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as letras S. Temos 
𝑛 − 𝑝 + 1 espaços vazios porque temos um no início à esquerda e 1 no final à direita. 
 
Assim, temos n – p + 1 espaços e devemos escolher p deles para distribuir as letras S, o que 
pode ser feito de 
𝐶KqjLM
j 	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
Esse raciocínio é exatamente o Primeiro Lema de Kaplansky, que pode assim ser enunciado: 
 
O número de subconjuntos de p elementos de {1, 2, 3, ..., n} nos quais não há elementos 
consecutivos é dado por: 
 
𝑓(𝑛, 𝑝) = 𝐶KqjLM
j 
Guilherme Neves
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Se você entendeu o raciocínio, não precisará decorar a fórmula acima. 
 
(FGV 2019/MPE-RJ – Oficial do Ministério Público) 
 
Valdo é estagiário em um escritório de advocacia e, na semana que vem, deverá escolher para 
trabalhar três dias de segunda a sábado. O escritório não permite que um estagiário trabalhe 
dois dias consecutivos. 
 
O número de possibilidades que Valdo tem para escolher seus dias de trabalho é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
Comentário 
Perceba que Valdo precisa escolher 3 dentre 6 dias disponíveis na semana que vem (apenas de 
segunda a sábado, excluindo o domingo). Assim, precisaremos de 3 letras S e 3 letras N. 
 
Como Valdo não pode escolher 2 dias consecutivos, então não poderemos ter duas letras S 
juntas. Dessa forma, vamos utilizar o primeiro lema de Kaplansky. 
 
O primeiro passo é fixar as letras N e colocar espaços vazios entre elas. 
 
					� 𝑁 					� 𝑁 					� 𝑁 					� 
As 3 letras S deverão ficar nos espaços vazios. Assim, temos 4 espaços vazios e precisamos 
escolher 3 deles para colocar as letras S. Isso pode ser feito de 
𝐶XJ =
4 ∙ 3 ∙ 2
3 ∙ 2 ∙ 1 = 4	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Gabarito: C 
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Vamos fazer mais um exemplo: 
Guilherme Neves dará aulas em três dias diferentes na primeira semana de outubro. De quantos 
modos Guilherme pode escolher os dias das aulas se ele não quer dar aulas em dias 
consecutivos? 
a) 10 
b) 20 
c) 35 
d) 42 
e) 210 
Comentário 
Perceba que, como estamos nos referindo à primeira semana de determinado mês, o primeiro e 
o último dia da semana não são consecutivos. 
São 7 dias na primeira semana de outubro. Guilherme dará aula em 3 dias. Logo, teremos 3 letras 
S e 4 letras N. 
Vamos colocar as 4 letras N e destacar os espaços vazios em que podemos distribuir as letras S. 
 
					� 𝑁 					� 𝑁 					� 𝑁 					� 𝑁 					� 
 
Temos 5 espaços vazios e devemos escolher 3 para colocar as letras S. Logo, o total de maneiras 
é: 
 
𝐶IJ =
5 ∙ 4 ∙ 3
3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 
Gabarito: A 
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O raciocínio adotado no Primeiro Lema de Kaplansky pode ser usado para resolver outras 
questões de Análise Combinatória. 
Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra GUILHERME que não possuem vogais juntas? 
Comentário 
A primeira observação é que o problema não quer vogais juntas (nem 2, nem 3, ...). Assim, não 
podemos simplesmente permutar todas as letras e subtrair as permutações em que as vogais 
estão juntas. 
Para ficar mais claro: nem o próprio nome GUILHERME é aceito pela condição dada no 
enunciado, pois temos as vogais UI juntas. 
A estratégia é parecida com a de Kaplansky. Vamos posicionar as consoantes. As vogais deverão 
ocupar os espaços vazios entre as consoantes. 
__	𝐺	__	𝐿__	𝐻	__	𝑅__	𝑀	__ 
Temos 3 etapas para resolver esse problema: permutar as consoantes entre si, escolher os 
lugares que as vogais vão ocupar, permutar as vogais entre si. 
 
