Conjuntos Numéricos

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Conjuntos
PROFESSOR OLIMAR QUEIROZ – MATEMÁTICA
A compreensão de conjuntos é a principal base para o estudo da álgebra e de conceitos de 
grande importância na Matemática, como funções e inequações. A notação que usamos para 
conjuntos é sempre uma letra maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou 
conjunto B).
Em se tratando da representação dos conjuntos, ela pode ser feita pelo diagrama de Venn, pela
simples descrição das características dos seus elementos, pela enumeração dos elementos ou pela
descrição das suas propriedades. Ao trabalhar com problemas que envolvem conjuntos, existem
situações que exigem a realização de operações entre os conjuntos, sendo elas a união, a
intersecção e a diferença.
Notação e representação de conjuntos
Para representação de um conjunto, utilizamos sempre uma letra maiúscula do alfabeto, e os
elementos estão sempre entre chaves e são separados por vírgula. Para representar o conjunto dos
números pares maiores que 1 e menores que 20, por exemplo, usamos a seguinte notação: P
={2,4,6,8,10,12,14,16,18}. 
• Formas de representação dos conjuntos
1. Representação por enumeração: podemos enumerar seus elementos, ou seja, fazer uma
lista, sempre entre chaves. Veja um exemplo:
A = {1,5,9,12,14,20}
2. Descrevendo as características: podemos simplesmente descrever a característica do
conjunto. Por exemplo, seja X um conjunto, temos que X = {x é um número positivo
múltiplo de 5}; Y: é o conjunto dos meses do ano.
3. Diagrama de Venn: os conjuntos também podem ser representados na forma de um
diagrama, conhecido como diagrama de Venn, que é uma representação mais eficiente para a
realização das operações.
Exemplo: 
Dado o conjunto A = {1,2,3,4,5}, podemos representá-lo no diagrama de Venn a seguir:
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-algebra.htm
Diagrama do conjunto A 
Elementos de um conjunto e relação de pertinência 
Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto ou não pertente
a esse conjunto. Para representar essa relação de pertinência de forma mais rápida, utilizamos os
símbolos  (lê-se pertence) e (lê-se não pertente). Por exemplo, seja P o conjunto dos ∉ números
pares, podemos dizer que o 7 P e que 12∉   P.
Igualdade de conjuntos 
É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo assim, podemos afirmar que dois conjuntos são
iguais ou não verificando cada um dos seus elementos. Seja A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0},
ainda que os elementos estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os conjuntos A e B são
iguais: A = B.
Relação de inclusão
Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas relações, e uma delas é a relação
de inclusão. Para essa relação, precisamos conhecer alguns símbolos:
⊃ → contém ⊂ → está contido
 → ⊅ não contém ⊄ → não está contido
Dica: o lado da abertura do símbolo sempre ficará virado para o conjunto maior.
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-pares-impares.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-pares-impares.htm
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a um conjunto B, dizemos que A
⊂ B ou que A está contido em B. Por exemplo, A= {1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6}. É possível também
fazer a representação pelo diagrama de Venn , que ficaria assim:
• A está contido em B:
A B⊂
Subconjuntos
Quando acontece uma relação de inclusão, ou seja, o conjunto A está contido no conjunto B,
podemos dizemos que A é subconjunto de B. O subconjunto continua sendo um conjunto, e um
conjunto pode ter vários subconjuntos, construídos a partir dos elementos pertencentes a ele.
Por exemplo: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} tem como subconjuntos os conjuntos B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D:
{1} e, até mesmo, o conjunto A {1,2,3,4,5,6,7,8}, ou seja, A é subconjunto dele mesmo.
Conjunto unitário
Como o nome já sugere, é aquele conjunto que possui somente um elemento, como o conjunto D:
{1} mostrado anteriormente. Dado o conjunto B: {1,2,3}, temos os subconjuntos {1}, {2} e {3},
que são todos conjuntos unitários.
