AULA 4 - Juros Compostos

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Juros Compostos 
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao 
capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará 
a render juros no período seguinte, formando um novo montante (constituído do capital inicial, 
dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por 
diante. 
Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, onde 
unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em 
períodos anteriores. 
Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples, principalmente 
pela possibilidade de fracionamento dos prazos, conforme foi introduzido no capítulo anterior. 
No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando 
melhor a realidade das operações que o regime linear. 
3.1Fórmulas de juros compostos 
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros 
periodicamente. 
Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fórmulas de cálculo, admita uma 
aplicação de $ 1.000,00 à taxa de juros composta de 10% ao mês. Identificando-se por PV o valor 
presente (capital) e FV o valor futuro (montante),1 têm-se os seguintes resultados ao final de cada 
período: 
•Final do 1o mês: o capital de $ 1.000,00 produz juros de $ 100,00 (10% × $ 1.000,00) 
e um montante de $ 1.100,00 ($ 1.000,00 + $ 100,00), ou seja: 
FV = 1.000,00 × (1 + 0,10) = $ 1.100,00 
•Final do 2o mês: o montante do mês anterior ($ 1.100,00) é o capital deste 2o mês, 
servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Assim: 
FV = 1.000,00 × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) 
FV = 1.000,00 × (1 + 0,10)2 = $ 1.210,00 
O montante do 2o mês pode ser assim decomposto: 
$ 1.000,00 capital aplicado 
$ 100,00 juros referentes ao 1o mês (10% × $ 1.000,00) 
$ 100,00 juros referentes ao 2o mês (10% × $ 1.000,00) 
$ 10,00 juros sobre os juros produzidos no 1o mês (10% × $ 100,00) 
•Final do 3o mês: dando sequência ao raciocínio de juros compostos: 
FV = 1.000,00 × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) 
FV = 1.000,00 × (1 + 0,10)3 = $ 1.331,00 
https://jigsaw.vitalsource.com/books/9788597013122/epub/OEBPS/Text/chapter03.html#ch3fn1
•Final do enésimo mês: aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta para 
cada um dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do período atinge: 
FV = 1.000,00 × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) ... (1 + 0,10) 
FV = 1.000,00 × (1 + 0,10)n 
Generalizando-se: 
 
onde (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro), – FCC (i, n) a juros compostos, e 1/(1 
+ i)n o fator de atualização (ou de valor presente) – FAC (i, n) a juros compostos. 
A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se 
processa mediante a aplicação destes fatores, conforme pode ser visualizado na ilustração a 
seguir: 
Por outro lado, sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença entre o 
montante (FV) e o capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão: 
J = FV – PV 
Como: 
FV = PV (1 + i)n 
Colocando-se PV em evidência: 
J = PV × [(1 + i)n – 1] 
Exemplos: 
1.Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar 
hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? 
Solução: 
FV = $ 27.500,00 
n = 1 ano (12 meses) 
i = 1,7% a.m. 
PV = ? 
 
De fato, uma aplicação de $ 22.463,70 hoje, a 1,7% a.m. de juros compostos, produz ao final 
de um ano o montante de $ 27.500,00, ou seja: 
FV = 22.463,70 × (1,017)12 = $ 27.500,00 
Considerando-se ainda a taxa composta de 1,7% a.m., pelo conceito de valor presente (PV) 
é indiferente a essa pessoa receber $ 22.463,70 (valor presente) hoje ou esse valor 
capitalizado ao final de 12 meses. Efetivamente, esses valores, mesmo distribuídos em 
diferentes datas, são equivalentes para uma mesma taxa de juros de 1,7% a.m. 
 
2.Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 
meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? 
Solução: 
PV = $ 12.000,00 
n = 8 meses 
i = 3,5% a.m. 
FV = ? 
FV = PV (1 + i)n 
FV = 12.000,00 × (1 + 0,035)8 
FV = 12.000,00 × 1,316809 = $ 15.801,71 
 
3.Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $ 40.000,00 que produz 
um montante de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. 
Solução: 
PV = $ 40.000,00 
FV = $ 43.894,63 
n = 4 meses 
i = ? 
FV = PV (1 + i)n 
 
 
4.Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 
2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da 
operação. 
Solução: 
PV = $ 22.000,00 
FV = $ 26.596,40 
i = 2,4% a.m. 
n = ? 
FV = PV (1 + i)
n
 
 
1,208927 = (1,024)
n
 
Aplicando-se logaritmos , tem-se: 
log 1,208927 = n × log 1,024 
 
 
 
 
 
