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não se conhecem se cumprimentam com um 
aperto de mão. Todas as pessoas presentes ao encontro se cumprimentam entre si. 
O número de apertos de mão dados é: 
a) 32; 
b) 36; 
c) 38; 
Guilherme Neves
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d) 42; 
e) 44. 
Comentário 
Precisamos escolher 2 pessoas que não se conhecem. Isso pode ser feito de duas formas: 
i) Escolher 2 pessoas entre as 4 que não conhecem nenhuma das outras pessoas. 
ii) Escolher 1 pessoa entre as 4 que não conhecem nenhuma das outras pessoas e 
escolher 1 pessoa do grupo de 8. 
 
Vamos agora calcular o número de possibilidades para cada uma dessas formas. 
 
i) Há 4 pessoas disponíveis e vamos escolher 2. Observe que quando A aperta a mão de B, B 
também aperta a mão de A. Portanto, a ordem não é relevante. Vamos utilizar combinação. 
𝐶XN =
4 ∙ 3
2 ∙ 1 = 6 
 
ii) Há 4 pessoas disponíveis no grupo das que não conhecem outras pessoas e vamos escolher 1 
delas. Há 8 pessoas disponíveis no outro grupo e também vamos escolher uma. O total de 
possibilidades é 
 
𝐶XM ∙ 𝐶AM = 4 ∙ 8 = 32 
O total de possibilidades é 6 + 32 = 38. 
 
Vamos resolver de outra forma. Queremos calcular o total de apertos de mão. Um aperto de mão 
é sempre composto por 2 pessoas. Assim, há 12 pessoas disponíveis e queremos escolher 2 
delas. 
𝐶MNN =
12 ∙ 11
2 ∙ 1 = 66 
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O problema é que contamos apertos de mãos demais. Há alguns que não nos interessa. Quais 
não estamos interessados? Não queremos apertos de mãos entre pessoas que se conhecem. 
Assim, vamos excluir os apertos de mãos entre os 8 conhecidos. 
𝐶AN =
8 ∙ 7
2 ∙ 1 = 28 
Portanto, os apertos de mão que queremos totalizam 66 – 28 = 38. 
Gabarito: C 
 
109. (FGV 2018/ALE-RO) 
O presidente e o vice-presidente de uma comissão serão escolhidos entre os 10 deputados do 
Partido X e os 6 deputados do Partido Y. Os Partidos acordaram que os dois cargos não 
poderão ser ocupados por deputados de um mesmo Partido. 
O número de maneiras diferentes de se escolher o presidente e o vice-presidente dessa 
comissão, é 
a) 16. 
b) 32. 
c) 60. 
d) 64. 
e) 120. 
Comentário 
Observe que existe uma ordem entre os deputados escolhidos: um será o presidente e o outro 
será o vice-presidente. Se não houvesse restrições, haveria 16 possibilidades para escolher o 
presidente e 15 possibilidades para escolher o vice-presidente. O total de possibilidades seria: 
16 × 15 = 240 
Entretanto, há uma restrição: não podemos escolher dois deputados do partido X nem podemos 
escolher dois deputados do partido Y. Vamos calcular essas possibilidades e excluí-las da 
contagem. 
i) Dois deputados do partido X. 
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Há 10 possibilidades para escolher o presidente e 9 possibilidades para escolher o vice-
presidente. Assim, o total de possibilidades para escolher dois deputados do partido X para 
presidente e vice-presidente é 
10 × 9 = 90 
 
ii) Dois deputados do partido Y. 
Há 6 possibilidades para escolher o presidente e 5 possibilidades para escolher o vice-
presidente. Assim, o total de possibilidades para escolher dois deputados do partido Y para 
presidente e vice-presidente é 
6 × 5 = 30 
Vamos então subtrair das 240 possibilidades as opções que não queremos. 
240 − 90 − 30 = 120 
Gabarito: E 
 
