A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
226 pág.
Aula-05

Pré-visualização | Página 5 de 37

por: 
a) 2 homens e 3 mulheres. 
b) 2 homens ou 3 mulheres. 
c) 2 pessoas do mesmo sexo. 
Comentário 
a) Como estamos usando o conectivo “e”, vamos utilizar o princípio multiplicativo. Há 5 homens 
dos quais escolheremos 2 e há 6 mulheres das quais escolheremos 3. 
𝐶IN ∙ 𝐶BJ =
5 ∙ 4
2 ∙ 1 ∙
6 ∙ 5 ∙ 4
3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 ∙ 20 = 200 
b) Como estamos usando o conectivo “ou”, vamos utilizar o princípio aditivo. Há 5 homens dos 
quais escolheremos 2. Há 6 mulheres das quais escolheremos 3. 
𝐶IN + 𝐶BN =
5 ∙ 4
2 ∙ 1 +
6 ∙ 5 ∙ 4
3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 + 20 = 30 
c) Escolher 2 pessoas do mesmo sexo é o mesmo que escolher 2 homens ou 2 mulheres. Assim, 
utilizaremos o princípio aditivo, pois estamos utilizando o conectivo “ou”. 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
25 
 
𝐶IN + 𝐶BN =
5 ∙ 4
2 ∙ 1 +
6 ∙ 5
2 ∙ 1 = 10 + 15 = 25 
 
8.1. Propriedades e Casos Particulares 
 
i) 𝑪𝒎𝒎 = 𝟏 
Isto é verdade porque 
𝐶nn =
𝑚!
𝑚! 0! = 1 
Assim, por exemplo, 
𝐶oo = 1 
 
ii) 𝑪𝒎𝟎 = 𝟏 
Isto é verdade porque 
𝐶nY =
𝑚!
0!𝑚! = 1 
Assim, por exemplo, 
𝐶IY = 1 
 
iii) 𝑪𝒎𝟏 = 𝒎 
Isto é verdade porque 
𝐶nM =
𝑚!
1! (𝑚 − 1)! =
𝑚 ∙ (𝑚 − 1)!
(𝑚 − 1)! = 𝑚 
Assim, por exemplo, 
𝐶BM = 6 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
26 
 
 
iv) 𝑪𝒎𝒎q𝟏 = 𝒎 
Isto é verdade porque 
𝐶nnqM =
𝑚!
(𝑚 − 1)! (𝑚 − (𝑚 − 1))! =
𝑚!
(𝑚 − 1)! 1! =
𝑚 ∙ (𝑚 − 1)!
(𝑚 − 1)! = 𝑚 
Assim, por exemplo, 
𝐶BI = 6 
𝐶oB = 7 
𝐶MIMX = 15 
 
v) 𝑪𝒎
𝒑 = 𝑪𝒎
𝒎q𝒑 
Esta propriedade é muito útil quando o valor de p é grande. Podemos substituí-lo por m – p. 
Esta propriedade é verdade porque 
𝐶n
j =
𝑚!
𝑝! (𝑚 − 𝑝)! 
𝐶n
nqj =
𝑚!
(𝑚 − 𝑝)! s𝑚 − (𝑚 − 𝑝)t!
=
𝑚!
(𝑚 − 𝑝)! 𝑝! 
Portanto, 𝐶n
j = 𝐶n
nqj. 
Imagine, por exemplo, que você precisa calcular 𝐶MYA . Podemos substituir 8 por 10 – 8 = 2. 
𝐶MYA = 𝐶MYN =
10 ∙ 9
2 ∙ 1 = 45 
Entender esta propriedade também é muito fácil. Imagine que você tem 10 amigos e escolherá 8 
para participar de um jantar. Ora, escolher os 8 que participarão do jantar é o mesmo que 
escolher os 2 que não participarão. Portanto, 
𝐶MYA = 𝐶MYN 
 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
27 
 
vi) 𝑪𝒏𝟎 + 𝑪𝒏𝟏 + 𝑪𝒏𝟐 + ⋯𝑪𝒏𝒏 = 𝟐𝒏 
Exemplo: 
𝐶XY + 𝐶XM + 𝐶XN + 𝐶XJ + 𝐶XX = 2X = 16 
 
Há um raciocínio bem rápido para entender esta propriedade. Imagine um conjunto com n 
elementos. Assim, por exemplo, 𝐶KJ é a quantidade de subconjuntos deste conjunto com 3 
elementos. Da mesma forma, 𝐶KI é a quantidade de subconjuntos com 5 elementos. 
 
Podemos então concluir que 𝐶KY + 𝐶KM + 𝐶KN + ⋯𝐶KK é o total de subconjuntos deste conjunto. 
Sabemos que o total de subconjuntos de um conjunto é 2K. Portanto, a propriedade acima é 
válida. A demonstração formal desta propriedade se dá com o desenvolvimento do binômio de 
Newton (1 + 1)K. 
 
