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PROPORCIONALIDADE DE GRANDEZAS 1 GRANDEZAS Como variam as Grandezas Objetivos da aula Reconhecer uma proporcionalidade direta na relação entre duas grandezas. Identificar a proporcionalidade direta entre duas grandezas. Determinar o valor de grandezas diretamente proporcionais, por meio da regra de três. Habilidade: Resolver e elaborar situações- -problema que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas. 2 DEFINIÇÃO: Grandeza: tudo aquilo que pode ser contado e medido. Exemplos: tempo velocidade comprimento preço idade temperatura 3 Reconhecendo grandezas Situação 1: Uma pessoa demora 30 minutos para cozinhar um bolo. Quanto tempo ela demorará para cozinhar três bolos? Grandeza 1: tempo para cozinhar Grandeza 2: quantidade de bolos Situação 2: Comprei 4 canetas a R$ 5,50 cada uma. No total, quanto eu paguei? Grandeza 1: quantidade de canetas Grandeza 2: valor total a pagar 4 PROPORÇÃO É uma sentença matemática indicada pela igualdade entre duas razões. Cada elemento de uma proporção é denominado termo. O 1º e o 4º termos são chamados extremos e o 2º e o 3º são meios. Propriedade fundamental: em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. T1 · T4 = T2 · T3 5 Como funciona a variação das grandezas e suas proporções? Quando a variação de uma grandeza faz com que a outra varie na mesma proporção, temos uma proporcionalidade direta. A proporcionalidade inversa é observada quando a mudança em uma grandeza produz uma alteração oposta na outra. Grandezas diretamente proporcionais É aquela grandeza em que a variação de uma, provoca a variação da outra, na mesma razão. Ou seja, se uma aumenta a outra aumenta na mesma proporção. 7 Exemplo 1 Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada de modo que não haja deformação da imagem? Solução: Primeiramente monte a relação de proporcionalidadere Montar a proporção e resolver a equação = 3.x=4 . 10,5 3x = 42 x = 14cm Portanto o comprimento da nova foto será de 14cm Obs: Veja que o crescimento da grandeza 1 implicou no crescimento da grandeza 2 Comprimento Largura 4 3 x 10,5 Exemplo 2 Um automóvel está movendo-se a uma velocidade de 60 km/h e percorre 240 km em determinado período de tempo. Quantos quilômetros percorrerá a uma velocidade de 90 km/h? Solução: Montagem da proporção e resolução da equação simplificando 6.x = 9 . 240 x= x=360km Portanto, a nova distância é de 360Km Velocidade (km/h) Distância (km) 60 240 90 x Grandezas inversamente proporcionais Quando uma grandeza aumenta, a outra diminui, e vice-versa; elas se relacionam de maneira inversa. Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois. Resolver problemas de grandezas inversamente proporcionais necessário inverter uma das razões Multiplicação cruzada T1 . T3 = T2 . T4 Grandeza 1 Grandeza 2 T1 T3 T2 T4 11 1 Montar a tabela de agrupando grandezas em correspondência 2 Montar proporção equacionando 3 Inverter uma das razões e resolver équação Outra forma de resolver Monta a tabela de grandezas e proporções Montar proporção equacionando Ao invés de inverter uma das razões, resolva a equação sem multiplicar cruzado (reta) Resolução - T1.T3 = T2.T4 Grandeza 1 Grandeza 2 T1 T3 T2 T4 Regra de três Simples Nada mais são do que os métodos acima estudados de resolução de problemas de grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Exemplo 3 (grandezas inversamente proporcionais) Em uma viagem, o motorista, dirigindo a 100 km/h, demora 1,2 hora. Se ele aumentar a velocidade para 120 km/h, quanto tempo levará para chegar ao destino? Solução: 1º) Montagem da tabela 2º) Equacionamento das proporções 3º) Analise- percebe-se que x será um tempo menor que 1,2h, pois a velocidade é maior multiplicação reta Ou seja 120.x = 100 . 1,2 x= = 1 x=1 hora Velocidade (Km/h) Tempo (h) 100 1,2 120 x Exemplo 4 (invertendo razões) Em uma gráfica, 8 máquinas de mesmo rendimento imprimem certo número de cópias em 10 horas. Imagine que 3 delas apresentaram algum defeito e pararam de funcionar. Em quanto tempo as máquinas restantes realizarão o mesmo número de cópias? Solução: Montar a tabela e equacionar dados; invertendo segunda razão teremos 5.x= 8 . 10 5x = 80 x = x = 16 horas Maquinas Tempo (h) 8 10 5 x
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