5.Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa 
composta de 4,5% ao mês. 
Solução: 
J = ? 
PV = $ 88.000,00 
n = 5 meses 
i = 4,5% a.m. 
J = PV [(1 + i)n – 1] 
J = 88.000,00 [(1,045)5 – 1] 
J = 88.000,00 (0,246182) = $ 21.664,02 
 
Exercícios resolvidos 
1.Calcular o montante de uma aplicação financeira de $ 80.000,00 
admitindo-se os seguintes prazos e taxas: 
a)i = 5,5% a.m.; n = 2 anos 
b)i = 9% ao bimestre; n = 1 ano e 8 meses 
c)i = 12% a.a. n = 108 meses 
Solução: 
a)i = 5,5% a.m. 
n = 24 meses 
FV = PV × (1 + i)n 
FV = 80.000,00 × (1 + 0,055)24 
FV = 80.000,00 × (1,055)24 
FV = 80.000,00 × 3,614590 
 = $ 289.167,20 
b)i = 9% ao bimestre 
n = 1 ano e 8 meses; 20 meses; 10 bimestres 
FV = 80.000,00 × (1 + 0,09)10 
FV = 80.000,00 × (1,09)10 
FV = 80.000,00 × 2,367364 
 = $ 189.389,10 
c)i = 12% a.a. 
n = 108 meses; 9 anos 
FV = 80.000,00 × (1 + 0,12)9 
FV = 80.000,00 × (1,12)9 
FV = 80.000,00 × 2,773079 
 = $ 221.846,30 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 f FIN f REG 0,00 Limpa registros 
a) 80.000 CHS PV – 80.000,00 Valor do capital 
 5,5 i 5,50 Taxa de juro mensal 
 24 n 24,0 Prazo em meses 
 FV 289.167,20 Valor do montante 
b) 9 i 9,0 Taxa de juro ao bimestre 
 10 n 10,0 Prazo em bimestres 
 FV 189.389,10 Valor do montante 
c) 12 i 12,0 Taxa de juro ao ano 
 9 n 9,0 Prazo em anos 
 FV 221.846,30 Valor do montante 
 
2.Uma pessoa irá necessitar de $ 12.000,00 daqui a 7 meses. Quanto 
deverá ela depositar hoje numa conta de poupança, para resgatar o valor 
desejado no prazo, admitindo uma taxa de juros de 3,5% ao mês? 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 f FIN f REG 0,00 Limpa registros 
 12.000 FV 12.000,00 Valor do montante 
 7 n 7,0 Prazo em meses 
 3,5 i 3,5 Taxa de juro ao semestre 
 PV –9.431,89 Valor do depósito hoje 
 
 
3.Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 6.600,00 que 
produz um montante de $ 7.385,81 ao final de 7 meses. 
 
Solução: 
i = ? 
PV = $ 6.600,00 
FV = $ 7.385,81 
n = 7 meses 
FV = PV (1 + i)n 
 
1,119 = (1 + i)7 
1,0162 = 1 + i 
i = 1,62% a.m. 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 f FIN f REG 0,00 Limpa registros 
 6.600 CHS PV – 6.600,00 Valor presente (aplicação) 
 7.385,81 FV 7.385,81 Valor do montante 
 7 n 7,0 Prazo em meses 
 i 1,62 Taxa mensal de juro 
 
4.Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos 
de 2,2% ao mês? 
Solução: 
PV = 1 
FV = 2 
Mantida a proporção, pode-se atribuir qualquer valor a PV e FV. 
i = 2,2% a.m. 
n = ? 
Utilizando-se a fórmula básica: 
FV = PV (1 + i)n 
 
2 = (1,022)n 
Aplicando-se logaritmo, conforme demonstrado no Apêndice B: 
log 2 = log (1,022)n 
log 2 = n . log1,022 
 = 31,85 meses (31 meses e 26 dias) 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 f FIN f REG 0,00 Limpa registros 
 1 CHS PV –1,0 Valor presente 
 2 FV 2,0 Valor futuro (montante) 
 2,2 i 2,2 Taxa de juro ao mês 
 n 32,0 Prazo que o capital dobra (valor aproximado) 
 
 
5.Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de resgate de $ 
4.000,00 e $ 9.000,00 vencíveis, respectivamente, em 5 e 7 meses. 
Desejando antecipar a liquidação de toda a dívida para o momento atual 
(data zero), pede-se determinar o valor a pagar considerando uma taxa de 
juros de 1,9% ao mês. 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 f FIN f REG 0,00 Limpa registros 
 0 g CFj 0,0 Pagamento no 1o mês 
 4 g Nj 4,0 Introduz 4 fluxos de caixa de mesmo valor (zero) 
 4.000 g CFj 4.000,0 Fluxo de caixa no 5o mês 
 0 g CFj 0,0 Fluxo de caixa no 6o mês 
 9.000 g CFj 9.000,0 Fluxo de caixa no 7o mês 
 1,9 i 1,9 Taxa de juro ao mês 
 PV 11.529,76 Valor a pagar no momento atual (valor presente) 
 