 
9. COMBINAÇÃO COMPLETA 
 
Para introduzir este assunto, vou resolver uma questão antiga, mas bem interessante. 
(Petrobras 2008-2/CESGRANRIO) 
Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de refrigerante. Uma pessoa que deseje 
comprar 3 latas de refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada marca, pode 
escolhê-las de N formas. O valor de N é 
(A) 3 
(B) 10 
(C) 15 
(D) 35 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
28 
 
(E) 125 
Comentário 
Esta é uma questão “clássica” que aparece nos livros de análise combinatória. Por outro lado, se 
a pessoa nunca viu uma questão parecida como esta, é muito difícil ter este raciocínio SOZINHO 
na hora da prova. 
Imagine que temos um armário para armazenar os refrigerantes. 
 
Temos 5 marcas diferentes de refrigerante. Para separar as 5 marcas diferentes de refrigerante 
neste armário, precisamos de 4 divisórias. 
O número de divisórias é sempre 1 a menos que o total de marcas. 
Vamos considerar algumas marcas conhecidas de refrigerante. Coca-Cola, Guaraná Antarctica, 
Fanta, Tuchaua, Sprite. 
 
Temos agora 3 latinhas de refrigerante para distribuir nestas divisórias. 
Há várias disposições possíveis. Vejamos algumas: 
 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
29 
 
Nesta disposição acima, o cliente está levando uma Coca-Cola e 2 Tuchauas. 
 
Na disposição acima, o cliente está levando um Guaraná Antarctica, 1 Fanta e 1 Sprite. 
 
Na disposição acima, o cliente está levando 3 Tuchauas. 
Resumindo: estamos permutando 7 objetos, a saber: as 4 divisórias e as 3 latinhas. 
Vamos apagar agora os nomes das marcas. 
 
O número total de possibilidades que há para o cliente comprar 3 refrigerantes dentre 5 marcas 
disponíveis sem preferência em relação a alguma marca é igual ao número permutações de 7 
objetos dos quais 4 são iguais (as divisórias) e 3 são iguais (as bolinhas). 
𝑃o
X,J =
7!
4! ∙ 3! 
 
𝑃o
X,J =
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4!
4! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =
7 ∙ 6 ∙ 5
3 ∙ 2 ∙ 1 = 35 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
30 
 
Gabarito: D 
O problema acima é normalmente classificado como um problema de combinação completa. Os 
problemas de combinação completa no fundo podem ser resolvidos por permutação com 
repetição. Basta utilizar o raciocínio descrito acima. 
 
Observe que temos 5 qualidades para os objetos (5 marcas de refrigerante) e queremos escolher 
3 objetos (3 latas). 
Observe ainda que o total de divisórias é igual a 5 – 1 = 4 (com 4 divisórias temos 5 lugares no 
armário). 
De uma maneira geral, digamos que há n qualidades de objetos e queremos selecionar p 
objetos. 
Adotando o raciocínio acima, teremos (n – 1) prateleiras e p objetos. Assim, permutaremos (𝑝 +
𝑛 − 1) entes dos quais há repetição de (n – 1) prateleiras e p objetos. 
 
𝑃jLKqM
KqM	,j =
(𝑛 + 𝑝 − 1)!
𝑝! (𝑛 − 1)! 
A notação (símbolo) para a combinação completa é a que segue: 
𝐶𝑅K
j =
(𝑛 + 𝑝 − 1)!
𝑝! (𝑛 − 1)! 
Para não precisar memorizar a fórmula acima, existe uma relação entre a combinação completa e 
a combinação simples. 
𝐶𝑅K
j = 𝐶KLjqM
j 
 
Em outras palavras, você pode trocar a fórmula de uma combinação completa por uma 
combinação simples. Para tanto, basta substituir 𝑛 por 𝑛 + 𝑝 − 1. 
No nosso problema anterior, há 5 marcas de refrigerante. É o que temos disponível. Portanto, 
n = 5. Queremos escolher 3 latas de refrigerante. Portanto, p = 3. 
𝐶𝑅IJ 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
31 
 
Vamos trocar a combinação completa por uma combinação simples. Para tanto, vamos substituir 
𝑛 = 5 por 5 + 3 − 1 = 7. 
𝐶𝑅IJ = 𝐶oJ 
Agora é só calcular a combinação simples. Esse cálculo é feito da seguinte maneira: teremos uma 
fração. Colocaremos o fatorial do menor dos números no denominador. No caso, o fatorial de 3 
(no denominador. Ficamos assim por enquanto: 
𝐶𝑅IJ = 𝐶oJ = 3 ∙ 2 ∙ 1 
E o numerador? Devemos expandir o número 7 na mesma quantidade de fatores do 
denominador (3 fatores). 
𝐶𝑅IJ = 𝐶oJ =
7 ∙ 6 ∙ 5
3 ∙ 2 ∙ 1 = 35 
 
Se você não quiser transformar em uma combinação simples, há um modo prático de calcular 𝐶𝑅 
rapidamente. Comecemos novamente com uma fração. 
𝐶𝑅IJ = 
No denominador, sempre colocaremos o fatorial de p, ou seja, o fatorial do número que está em 
cima. 
𝐶𝑅IJ = 3 ∙ 2 ∙ 1 
Na combinação simples, nós expandiríamos

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.