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Aula-05

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Gabarito: B 
 
(IBFC 2015/SEE-MG) 
Um grupo de 5 pessoas do mesmo setor empresarial decidem almoçar fora do prédio comercial, 
ao chegar no restaurante sentam-se em volta de uma mesa circular. Assinale a alternativa que 
apresenta a quantidade de modos distintos que esse grupo pode se sentar à mesa. 
a) 15 modos 
b) 12 modos 
c) 24 modos 
d) 32 modos 
Comentário 
Vamos permutar 5 pessoas em torno de uma mesa circular 
𝑃𝐶K = (𝑛 − 1)! 
 
𝑃𝐶𝟓 = (𝟓 − 1)! = 𝟒! 
 
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𝑃𝐶𝟓 = 4 × 3 × 2 × 1 = 𝟐𝟒 
Gabarito: C 
 
 
CM CURITIBA (PR) | CÂMARA MUNICIPAL DE CURITIBA (PR) | 2020 | BANCA NC-UFPR | 
ANALISTA LEGISLATIVO (CM CURITIBA/PR) 
Patrícia tem disponíveis 6 cores distintas, que pretende usar para pintar um cubo, de modo que 
cada face tenha uma cor diferente. Cada possibilidade de pintura deve resultar em um cubo 
pintado, distinto dos demais possíveis. Do mesmo modo, se ela tivesse disponíveis 7 cores para 
pintar o cubo, quantas possibilidades a mais ela teria? 
A) 180. 
B) 150. 
C) 75. 
D) 42. 
E) 30. 
Comentário 
Comecemos com o caso em que há 6 cores. Vamos numerar as cores: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Vamos trabalhar com o cubo em cima de uma mesa. Vou pintar uma face do cubo com o número 
1 e colocar essa face encostada na mesa. 
Vou agora separar em dois casos: 
i) O número 2 está oposto à face de número 1. 
 
Nesse caso, precisamos permutar as 4 cores restantes em um círculo. Logo, há um total de 
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𝑷𝑪𝟒 = (𝟒 − 𝟏) = 𝟑! = 𝟔	𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 
 
ii) O número 2 não é oposto à face de número 1. Assim, giro o dado até que o número 2 esteja 
olhando para mim e deixo o dado fixo. 
 
Agora pinto as 4 faces restantes, o que pode ser feito de 4! = 24 maneiras. 
O total de possibilidades é 6 + 24 = 30. 
A dificuldade dessa questão é a mesma de quando vamos deduzir a fórmula da permutação 
circular: devemos escolher um elemento para servir de referência porque o que importa é a 
posição relativa entre os objetos. 
Assim, no caso da permutação circular, como estamos no plano, precisamos colocar apenas um 
elemento como referência. Daí permutamos os n – 1 elementos restantes e obtemos 𝑷𝑪𝒏 =
(𝒏 − 𝟏)!. 
 
No caso dessa questão, estamos trabalhando com um objeto de 3 dimensões. Assim, precisamos 
de duas referências. Por isso coloquei a cor 1 como referência encostada na mesa e, depois, fixei 
a posição da cor 2. 
 
Vamos agora ao caso em que há 7 cores disponíveis. O primeiro passo é escolher 6 das 7 cores 
que serão usadas para pintar o cubo. Isso pode ser feito de 𝑪𝟕𝟔 = 𝟕 maneiras. Para cada escolha 
dessas 6 cores, há 30 maneiras de pintar o cubo. 
Logo, o total de possibilidades é 7 x 30 = 210. 
 
O problema pede a diferença entre essas quantidades: 210 – 30 = 180 maneiras. O gabarito é a 
letra A. 
 
 
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Vamos resolver o caso de 6 cores com outro raciocínio parecido com o anterior. 
 
Coloco a face 1 encostada na mesa. Há 5 possibilidades para escolher a face oposta à face 1. 
 
Agora, dos 4 números restantes, pego um qualquer e pinto uma face lateral e coloco essa face 
fixa olhando para mim. Deixo fixa olhando para mim porque o que importa é a posição relativa 
entre as cores e não a posição absoluta. 
 
Agora, há 3! = 6 maneiras de pintar as faces restantes. Assim, o total de possibilidades é 5 x 6 = 
30. 
 
