Conceitos Matemáticos: Transformada de Laplace, Séries de Fourier e Equações Diferenciais

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A Transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais, pois transforma uma equação diferencial em uma equação algébrica. Com relação à Transformada de Laplace, assinale a alternativa INCORRETA:
	 a)
	Quando temos duas funções somadas podemos aplicar a Transformada de Laplace de forma separada, isso é possível pela propriedade de linearidade da Transformada de Laplace.
	 b)
	A existência da transformada de Laplace é garantida se a função é continua por partes de 0 até infinito e se a função é de ordem exponencial.
	 c)
	A transformada de Laplace de uma função sempre existe, pois a transformada de Laplace não leva em conta nenhuma propriedade da função.
	 d)
	Se uma função é contínua de ordem exponencial alpha, então o limite da sua Transformada de Laplace (F(s)) é igual a 0 se s vai ao infinito.
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	2.
	Calcular o limite de uma sequência é de grande importância, uma vez que trabalhar com sequências convergentes (aquelas que o limite existe) é conveniente em diversos casos.
	
	 a)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças II e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	3.
	A solução geral de Equações Diferenciais (ED) não é apenas uma função, são uma família de funções indexadas por um ou mais parâmetros. No entanto, o mesmo não acontece com os Problemas de Valor Inicial (PVIs). O Teorema da Existência e Unicidade das ED esclarece quando a solução existe e é única. Sobre o Teorema da Existência e Unicidade, analise as sentenças a seguir:
I- O Teorema da Existência e Unicidade garante que com certas condições sobre a função, a solução de um PVI é única.
II- O Teorema da Existência e Unicidade garante que a solução geral da Equação Diferencial é única e sempre existe.
III- O Teorema da Existência e Unicidade garante a existência de solução para qualquer Equação Diferencial de forma que ela é única.  
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 b)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 c)
	Somente a sentença II está correta.
	 d)
	Somente a sentença I está correta.
	4.
	Geralmente, equações homogêneas são mais simples de serem resolvidas, em comparação com equações não homogêneas. Para verificar se uma função é homogênea, basta colocá-la na forma padrão:
	
	 a)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	 b)
	Somente a sentença I está correta.
	 c)
	As sentenças II, III e IV estão corretas.
	 d)
	Somente a sentença III está correta.
	5.
	As séries de Fourier surgiram com o intuito de modelar matematicamente um problema físico, porém, não é somente neste caso que é aplicada. Sobre as aplicações da série de Fourier, classifique V para sentenças verdadeiras e F para falsas:
(    ) A série de Fourier pode ser utilizada para encontrar a solução de Equações Diferenciais.
(    ) A transformada de Fourier é uma técnica do estudo de Equações Diferenciais.
(    ) A identidade de Parseval é uma aplicação das séries de Fourier.
(    ) A série de Fourier pode ser utilizada para simplificar o cálculo da Transformada de Laplace de uma função.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - F - V.
	 b)
	F - V - F - F.
	 c)
	F - F - V - V.
	 d)
	V - V - V - F.
	6.
	O fato da Transformada de Laplace ser linear e inversível é fundamental para podermos utilizá-la para resolver equações diferenciais. Sabendo que as Transformadas de Laplace de
	
	 a)
	Somente a opção II está correta.
	 b)
	Somente a opção IV está correta.
	 c)
	Somente a opção I está correta.
	 d)
	Somente a opção III está correta.
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	7.
	O conceito de funções periódicas é de extrema importância para o entendimento das séries de Fourier, a principal propriedade das funções periódicas é que o gráfico se repete em certo período. Sobre as funções periódicas, associe os itens, utilizando o código a seguir:
	
	 a)
	I - II - II - I.
	 b)
	II - I - I - II.
	 c)
	II - I - I - I.
	 d)
	I - II - I - II.
	8.
	Quando trabalhamos com séries numéricas é comum verificarmos se a série converge, porém, em alguns casos, mostrar a convergência de uma série é uma tarefa trabalhosa. Uma forma simples de verificar se uma série diverge é utilizando a contrapositiva do seguinte teorema:
	
	 a)
	Somente a opção IV está correta.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	Somente a opção III está correta.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	9.
	O Teorema da translação eixo-s utiliza a Transformada de Laplace de uma função já conhecida para determinar a Transformada de Laplace de outra função. Podemos afirmar que a Transformada de Laplace da função
	
	 a)
	Somente a opção IV está correta.
	 b)
	Somente a opção III está correta.
	 c)
	Somente a opção II está correta.
	 d)
	Somente a opção I está correta.
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	10.
	Para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial linear homogênea com coeficientes constantes de ordem superior, basta utilizarmos a equação característica e a depender das raízes desta equação, teremos a solução para a Equação Diferencial.
	
	 a)
	Somente a sentença III está correta.
	 b)
	Somente a sentença II está correta.
	 c)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 d)
	As sentenças I e III estão corretas.