Algebra Linear (3)

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Lista 3 - Álgebra Linear
1) Consideremos no espaço vetorial R2, os vetores: u = (1 − α, 1 + α) e v = (1 + α, 1 − α).
Determine uma condição necessária e su�ciente sobre o escalar α para que {u, v} seja LD.
2) Mostrar que o conjunto dos vetores {1, x, x2, 2 + x+ 2x2} de P3(R) é LD e que qualquer
subconjunto de três elementos dele é LI.
3) Em quais condições, sobre o escalar α, o conunto {(1, 0, α), (1, 1, α), (1, 1, α2)} de vetores
do R3 é LI?
4) Mostre que o conjunto {1, sin2 x, cos2 x} de vetores de C([−π, π]) é LD.
5) Quais dos subconjuntos abaixo de P4(R) são linearmente independentes:
I){1, x− 1, x 2 + 2x+ 1, x2};
II){2x, x2 + 1, x+ 1, x2 − 1};
III){x(x− 1), x3, 2x3 − x2, x};
IV ){x4 + x− 1, x3 − x+ 1, x2 − 1}.
6) Seja {u, v, w} um conjunto LI de vetores de um espaço vetorial V . Prove que o conjunto
{u+ v − 3w, u+ 3v − w, v + w} é LD.
7) Quais dos seguintes subconjuntos do C3 são LI sobre C?
a){(i, 1, 0), (1 + i, 2, 0), (3, 1, 0)};
b){(i, 1, 0), (0, 1, i), (0, i, i)};
c){(i, 1, 0), (2 + i, 3i, 5− i), (2, 4 + 4i, 4− 6i)}.
8) Suponha que {u1, ..., ui, ..., uj , ..., un} seja um conjunto LI de um espaço vetorial V . Mostre
que
[u1, ..., ur] ∩ [v1, ..., vs] = {o}.
9) Se {u1, ..., ui, ..., uj , ..., un} é LI, mostre que
{u1, ..., ui + αuj , ..., un}
também é LI, para todo escalar α.