Lista_de_Exerccio_I_-_PL

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Lista de Exercícios I - PL 
Data Limite de Entrega – 21/06/2021 
 
 Esta lista é para ser resolvida em grupo, grupos estes já construídos 
e indicados no SIGAA. Ou podem ser resolvidos utilizando editores de 
texto com a ferramenta de construção de equações, ou feitos à mão, e então 
digitalizados e enviados como pdf. Os exercícios de procedimentos 
matemáticos em vetores e matrizes foram provindos do livro de Álgebra 
Linear da coleção Schaum, livro este que consta no SIGAA para acesso. 
 
 
Ex.1: Adotando 𝐴 = [
1 2
3 −4
] e 𝐵 = [
5 0
−6 7
], resolva: 
a) 5𝐴 − 2𝐵 
b) 𝐴𝐵 
c) 𝐴3 
d) 𝐴𝐵𝑇 
 
Ex.2: Seja 𝐴 = [
1 2
3 6
]. Encontre uma matriz 𝐵 de tamanho 2 × 3 com entradas 
não nulas, tal que 𝐴𝐵 = 0. 
 
Ex.3: Sejam 𝑒1 = [1,0,0], 𝑒2 = [0,1,0], 𝑒3 = [0,0,1], 𝐴 = [
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
𝑐1 𝑐2
𝑎3 𝑎4
𝑏3 𝑏4
𝑐3 𝑐4
]. 
Encontrem 𝑒1𝐴, 𝑒2𝐴, 𝑒3𝐴. 
 
Ex.4: Demonstre que: 
a) (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 
b) (𝑘𝐴)𝑇 = 𝑘𝐴𝑇 
 
Ex.5: Resolva cada um dos seguintes sistemas lineares. 
a) {
2𝑥 + 3𝑦 = 1
5𝑥 + 7𝑦 = 3
 b) {
4𝑥 − 2𝑦 = 5
−6𝑥 + 3𝑦 = 3
 
 
Ex.6: Considerando {
𝑥 + 𝑎𝑦 = 3
2𝑥 + 5𝑦 = 𝑏
. Para quais valores de 𝑎 o sistema possui 
solução única, e para quais valores de (𝑎, 𝑏) o sistema possui mais de uma única 
solução. Lembrem das equações degeneradas. 
 
Ex.7: Resolvam os sistemas lineares. 
a) {
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4
2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 10
3𝑥 + 6𝑦 + 10𝑧 = 17
 b) {
𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 + 3𝑦 = 3
3𝑥 + 2𝑦 = 7
 
c) {
4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑤 = 3
3𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 2
3𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 0
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 4𝑤 = −2
 d) {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 2𝑤 = 2
2𝑥 + 5𝑦 − 8𝑧 + 6𝑤 = 5
3𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 + 2𝑤 = 4
 
 
Ex.8: Escreva 𝑣 como combinação linear de 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, com: 
a) 𝑣 = (4,−9,2), 𝑢1 = (1,2, −1), 𝑢2 = (1,4,2), 𝑢3 = (1,−3,2) 
b) 𝑣 = (1,3,2), 𝑢1 = (1,2,1), 𝑢2 = (2,6,5), 𝑢3 = (1,7,8) 
 
Ex.9: Em sala de aula foram explanados alguns dos problemas clássicos de PL 
e seus métodos de construção da modelagem do problema. Procurem e 
dissertem sobre no mínimo mais 2 problemas clássicos de otimização, com suas 
devidas características. 
 
Ex.10: Na produção de unidades de 4 tipos de produtos, são utilizadas 2 
máquinas. O tempo utilizado na fabricação de cada unidade, de cada tipo de 
produto, em cada uma das 4 máquinas está dado na tabela a seguir: 
 
 Tempo por unidade produzida (horas) 
Máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 Produto 4 
1 2 3 4 2 
2 3 2 1 2 
 
O custo total de produção de uma unidade de cada produto é diretamente 
proporcional ao tempo de uso da máquina. Considere que o custo por hora para 
as máquinas 1 e 2 são de $10 e $15 respectivamente. O total de horas disponíveis 
para todos os produtos nas máquinas 1 e 2 são 500 e 380 respectivamente. Se o 
preço de venda, por unidade, dos produtos 1, 2, 3 e 4 são de $65, $70, $55 e 
$45, formule o problema como um modelo de PL com o objetivo de maximizar 
o lucro líquido total. 
 
Ex.11: Uma fábrica produz 3 tipos de barras metálicas A, B, e C, que são 
prensadas e esmaltadas. A prensa dispõe de 2000 minutos mensais e cada barra 
de tipo A ou B leva um minuto para ser prensada, no entanto a barra C leva dois 
minutos. O esmaltado da barra C leva apenas um minuto, no entanto as barras 
A e B exigem 3 e 4,5 minutos respectivamente. A disponibilidade de esmaltado 
é de 8000 minutos mensais. A demanda absorve toda a produção e o lucro por 
cada barra dos tipos A, B e C são iguais a 5, 7 e 8 unidades monetárias, 
respectivamente. Formule um modelo matemático de PL para otimizar este 
problema. 
 
Ex.12: A empresa Avianca precisa comprar combustível querosene para 
abastecer seus aviões. Esse combustível pode ser comprado de três empresas 
vendedoras. Os aviões são regularmente abastecidos nos aeroportos de 
Matecaña, Palmaseca, Rio negro e El Dorado. As empresas vendedoras de 
combustível podem fornecer, no próximo mês, 250.000, 500.000 e 600.000 
galões, respectivamente. As necessidades dos aviões da Avianca nos aeroportos 
de Macateña, Palmaseca, Rio Negro e El Dorado são iguais a 100.000, 200.000, 
300.000, e 400.000 galões, respectivamente. O custo para cada galão de 
combustível em reais, incluindo os custos de transporte de cada empresa 
vendedora em cada aeroporto é mostrado a seguir: 
 
Aeroporto Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3 
Mantecaña 12 9 10 
Palmaseca 10 11 14 
Rio negro 8 11 13 
El Dorado 11 13 9 
 
Encontre o modelo matemático de PL para o problema. 
 
Ex.13: Uma companhia deseja obter uma nova liga metálica com 30% de 
chumbo, 20% de zinco e 50% de estanho a partir de alguns minérios tendo as 
seguintes propriedades: 
 
 Minérios 
Propriedades 1 2 3 4 5 
% - Chumbo 30 10 50 10 50 
% - Zinco 60 20 20 10 10 
% - Estanho 10 70 30 80 40 
Custo ($/kg) 8,5 6 8,9 5,7 8,8 
 
O objetivo é determinar as proporções destes minérios que deveriam ser 
misturados para produzir a nova liga com o menor custo possível. Formule este 
problema de como um modelo de PL.