• Podemos permutar as consoantes de 𝑃I maneiras. 
• Há 6 lugares vazios e devemos escolher 4 lugares para serem ocupados pelas 4 vogais. 
Isso pode ser feito de 𝐶BX maneiras. 
• Depois que tivermos escolhido os lugares que as vogais vão ocupar, devemos permutá-
las, o que pode ser feito de 𝑃XN maneiras (duas vogais são iguais). 
 
Assim, o total de permutações é: 
𝑃I ∙ 𝐶BX ∙ 𝑃XN = 
 
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Lembre-se que 𝐶BX = 𝐶BN. Logo, 
= 5! ∙
6 ∙ 5
2 ∙ 1 ∙
4!
2! 
 
= 21.600 
Gabarito: 21.600 anagramas 
 
(CESPE 2011/TRE-ES) 
De acordo com o primeiro lema de Kaplansky, a quantidade de subconjuntos de {𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏} 
com 𝒑 elementos, em que não há números consecutivos, é dada pela fórmula abaixo. 
(𝒏 − 𝒑 + 𝟏)!
𝒑! (𝒏 − 𝟐𝒑 + 𝟏)!
 
Uma das aplicações desse lema é a contagem do número de maneiras de se sentar 4 meninas e 
6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que 2 meninas não fiquem em posições 
adjacentes. A estratégia para se realizar essa contagem compreende quatro passos. Em primeiro 
lugar, deve-se contar o número de maneiras de se escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras 
consecutivas; esse procedimento deve ser feito utilizando-se o lema de Kaplansky. Em seguida, 
deve-se contar o número de maneiras de organizar as meninas nessas cadeiras. O próximo passo 
consiste em contar o número de maneiras de se distribuir os meninos nas cadeiras restantes. Por 
fim, deve-se usar o princípio multiplicativo. 
Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 
01. Diante dos dados acima, é correto afirmar que o número de maneiras de se sentar 4 meninas 
e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que não fiquem 2 meninas em posições 
adjacentes, é superior a 600.000. 
02. Em face dos dados apresentados, é correto afirmar que o número de maneiras de se escolher 
as 4 cadeiras entre as 10 disponíveis sem que haja cadeiras consecutivas é superior a 40. 
03. A partir dos dados acima, é correto concluir que o número de maneiras de se organizar as 4 
meninas nas 4 cadeiras escolhidas é igual a 16. 
Comentário 
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Vamos colocar os 6 homens em posições fixas e destacar os espaços vazios entre eles. 
__	𝐻M		__	𝐻N	__		𝐻J	__		𝐻X	__		𝐻I		__		𝐻B	__	 
Como as meninas não podem ficar juntas, então elas devem ocupar 4 dos 7 lugares vazios 
destacados. Isso pode ser feito de 𝐶oX maneiras. 
Esse resultado também seria obtido simplesmente substituindo 𝑛 = 10 e 𝑝 = 4 na fórmula dada 
no enunciado. Observe: 
𝐶oX =
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 35 
 
(𝑛 − 𝑝 + 1)!
𝑝! (𝑛 − 2𝑝 + 1)! =
(10 − 4 + 1)!
4! (10 − 2 ∙ 4 + 1)! =
7!
4! 3! =
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4!
4! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 35 
 
Assim, há 35 maneiras de escolher as posições ocupadas pelas meninas. Além disso, devemos 
permutar os 6 homens entre si e também as 4 mulheres entre si. Logo, o número de maneiras se 
sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que não fiquem 2 meninas 
em posições adjacentes, é 
35 × 𝑃B × 𝑃X = 35 × 6! × 4! = 604.800 
O item I está certo. 
O item II pergunta justamente de quantas maneiras podemos escolher as cadeiras em que as 
mulheres se sentarão. Vimos que esse resultado é igual a 35. Logo, o item II está errado. 
O item III pergunta de quantas maneiras podemos permutar as mulheres nas cadeiras escolhidas. 
Podemos fazer isso de 𝑃X = 4! = 24 maneiras. O item III está errado. 
Gabarito: Certo, errado, errado 
 
 
 
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(CESPE 2019/Prefeitura de São Cristóvão) 
Situação hipotética: As 5 lâmpadas tubulares de uma sala de aula foram instaladas formando 
uma única fileira. Por motivo de economia, 2 lâmpadas adjacentes nunca

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