Aula-05

por homens assim como equipes formadas exclusivamente por mulheres. 
 
𝐸𝑞𝑢𝑖𝑝𝑒𝑠	𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠	𝑝𝑜𝑟	ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠:	𝐶XJ =
4 ∙ 3 ∙ 2
3 ∙ 2 ∙ 1 = 4	𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑒𝑠 
 
𝐸𝑞𝑢𝑖𝑝𝑒𝑠	𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠	𝑝𝑜𝑟	𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠: 𝐶BJ =
6 ∙ 5 ∙ 4
3 ∙ 2 ∙ 1 = 20	𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑒𝑠 
 
O número de equipes pedido é igual a 120 − 4 − 20 = 96. 
 
Poderíamos seguir a seguinte linha de raciocínio: 
 
Se o problema pede que cada equipe tenha pelo menos um homem e pelo menos uma mulher, 
então temos duas possibilidades: 
 
i) Equipes com 1 homem e 2 mulheres 
𝐶XM ∙ 𝐶BN =
4
1 ∙
6 ∙ 5
2 ∙ 1 = 60	𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑒𝑠 
ii) Equipes com 2 homens e 1 mulher 
𝐶XN ∙ 𝐶BM =
4 ∙ 3
2 ∙ 1 ∙
6
1 = 36	𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑒𝑠 
Guilherme Neves
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O total é igual a 60 + 36 = 96 equipes. 
Gabarito: C 
 
67. (ESAF 2008/STN) 
Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas 
numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao 
pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas 
possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é 
igual a: 
a) 681384 
b) 382426 
c) 43262 
d) 7488 
e) 2120 
Comentário 
O problema pede explicitamente que a terceira caixa seja a de número 20. Portanto, a ordem das 
caixas a serem retiradas é relevante. Temos apenas uma possibilidade para a terceira caixa 
porque ela deve ser a de número 20. Sobram 89 possibilidades para a primeira caixa, 88 
possibilidades para a segunda caixa e 87 possibilidades para a quarta caixa. O número de 
retiradas possíveis é igual a: 
89 ∙ 88 ∙ 1 ∙ 87 = 681.384 
Gabarito: A 
 
 
 
 
 
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68. (ESAF 2010/SMF-RJ) 
O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 
mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo 
em cada equipe pelo menos uma mulher? 
a) 15 
b) 45 
c) 31 
d) 18 
e) 25 
Comentário 
Podemos resolver a questão de duas maneiras. 
i) A equipe pode ter (uma mulher e um homem) ou (duas mulheres). 
Total de equipes com uma mulher e um homem: 
𝐶JM ∙ 𝐶IM = 3 × 5 = 15 
Total de equipes com duas mulheres: 
𝐶JN =
3 ∙ 2
2 ∙ 1 = 3 
O total de possibilidades é 15 + 3 = 18. 
 
ii) Vamos calcular o total de equipes. Há 8 pessoas das quais iremos selecionar 2. Entretanto, não 
queremos equipes formadas exclusivamente por homens. 
Total de equipes: 
𝐶AN =
8 ∙ 7
2 ∙ 1 = 28 
Equipes formadas por 2 homens: 
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𝐶IN =
5 ∙ 4
2 ∙ 1 = 10 
Vamos agora subtrair o total de equipes das equipes que não nos interessam. 
28 − 10 = 18 
Gabarito: D 
 
69. (ESAF 2010/SMF-RJ) 
O departamento técnico de uma construtora imobiliária tem 10 técnicos de nível superior sendo 
7 engenheiros e 3 arquitetos. Quantas equipes técnicas distintas podem ser formadas por 2 
desses técnicos com a participação de pelo menos um engenheiro em cada equipe? 
a) 14 
b) 35 
c) 21 
d) 28 
e) 42 
Comentário 
Podemos resolver a questão de duas maneiras. 
i) A equipe pode ter (um engenheiro e um arquiteto) ou (dois engenheiros). 
Total de equipes com um engenheiro e um arquiteto: 
𝐶oM ∙ 𝐶JM = 7 × 3 = 21 
Total de equipes com dois engenheiros: 
𝐶oN =
7 ∙ 6
2 ∙ 1 = 21 
O total de possibilidades é 21 + 21 = 42. 
 