Gabarito: A 
8. COMBINAÇÃO SIMPLES 
 
Imagine que dispomos das seguintes frutas: maçãs, bananas, mamões e abacates. 
Desejamos fazer uma salada de fruta com 3 destas frutas. Picamos separadamente cada fruta e, 
em seguida misturamos tudo na seguinte ordem: maçã, banana, mamão no primeiro prato e 
banana, maçã e mamão no segundo prato. 
É óbvio que obteremos o mesmo resultado. Agrupamentos como este, que têm a característica 
de não mudar quando alteramos a ordem de seus elementos, são chamados de combinações. 
A pergunta aqui é a seguinte: Dispomos de um conjunto com 𝑛 elementos. Queremos formar um 
subconjunto deste conjunto com 𝑝 elementos. De quantos modos podemos escolher estes 𝑝 
elementos? 
Estamos utilizando a linguagem dos conjuntos porque não existe ordem entre os elementos de 
um conjunto. Por exemplo, os conjuntos {𝑎, 𝑏}	𝑒	{𝑏, 𝑎} são iguais. 
Vamos ilustrar: temos o conjunto {1,2,3,4,5} e queremos formar um subconjunto com 2 elementos 
deste conjunto. 
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Temos as seguintes possibilidades: 
{1,2},{1,3},{1,4},{1,5} → fixando o número 1 
{2,3},{2,4},{2,5} → fixando o número 2 
{3,4},{3,5} → fixando o número 3 
{4,5} → fixando o número 4 
Temos um total de 4+3+2+1=10 subconjuntos com 2 elementos. 
Repare que corremos o risco de esquecer algum subconjunto, sobretudo se houver um número 
grande de elementos. É para isto que serve a análise combinatória. Contar agrupamentos sem 
precisar descrevê-los. 
Pois bem, tendo um conjunto com 𝑛 elementos, o número de subconjuntos com 𝑝 elementos é 
igual ao número de combinações de 𝑛 elementos tomados 𝑝 a 𝑝 e é calculado da seguinte 
maneira: 
𝑛!
𝑝! (𝑛 − 𝑝)! 
Existem várias notações para o número de combinações. As mais comuns são as seguintes. 
𝐶K,j = 𝐶K
j = k
𝑛
𝑝l =
𝑛!
𝑝! (𝑛 − 𝑝)! 
 
No nosso caso, temos 5 elementos no conjunto (𝑛 = 5) e queremos escolher 2 destes 5 
elementos (𝑝 = 2). 
𝐶IN =
5!
2! ∙ (5 − 2)! =
5!
2! 3! =
5 ∙ 4 ∙ 3!
2 ∙ 1 ∙ 3! =
5 ∙ 4
2 ∙ 1 = 10 
Que é exatamente o número de subconjuntos que havíamos encontrado. 
A maneira mais fácil de utilizar esta fórmula é a seguinte: 
O número de combinações sempre será uma fração. 
𝐶IN = 
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No denominador, devemos colocar o fatorial expandido do menor número. 
𝐶IN = 2 ∙ 1 
 
Quantos fatores há no denominador? Dois. Pois bem, devemos expandir o outro número, no 
caso o número 5, em dois fatores. 
𝐶IN =
5 ∙ 4
2 ∙ 1 = 10 
Exemplo: São marcados 8 pontos distintos sobre uma circunferência. Quantos triângulos são 
determinados por estes pontos? 
 
 
 
Comentário 
 
Vejamos o desenho acima. O triângulo ABC é congruente ao triângulo ACB, que é congruente 
ao triângulo BAC e assim por diante. 
Portanto, a ordem dos vértices não é relevante na definição do triângulo. Assim, não podemos 
aplicar o Princípio Fundamental da Contagem. Se assim o fizéssemos, estaríamos contando os 
triângulos ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA como triângulos diferentes, o que não é verdade. 
 
Como a ordem dos objetos não é relevante na formação do agrupamento, a resposta desse 
problema é o número de combinações de 8 objetos tomados 3 a 3, representado por 𝐶AJ. 
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Esse cálculo é feito da seguinte maneira: teremos uma fração. Colocaremos o fatorial do menor 
dos números no denominador. No caso, o fatorial de 3 (no denominador. Ficamos assim por 
enquanto: 
𝐶AJ = 3 ∙ 2 ∙ 1 
E o numerador? Devemos expandir o número 8 na mesma quantidade de fatores do 
denominador (3 fatores). 
𝐶AJ =
8 ∙ 7 ∙ 6
3 ∙ 2 ∙ 1 = 56 
Assim, o total de triângulos determinados pelos 8 pontos é igual a 56. 
 
Exemplo: Um grupo é formado por 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneiras podemos 
formar uma comissão formada

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