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Considere as palavras com no mínimo 1 e no máximo 5 letras. Quantas palavras podem 
ser formadas no código Morse com esta restrição? 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
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Comentário 
Observe que as palavras podem ter 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 letras. Assim, vamos calcular: 
• a quantidade de palavras com 1 letra 
• a quantidade de palavras com 2 letras 
• a quantidade de palavras com 3 letras 
• a quantidade de palavras com 4 letras 
• a quantidade de palavras com 5 letras 
Em seguida, vamos somar todos os resultados. 
• quantidade de palavras com 1 letra 
Só temos uma etapa. Escolher uma letra. Há duas possibilidades, já que há apenas dois símbolos. 
Assim, existem 2 palavras com uma letra. 
• quantidade de palavras com 2 letras 
Temos aqui duas etapas, a saber: escolher a primeira letra e escolher a segunda letra. Há 2 
possibilidades para a primeira etapa e 2 possibilidades para a segunda etapa. O total de 
possibilidades é igual a 2 x 2 = 4. Assim, existem 4 palavras com duas letras. 
• quantidade de palavras com 3 letras 
Temos aqui três etapas, a saber: escolher a primeira letra, escolher a segunda letra e escolher a 
terceira letra. Há 2 possibilidades para a primeira etapa, 2 possibilidades para a segunda etapa e 
2 possibilidades para a terceira etapa. O total de possibilidades é igual a 2 x 2 x 2 = 8. Assim, 
existem 8 palavras com três letras. 
• quantidade de palavras com 4 letras 
Temos agora quatro etapas. Em cada etapa, há 2 possibilidades. Assim, o total de possibilidades 
é 2 x 2 x 2 x 2 = 16. Assim, existem 16 palavras com quatro letras. 
• quantidade de palavras com 5 letras 
Temos agora cinco etapas. Em cada etapa, há 2 possibilidades. Assim, o total de possibilidades é 
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32. Assim, existem 32 palavras com cinco letras. 
O total de palavras é 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62. 
 
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5. PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
Queremos responder perguntas do tipo “De quantas maneiras é possível ordenar 𝑛 objetos 
distintos?”. 
Imagine que temos 4 livros em uma prateleira. 
O problema pode ser separado em 4 etapas: escolher o primeiro objeto, escolher o segundo 
objeto, escolher o terceiro objeto e escolher o quarto objeto. 
Temos 4 objetos possíveis para o primeiro lugar, 3 objetos possíveis para o segundo lugar, 2 
objetos possíveis para o terceiro lugar e 1 objeto possível para o último lugar. 
O total de maneiras é igual a 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24. 
No caso geral, temos 𝑛 modos de escolher o objeto que ocupará o primeiro lugar, 𝑛 − 1 modos 
de escolher o objeto que ocupará o segundo lugar,..., 1 modo de escolher o objeto que ocupará 
o último lugar. Portanto, o número de modos de ordenar 𝑛 objetos distintos é: 
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ ⋯ ∙ 1 = 𝑛! 
Cada uma destas ordenações é chamada permutação simples de 𝑛 objetos e o número de 
permutações simples de 𝑛 objetos distintos é representado por 𝑃K. Desta maneira, 𝑃K = 𝑛!. 
 
Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra BOLA? 
Comentário 
Cada anagrama de BOLA é uma ordenação das letras B,O,L,A. Desta maneira, o número de 
anagramas de BOLA é 𝑃X = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24. 
 
 
 
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6. PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS 
 
Quantos anagramas possui a palavra ARARAQUARA? 
O problema surge porque há letras repetidas na palavra ARARAQUARA. 
Nesta palavra a letra A aparece 5 vezes e a letra R aparece 3 vezes. Aparentemente a quantidade 
de anagramas seria 10! (pois há 10 letras na palavra). 
Devemos fazer uma “correção” por conta das letras repetidas. Devemos dividir o resultado por 5! 
e por 3! que são as quantidades de letras repetidas. Assim, o número de anagramas da palavra 
ARARAQUARA é igual a 
 
𝑃MY
I,J =
10!
5! ∙ 3! =
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
5! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 
Observe que ao expandirmos o 10!, podemos “travá-lo” onde quisermos para efetuar os 
cancelamentos. Dessa forma, 
𝑃MY
I,J =
10!
5! ∙ 3! =
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6
3 ∙ 2 ∙ 1 = 5.040	𝑎𝑛𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
 
Imagine uma mesa com 4 lugares equiespaçados. De quantas maneiras 4 pessoas podem ser 
dispostas nesta mesa, se considerarmos equivalentes disposições que possam coincidir por 
rotação? 
 
A pergunta que propusemos considera as três disposições acima como equivalentes. Isso porque 
podemos obter a segunda e a terceira disposições por uma simples rotação da primeira 
disposição. 
Observe que o número 1 está sempre em frente ao número 3; o número 1 está sempre à direita 
do número 2; o número 1 está sempre à esquerda do número 4. 
A resposta desse problema é representada por (𝑃𝐶)K, o número de permutações circulares de 𝑛 
objetos distintos. 
Repare que nas permutações simples importam os lugares que os objetos ocupam ao passo que 
nas permutações circulares o que importa é apenas a posição relativa dos objetos entre si. 
Por exemplo, são distintas as seguintes disposições. 
 
Tome o número 1 como referência posicional. Na primeira disposição, o número 4 está à direita 
do número 1 e, na segunda disposição, o número 4 está à esquerda do número 1. 
1
2
3
4
3
4
1
2
2
3
4
1
1
2
3
4
1
4
3
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Assim, para calcular o número de permutações dos 4 objetos nesta mesa circular, devemos fixar 
um de seus elementos e permutar todos os outros. Assim, fixando o número 1, por exemplo, 
podemos permutar os outros objetos de 3! = 3 × 2 × 1 = 6 maneiras diferentes. 
Vamos representar as 6 possibilidades para que fique mais claro. 
• Escolhendo o número 2 para ficar em frente ao número 1, há duas possibilidades. 
 
 
 
• Escolhendo o número 3 para ficar em frente ao número 1, há duas possibilidades. 
 
 
• Escolhendo o número 4 para ficar em frente ao número 1, há duas possibilidades. 
 
 
 
1
4
2
3
1
3
2
4
1
4
3
2
1
2
3
4
1
3
4
2
1
2
4
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São 6 possibilidades ao todo, portanto. 
Assim, para calcular o número de permutações circulares, devemos fixar um dos objetos e 
permutar os outros. 
Se são n objetos, devemos fixar 1 e permutar os (n – 1) restantes. 
Em geral, podemos afirmar que o número de permutações circulares de 𝑛 objetos distintos é 
dado por (𝑛 − 1)!. 
(𝑃𝐶)K = (𝑛 − 1)! 
 
(CS UFG 2016/Prefeitura de Goiânia-GO) 
Um restaurante tem em seu cardápio oito pratos de diferentes tipos de massas, e esses pratos 
são dispostos, para os clientes se servirem, em uma mesa circular, conforme a figura a seguir. 
 
De quantas maneiras diferentes podem ser colocados esses oito pratos na mesa, tendo como 
base a forma indicada na figura? 
a) 2520 
b) 5040 
c) 20160 
d) 40320 
Comentário 
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Queremos dispor 8 pratos em torno de uma mesa circular. Queremos calcular a quantidade de 
maneiras diferentes que podemos arrumar os pratos na mesa. Para tanto, basta calcular o total 
de permutações circulares de 8 objetos. 
 
𝑃𝐶K = (𝑛 − 1)! 
 
𝑃𝐶A = (8 − 1)! = 7! 
 
𝑃𝐶A = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040

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