Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Juros Compostos O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte, formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante. Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores. Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples, principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos, conforme foi introduzido no capítulo anterior. No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando melhor a realidade das operações que o regime linear. 3.1Fórmulas de juros compostos No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente. Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fórmulas de cálculo, admita uma aplicação de $ 1.000,00 à taxa de juros composta de 10% ao mês. Identificando-se por PV o valor presente (capital) e FV o valor futuro (montante),1 têm-se os seguintes resultados ao final de cada período: •Final do 1o mês: o capital de $ 1.000,00 produz juros de $ 100,00 (10% × $ 1.000,00) e um montante de $ 1.100,00 ($ 1.000,00 + $ 100,00), ou seja: FV = 1.000,00 × (1 + 0,10) = $ 1.100,00 •Final do 2o mês: o montante do mês anterior ($ 1.100,00) é o capital deste 2o mês, servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Assim: FV = 1.000,00 × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) FV = 1.000,00 × (1 + 0,10)2 = $ 1.210,00 O montante do 2o mês pode ser assim decomposto: $ 1.000,00 capital aplicado $ 100,00 juros referentes ao 1o mês (10% × $ 1.000,00) $ 100,00 juros referentes ao 2o mês (10% × $ 1.000,00) $ 10,00 juros sobre os juros produzidos no 1o mês (10% × $ 100,00) •Final do 3o mês: dando sequência ao raciocínio de juros compostos: FV = 1.000,00 × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) FV = 1.000,00 × (1 + 0,10)3 = $ 1.331,00 https://jigsaw.vitalsource.com/books/9788597013122/epub/OEBPS/Text/chapter03.html#ch3fn1 •Final do enésimo mês: aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta para cada um dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do período atinge: FV = 1.000,00 × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) × (1 + 0,10) ... (1 + 0,10) FV = 1.000,00 × (1 + 0,10)n Generalizando-se: onde (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro), – FCC (i, n) a juros compostos, e 1/(1 + i)n o fator de atualização (ou de valor presente) – FAC (i, n) a juros compostos. A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa mediante a aplicação destes fatores, conforme pode ser visualizado na ilustração a seguir: Por outro lado, sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença entre o montante (FV) e o capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão: J = FV – PV Como: FV = PV (1 + i)n Colocando-se PV em evidência: J = PV × [(1 + i)n – 1] Exemplos: 1.Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? Solução: FV = $ 27.500,00 n = 1 ano (12 meses) i = 1,7% a.m. PV = ? De fato, uma aplicação de $ 22.463,70 hoje, a 1,7% a.m. de juros compostos, produz ao final de um ano o montante de $ 27.500,00, ou seja: FV = 22.463,70 × (1,017)12 = $ 27.500,00 Considerando-se ainda a taxa composta de 1,7% a.m., pelo conceito de valor presente (PV) é indiferente a essa pessoa receber $ 22.463,70 (valor presente) hoje ou esse valor capitalizado ao final de 12 meses. Efetivamente, esses valores, mesmo distribuídos em diferentes datas, são equivalentes para uma mesma taxa de juros de 1,7% a.m. 2.Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? Solução: PV = $ 12.000,00 n = 8 meses i = 3,5% a.m. FV = ? FV = PV (1 + i)n FV = 12.000,00 × (1 + 0,035)8 FV = 12.000,00 × 1,316809 = $ 15.801,71 3.Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. Solução: PV = $ 40.000,00 FV = $ 43.894,63 n = 4 meses i = ? FV = PV (1 + i)n 4.Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. Solução: PV = $ 22.000,00 FV = $ 26.596,40 i = 2,4% a.m. n = ? FV = PV (1 + i) n 1,208927 = (1,024) n Aplicando-se logaritmos , tem-se: log 1,208927 = n × log 1,024 5.Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. Solução: J = ? PV = $ 88.000,00 n = 5 meses i = 4,5% a.m. J = PV [(1 + i)n – 1] J = 88.000,00 [(1,045)5 – 1] J = 88.000,00 (0,246182) = $ 21.664,02 Exercícios resolvidos 1.Calcular o montante de uma aplicação financeira de $ 80.000,00 admitindo-se os seguintes prazos e taxas: a)i = 5,5% a.m.; n = 2 anos b)i = 9% ao bimestre; n = 1 ano e 8 meses c)i = 12% a.a. n = 108 meses Solução: a)i = 5,5% a.m. n = 24 meses FV = PV × (1 + i)n FV = 80.000,00 × (1 + 0,055)24 FV = 80.000,00 × (1,055)24 FV = 80.000,00 × 3,614590 = $ 289.167,20 b)i = 9% ao bimestre n = 1 ano e 8 meses; 20 meses; 10 bimestres FV = 80.000,00 × (1 + 0,09)10 FV = 80.000,00 × (1,09)10 FV = 80.000,00 × 2,367364 = $ 189.389,10 c)i = 12% a.a. n = 108 meses; 9 anos FV = 80.000,00 × (1 + 0,12)9 FV = 80.000,00 × (1,12)9 FV = 80.000,00 × 2,773079 = $ 221.846,30 SOLUÇÃO NA HP 12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO f FIN f REG 0,00 Limpa registros a) 80.000 CHS PV – 80.000,00 Valor do capital 5,5 i 5,50 Taxa de juro mensal 24 n 24,0 Prazo em meses FV 289.167,20 Valor do montante b) 9 i 9,0 Taxa de juro ao bimestre 10 n 10,0 Prazo em bimestres FV 189.389,10 Valor do montante c) 12 i 12,0 Taxa de juro ao ano 9 n 9,0 Prazo em anos FV 221.846,30 Valor do montante 2.Uma pessoa irá necessitar de $ 12.000,00 daqui a 7 meses. Quanto deverá ela depositar hoje numa conta de poupança, para resgatar o valor desejado no prazo, admitindo uma taxa de juros de 3,5% ao mês? SOLUÇÃO NA HP 12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO f FIN f REG 0,00 Limpa registros 12.000 FV 12.000,00 Valor do montante 7 n 7,0 Prazo em meses 3,5 i 3,5 Taxa de juro ao semestre PV –9.431,89 Valor do depósito hoje 3.Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 6.600,00 que produz um montante de $ 7.385,81 ao final de 7 meses. Solução: i = ? PV = $ 6.600,00 FV = $ 7.385,81 n = 7 meses FV = PV (1 + i)n 1,119 = (1 + i)7 1,0162 = 1 + i i = 1,62% a.m. SOLUÇÃO NA HP 12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO f FIN f REG 0,00 Limpa registros 6.600 CHS PV – 6.600,00 Valor presente (aplicação) 7.385,81 FV 7.385,81 Valor do montante 7 n 7,0 Prazo em meses i 1,62 Taxa mensal de juro 4.Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 2,2% ao mês? Solução: PV = 1 FV = 2 Mantida a proporção, pode-se atribuir qualquer valor a PV e FV. i = 2,2% a.m. n = ? Utilizando-se a fórmula básica: FV = PV (1 + i)n 2 = (1,022)n Aplicando-se logaritmo, conforme demonstrado no Apêndice B: log 2 = log (1,022)n log 2 = n . log1,022 = 31,85 meses (31 meses e 26 dias) SOLUÇÃO NA HP 12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO f FIN f REG 0,00 Limpa registros 1 CHS PV –1,0 Valor presente 2 FV 2,0 Valor futuro (montante) 2,2 i 2,2 Taxa de juro ao mês n 32,0 Prazo que o capital dobra (valor aproximado) 5.Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de resgate de $ 4.000,00 e $ 9.000,00 vencíveis, respectivamente, em 5 e 7 meses. Desejando antecipar a liquidação de toda a dívida para o momento atual (data zero), pede-se determinar o valor a pagar considerando uma taxa de juros de 1,9% ao mês. SOLUÇÃO NA HP 12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO f FIN f REG 0,00 Limpa registros 0 g CFj 0,0 Pagamento no 1o mês 4 g Nj 4,0 Introduz 4 fluxos de caixa de mesmo valor (zero) 4.000 g CFj 4.000,0 Fluxo de caixa no 5o mês 0 g CFj 0,0 Fluxo de caixa no 6o mês 9.000 g CFj 9.000,0 Fluxo de caixa no 7o mês 1,9 i 1,9 Taxa de juro ao mês PV 11.529,76 Valor a pagar no momento atual (valor presente) 6.Uma aplicação de $ 78.000,00 gerou um montante de $ 110.211,96 numa certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros considerada, calcular o prazo da aplicação. Solução: PV = $ 78.000,00 FV = $ 110.211,96 i = 2,5% a.m. FV = PV × (1 + i)n 1,412974 = (1,025)n Aplicando-se log: log 1,412974 = log (1,025)n log 1,412974 = n × log 1,025 SOLUÇÃO NA HP 12C TECLAS VISOR SIGNIFICADO f FIN f REG 0,00 Limpa registros 78.000 CHS PV –78.000,0 Valor presente (aplicação) 110.211,96 FV 110.211,96 Valor do montante 2,5 i 2,5 Taxa de juro ao mês n 14,0 Prazo da aplicação (14 meses) Exercícios propostos 1.A taxa de juros de um financiamento está fixada em 3,3% a.m. em determinado momento. Qual o percentual desta taxa acumulada para um ano? 2.Capitalizar as seguintes taxas: a)2,3% ao mês para um ano; b)0,14% ao dia para 23 dias; c)7,45% ao trimestre para um ano; d)6,75% ao semestre para um ano; e)1,87% equivalente a 20 dias para um ano. 3.Calcular a taxa equivalente composta a 34% ao ano para os seguintes prazos: a)1 mês; b)1 quadrimestre; c)1 semestre; d)5 meses; e)10 meses. 4.Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de juro que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de capitalização for igual a: a)1 mês; b)1 trimestre; c)7 meses. 5.Admita-se que um banco esteja pagando 16,5% ao ano de juros na colocação de um título de sua emissão. Apurar a taxa efetiva (equivalente) para os seguintes prazos: a)1 mês; b)9 meses; c)37 dias; d)100 dias. 6.Calcular a taxa equivalente mensal das seguintes taxas: a)2,9% para 26 dias; b)3,55% para 34 dias. 10.Determinar o montante de uma aplicação de $ 22.000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas: a)i = 2,2% a.m.; n = 7 meses b)i = 5% a.m.; n = 2 anos c)i = 12% a.t.; n = 1 ano e meio d)i = 20% a.s.; n = 4 anos e)i = 0,15% ao dia; n = 47 dias f)i = 9% a.a. n = 216 meses 11.Calcular o juro de uma aplicação de $ 300.000,00 nas seguintes condições de prazo e taxa: a)i = 2,5% a.m.; n = 1 semestre b)i = 3,3% a.m.; n = 1 ano e 3 meses c)i = 6% a.s.; n = 72 meses d)i = 10% a.a.; n = 120 meses e)i = 25% a.q. n = 4 anos 12.Um banco lança um título pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de $ 58.000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título? 13.Sendo a taxa corrente de juros de 10% a.q. (ao quadrimestre), quanto deve ser aplicado hoje para se resgatar $ 38.500,00 daqui a 28 meses? Respostas 1.47,64% a.a. 2. a)31,37% a.a. b)3,27% p/ 23 dias c)33,30% a.a. d)13,96% a.a. e)39,58% a.a. 3. a)2,47% a.m. b)10,25% a.q. c)15,76% a.s. d)12,97% p/ 5 meses e)27,62% p/ 10 meses 4. a)1,39% a.m. b)4,22% a.t. c)10,14% p/ 7 meses 5. a)1,28% a.m. b)12,14% p/ 9 meses c)1,58% p/ 37 dias d)4,33% p/ 100 dias 6. a)3,35% a.m. b)3,13% a.m. 10. a)FV = $ 25.619,99 b)FV = $ 70.952,20 c)FV = $ 43.424,10 d)FV = $ 94.595,97 e)FV = $ 23.605,73 f)FV = $ 103.776,65 11. a)J = $ 47.908,03 b)J = $ 188.231,82 c)J = $ 303.658,94 d)J = $ 478.122,74 e)J = $ 4.065.574,57 12.PV = $ 28.824,22 13.PV = $ 19.756,59
Compartilhar