110. (FGV 2018/ALE-RO) 
Helena entra em uma sorveteria que oferece sorvetes de 8 sabores diferentes. Helena deseja 
escolher uma casquinha com duas bolas de sorvete não necessariamente de sabores diferentes. 
A ordem em que as bolas forem colocadas na casquinha não fará a escolha de Helena ser 
diferente. 
O número de maneiras de Helena escolher sua casquinha é 
a) 64. 
b) 56. 
c) 36. 
d) 28. 
e) 16. 
Comentário 
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Esse é um caso clássico de combinação completa (combinação com repetição). Há 8 sabores 
disponíveis e precisamos escolher 2. Esses sabores podem ser iguais ou diferentes. Portanto, o 
total de possibilidades é 
𝐶𝑅AN 
Como aplicamos essa fórmula? No denominador, colocamos o fatorial de 2, que é o número de 
objetos que precisamos escolher. 
𝐶𝑅AN = 2 ∙ 1 
 
Se fosse uma combinação simples, deveríamos expandir o número 8 em dois fatores no 
numerador: 8 × 7. Como a combinação é completa, devemos expandir o número 8 em dois 
fatores “para cima”. 
𝐶𝑅AN =
8 ∙ 9
2 ∙ 1 = 36 
 
Outra maneira é aplicar a relação que existe entre a combinação completa e a combinação 
simples. 
𝐶𝑅K
j = 𝐶KLjqM
j 
Portanto, 
𝐶𝑅AN = 𝐶ALNqMN = 𝐶�N =
9 ∙ 8
2 ∙ 1 = 36 
Gabarito: C 
 
 
 
 
111. (FGV 2017/SEPOG-RO) 
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Armando, Bárbara, Carlos e Deise foram ao cinema e vão ocupar quatro poltronas consecutivas 
em uma fila. 
Armando e Carlos não querem sentar um ao lado do outro. 
Nessas condições, o número de maneiras diferentes que eles podem ocupar as quatro poltronas 
é 
a) 24. 
b) 18. 
c) 15. 
d) 12. 
e) 8. 
Comentário 
Sem restrições, o total de maneiras para arrumar os 4 amigos nas 4 poltronas é: 
𝑃X = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 
Não queremos que Armando e Carlos fiquem juntos. Vamos, portanto, calcular o total de 
maneiras que eles podem estar sentados juntos e subtrair do total de possibilidades. 
𝐴𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜		𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠 	𝐵á𝑟𝑏𝑎𝑟𝑎		𝐷𝑒𝑖𝑠𝑒 
Como Armando e Carlos estão juntos, é como se eles fossem um só. Assim, temos 3 elementos 
para permutar: A caixa que contém Armando e Carlos, Bárbara e Denise. Além disso, podemos 
permutar Armando e Carlos entre si. O total de maneiras que Armando e Carlos podem sentar 
juntos é 
𝑃J ∙ 𝑃N = 3! ∙ 2! = 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 = 12 
 
Assim, o total de maneiras que os 4 podem ser arrumados de tal forma que Armando e Carlos 
NÃO fiquem juntos é 
24 − 12 = 12 
Gabarito: D 
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112. (FGV 2017/Prefeitura de Salvador) 
Três casais vão ocupar seis cadeiras consecutivas de uma fila do cinema, e os casais não querem 
sentar separados. 
Assinale a opção que indica o número de maneiras diferentes em que esses três casais podem 
ocupar as seis cadeiras. 
a) 6. 
b) 12. 
c) 24. 
d) 36. 
e) 48. 
Comentário 
Os casais devem sentar juntos. 
 
𝑨		𝑩 		 𝑪			𝑫 		 𝑬			𝑭 
 
Assim, temos 3 objetos para permutar, que são as 3 caixas acima. Cada caixa contém um casal. 
Além disso, podemos permutar as pessoas de cada casal entre si. O total de possibilidades é: 
𝑷𝟑 ∙ 𝑷𝟐 ∙ 𝑷𝟐 ∙ 𝑷𝟐 = 𝟑! ∙ 𝟐! ∙ 𝟐! ∙ 𝟐! = 
 
= 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 = 𝟒𝟖 
 
Gabarito: E 
 
 
 
 
 
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113. (FGV 2017/Prefeitura de Salvador) 
Cinco pessoas de diferentes alturas devem ocupar as cinco cadeiras abaixo para uma fotografia. 
 
O fotógrafo pediu que nem o mais baixo nem o mais alto ocupassem as cadeiras das 
extremidades. 
Respeitando essa condição, o número de maneiras como as pessoas podem se posicionar para a 
fotografia é 
a) 12. 
b) 18. 
c) 24. 
d) 36. 
e) 72. 
Comentário 
O mais alto e o mais baixo só podem ficar em alguma cadeira do meio. Assim, há 3 
possibilidades para escolher

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