tenha 
pelo menos um homem e pelo menos uma mulher. Portanto, não nos interessa equipes formadas 
exclusivamente