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ii) Vamos calcular o total de equipes. Há 10 pessoas das quais iremos selecionar 2. Entretanto, 
não queremos equipes formadas exclusivamente por arquitetos. 
Total de equipes: 
𝐶MYN =
10 ∙ 9
2 ∙ 1 = 45 
Equipes formadas por 2 arquitetos: 
𝐶JN =
3 ∙ 2
2 ∙ 1 = 3 
Vamos agora subtrair o total de equipes das equipes que não nos interessam. 
45 − 3 = 42 
Gabarito: E 
 
70. (ESAF 2012/AFRFB) 
Na prateleira de uma estante, encontram-se 3 obras de 2 volumes e 2 obras de 2 volumes, 
dispondo-se, portanto, de um total de 10 volumes. Assim, o número de diferentes maneiras que 
os volumes podem ser organizados na prateleira, de modo que os volumes de uma mesma obra 
nunca fiquem separados, é igual a 
a) 3.260. 
b) 3.840. 
c) 2.896. 
d) 1.986. 
e) 1.842. 
Comentário 
A questão poderia simplesmente ter dito que são 5 obras de 2 volumes. Como os volumes de 
uma mesma obra ficarão juntos, os colocaremos dentro de caixas. 
𝐴M			𝐴N 			 𝐵M			𝐵N 				 𝐶M			𝐶N 				 𝐷M			𝐷N 					 𝐸M			𝐸N 
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A primeira etapa é permutar as caixas. 
Em seguida, vamos permutar os volumes dentro das caixas. Ficamos com: 
5! ∙ 2! ∙ 2! ∙ 2! ∙ 2! ∙ 2! = 120 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 3.840 
Gabarito: B 
 
71. (ESAF 2012/ATA-MF) 
O número de centenas ímpares e maiores do que trezentos, com algarismos distintos, formadas 
pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 6, é igual a 
a) 15. 
b) 9. 
c) 18. 
d) 6. 
e) 12. 
Comentário 
Se o número é maior que 300, então o algarismo da centena pode ser 3 ou 4 ou 6. 
Vamos separar, portanto, o problema em 3 casos e somar os resultados. 
Em cada caso, o algarismo das unidades tem que ser ímpar. Lembre-se ainda que os algarismos 
são distintos. 
i) Algarismo das centenas igual a 3: 3 ___ ___ 
Como o algarismo das unidades tem que ser ímpar e não pode ser 3 (os algarismos são todos 
distintos), então o algarismo das unidades só pode ser 1. O número é do tipo 3 __ 1. 
Assim, o algarismo das dezenas pode ser 2, 4 ou 6. Assim, há 3 possibilidades para o número 
com algarismo das centenas igual a 3, a saber: 321, 341 ou 361. 
 
ii) Algarismo das centenas igual a 4: 4 ___ ___ 
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O algarismo das unidades tem que ser ímpar. Assim, há 2 possibilidades para o algarismo das 
unidades: pode ser 1 ou 3. 
Sobram 3 possibilidades para o algarismo das dezenas, porque são 5 algarismos e já usamos 2. 
Pelo princípio fundamental da contagem, há 2 x 3 = 6 possibilidades. 
iii) ii) Algarismo das centenas igual a 6: 6 ___ ___ 
O algarismo das unidades tem que ser ímpar. Assim, há 2 possibilidades para o algarismo das 
unidades: pode ser 1 ou 3. 
Sobram 3 possibilidades para o algarismo das dezenas, porque são 5 algarismos e já usamos 2. 
Pelo princípio fundamental da contagem, há 2 x 3 = 6 possibilidades. 
O total de possibilidades é igual a 3 + 6 + 6 = 15. 
Gabarito: A 
 
72. (ESAF 2012/ATA-MF) 
Dos aprovados em um concurso público, os seis primeiros foram Ana, Bianca, Carlos, Danilo, 
Emerson e Fabiano. Esses seis aprovados serão alocados nas salas numeradas de 1 a 6, sendo 
um em cada sala e obedecendo a determinação de que na sala 1 será alocado um homem. 
Então, o número de possibilidades distintas de alocação desses seis aprovados é igual a 
a) 720. 
b) 480. 
c) 610. 
d) 360. 
e) 540. 
Comentário 
Será alocado um homem na sala 1. Portanto, há 4 possibilidades para fazer esta escolha. 
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Não há restrições na escolha das pessoas das outras 5 salas. Podemos simplesmente permutar as 
outras 5 pessoas entre si. 
Assim,