6.Uma aplicação de $ 78.000,00 gerou um montante de $ 110.211,96 numa 
certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros considerada, calcular o 
prazo da aplicação. 
Solução: 
PV = $ 78.000,00 
FV = $ 110.211,96 
i = 2,5% a.m. 
FV = PV × (1 + i)n 
 
1,412974 = (1,025)n 
Aplicando-se log: 
log 1,412974 = log (1,025)n 
log 1,412974 = n × log 1,025 
SOLUÇÃO NA HP 12C 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 f FIN f REG 0,00 Limpa registros 
 78.000 CHS PV –78.000,0 Valor presente (aplicação) 
 110.211,96 FV 110.211,96 Valor do montante 
 2,5 i 2,5 Taxa de juro ao mês 
 n 14,0 Prazo da aplicação (14 meses) 
 
 
Exercícios propostos 
1.A taxa de juros de um financiamento está fixada em 3,3% a.m. em determinado momento. 
Qual o percentual desta taxa acumulada para um ano? 
2.Capitalizar as seguintes taxas: 
a)2,3% ao mês para um ano; 
b)0,14% ao dia para 23 dias; 
c)7,45% ao trimestre para um ano; 
d)6,75% ao semestre para um ano; 
e)1,87% equivalente a 20 dias para um ano. 
3.Calcular a taxa equivalente composta a 34% ao ano para os seguintes prazos: 
a)1 mês; 
b)1 quadrimestre; 
c)1 semestre; 
d)5 meses; 
e)10 meses. 
4.Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de juro 
que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de capitalização for igual a: 
a)1 mês; 
b)1 trimestre; 
c)7 meses. 
5.Admita-se que um banco esteja pagando 16,5% ao ano de juros na colocação de um título 
de sua emissão. Apurar a taxa efetiva (equivalente) para os seguintes prazos: 
a)1 mês; 
b)9 meses; 
c)37 dias; 
d)100 dias. 
6.Calcular a taxa equivalente mensal das seguintes taxas: 
a)2,9% para 26 dias; 
b)3,55% para 34 dias. 
 
 
 
 
 
10.Determinar o montante de uma aplicação de $ 22.000,00 admitindo os seguintes prazos 
e taxas: 
a)i = 2,2% a.m.; n = 7 meses 
b)i = 5% a.m.; n = 2 anos 
c)i = 12% a.t.; n = 1 ano e meio 
d)i = 20% a.s.; n = 4 anos 
e)i = 0,15% ao dia; n = 47 dias 
f)i = 9% a.a. n = 216 meses 
11.Calcular o juro de uma aplicação de $ 300.000,00 nas seguintes condições de prazo e 
taxa: 
a)i = 2,5% a.m.; n = 1 semestre 
b)i = 3,3% a.m.; n = 1 ano e 3 meses 
c)i = 6% a.s.; n = 72 meses 
d)i = 10% a.a.; n = 120 meses 
e)i = 25% a.q. n = 4 anos 
12.Um banco lança um título pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de $ 58.000,00 daqui 
a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título? 
 
13.Sendo a taxa corrente de juros de 10% a.q. (ao quadrimestre), quanto deve ser aplicado 
hoje para se resgatar $ 38.500,00 daqui a 28 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1.47,64% a.a. 
2. a)31,37% a.a. 
b)3,27% p/ 23 dias 
c)33,30% a.a. 
d)13,96% a.a. 
e)39,58% a.a. 
3. a)2,47% a.m. 
b)10,25% a.q. 
c)15,76% a.s. 
d)12,97% p/ 5 meses 
e)27,62% p/ 10 meses 
4. a)1,39% a.m. 
b)4,22% a.t. 
c)10,14% p/ 7 meses 
5. a)1,28% a.m. 
b)12,14% p/ 9 meses 
c)1,58% p/ 37 dias 
d)4,33% p/ 100 dias 
6. a)3,35% a.m. 
b)3,13% a.m. 
10. a)FV = $ 25.619,99 
b)FV = $ 70.952,20 
c)FV = $ 43.424,10 
d)FV = $ 94.595,97 
e)FV = $ 23.605,73 
f)FV = $ 103.776,65 
11. a)J = $ 47.908,03 
b)J = $ 188.231,82 
c)J = $ 303.658,94 
d)J = $ 478.122,74 
e)J = $ 4.065.574,57 
12.PV = $ 28.824,22 
13.PV = $ 19.756,59