ATENÇÃO: O conjunto E: {0} também é um conjunto unitário, pois ele possui um único elemento,
o “0”, não se tratando de um conjunto vazio.
Leia também: Conjunto dos números inteiros – elementos e características
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-conjunto-dos-numeros-inteiros.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
Conjunto vazio
Com um nome mais sugestivo ainda, o conjunto vazio não possui nenhum elemento e é subconjunto
de qualquer conjunto. Para representar o conjunto vazio, há duas representações possíveis, sendo
elas V: { } ou o símbolo Ø.
Conjuntos das partes
Conhecemos como conjuntos das partes todos os subconjuntos possíveis de um determinado
conjunto. Seja A: {1,2,3,4}, podemos listar todos os subconjuntos desse conjunto A começando com
os conjuntos que possuem nenhum elemento (vazios) e, depois, os que possuem um, dois, três e
quatro elementos, respectivamente.
• Conjunto vazio: { };
• Conjuntos unitários: {1}; {2};{3}; {4}.
• Conjuntos com dois elementos: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
• Conjuntos com três elementos: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
• Conjunto com quatro elementos: {1,2,3,4}.
Sendo assim, podemos descrever o conjunto das partes de A desta forma:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4},
{2,3,4}, {1,2,3,4} }
Para saber a quantidade de partes em que é possível dividir um conjunto, usamos a fórmula:
n[ P(A)] = 2n
O número de partes de A é calculado por uma potência de base 2 elevada a n, em que n é a
quantidade de elementos do conjunto.
Considere o conjunto A: {1,2,3,4}, que possui quatro elementos. O total de subconjuntos possíveis
desse conjunto é 24 =16.
Conjunto finito e infinito
Ao trabalhar com conjuntos, encontramos conjuntos que são limitados (finitos) e aqueles que são
ilimitados (infinitos). O conjunto dos números pares ou ímpares, por exemplo, é infinito e, para
representá-lo, descrevemos alguns dos seus elementos em sequência, de forma que seja possível
prever quais serão os próximos elementos, e colocamos reticências no final.
I: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Já em um conjunto finito, não colocamos as reticências no final, pois ele possui começo e final
definidos.
A: {1,2,3,4}.
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-pares-impares.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-potenciacao.htm
Conjunto universo
O conjunto universo, denotado por U, é definido como o conjunto formado por todos os elementos
que devem ser considerados dentro de um problema. Todo elemento pertence ao conjunto universo
e todo conjunto está contido no conjunto universo.
Operações com conjuntos
As operações com conjuntos são: união, intersecção e diferença.
• Intersecção de conjuntos
 A
intersecção é uma das operações entre conjuntos. 
Ocorre uma intersecção quando os elementos pertencem simultaneamente a um ou mais conjuntos.
Ao escrever A∩B, estamos procurando os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao
conjunto B.
Exemplo:
Considere A= {1,2,3,4,5,6} e B = {2,4,6,7,8}, os elementos que pertencem tanto ao conjunto A
quanto ao conjunto B são: A∩B = {2,4,6}. A representação dessa operação é feita da seguinte
forma:
 A∩B
Quando os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum, são conhecidos como conjuntos
disjuntos.
Representação de conjuntos disjuntos 
A∩B = Ø
 
• Diferença entre conjuntos
Diferença entre os conjuntos (A – B) 
Calcular a diferença entre dois conjuntos é procurar os elementos quepertencem a somente um
dos dois conjuntos. Por exemplo, A – B tem como resposta um conjunto composto por elementos
que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Exemplo: A: {1,2,3,4,5,6} e B: {2,4,6,7,8}. Note que A ∩ B ={2,4,6}, então temos que:
a) A – B = { 1,3,5 }
b) B – A = { 7,8 }
• União
A união de dois ou mais conjuntos é a junção dos seus termos. Caso haja elementos que se repitam
nos dois conjuntos, eles são escritos uma única vez. Por exemplo: A={1,2,3,4,5} e
B={4,5,6,7,10,14}. Para representar a união, usamos o símbolo (lê-se: A união com B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Para saber mais detalhes sobre essas operações e conferir vários exercícios resolvidos, leia:
Operações com conjuntos.
Leis de Morgan
Sejam A e B dois conjuntos e seja U o conjunto universo, existem duas propriedades que são dadas
pelas Leis de Morgan, sendo elas:
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
(A U B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac U Bc
Exemplo: 
Dados os conjuntos:
• U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
• A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
• B: {5,10,15,20}
Vamos verificar que (A U B)c = Ac ∩ Bc . Assim, temos que:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Logo, (A U B)c={1,3,7,9,11,13,17,19}
Para verificar a veracidade da igualdade, vamos analisar a operação Ac ∩ Bc:
Ac:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bc:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Então, Ac ∩ Bc ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)c = Ac ∩ Bc
Exercícios resolvidos
01) Considere U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} e B: {4,5,6,7,8,9}. Mostre que (A ∩ B)c =
Ac U Bc.
Resolução:
• 1º passo: encontrar (A ∩ B)c. Para isso, temos que A ∩ B = {4,5,6} , então (A ∩ B)c
={1,2,3,7,8,9,10}.
• 2º passo: encontrar Ac U Bc. Ac:{7,8,9,10} e Bc:{1,2,3,10}, então Ac U Bc =
{1,2,3,7,8,9,19}.
Fica demonstrado que (A ∩ B)c = Ac U Bc.
02) Sabendo que A é o conjunto dos números pares de 1 até 20, qual é a quantidade total de
subconjuntos que podemos construir a partir dos elementos desse conjunto?
Resolução:
Seja P o conjunto descrito, temos que P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Sendo assim, o número de
elementos de P é 10.
Pela teoria do conjunto das partes, o número de subconjuntos possíveis de P é:
210=1024
ATIVIDADES: 
1) (PUC-Rio-2009) Em um colégio, de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam
de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos alunos não gostam de nenhum dos dois
sabores?
a) 0
b) 10
c) 20
d) 30
e) 40
2) (PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos 
produtos A ou B. Sabendo que 10 dessas pessoas não usam o produto B e que 2 dessas pessoas não 
usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B?
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3) Sabendo que A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {6, 7, 8, 9} e C = {2, 4, 6, 8, 10}, quais são os 
elementos do conjunto (A∩B)UC?
a) Os mesmos do conjunto A
b) Os mesmos do conjunto B
c) {6}
d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
e) Os mesmos do conjunto C
4) Sabe-se que existe uma relação de inclusão entre alguns dos conjuntos numéricos devido aos 
elementos que pertencem a eles. A respeito dessa relação, assinale a alternativa correta.
a) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais possuem intersecção não
vazia.
b) O conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos
números inteiros.
c) O conjunto dos números complexos é a união entre o conjunto dos números racionais e
irracionais.
d) A união entre o conjunto dos números naturais e inteiros tem como resultado o próprio conjunto
dos números naturais.
e) A intersecção entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros tem como
resultado o próprio conjunto dos números naturais.
5) Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o
conjunto B. 
6) Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C).
7) Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} 
determine (U – A) ∩ (B U C).
 
8) (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o 
líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 
80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:
a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B, com 140 votos.
e) venceu B, com 180 votos.
9) Considere os conjuntos A = {2, 4, 5, 12, 40, 53} e B = {9, 12, 30, 90}, determine A – B, A B ∪
e A ∩ B.
10) Sejam os conjuntos A = {1, 4, 5, 8}, B = {1, 2, 8} e C = {3, 8, 12}, determine:
a) A ∩ (B ∩ C)
b) A – (A ∩ B)
c) (A B) ∩ (B C)∪ ∪
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	Notação e representação de conjuntos
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	Conjunto finito e infinito
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