Transformada de Laplace / 1

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Usando a Transformada de Laplace para
resolver um PVI.
Exemplo.
y ' - 5 y = 0 , com y(0) =2
DEFINIÇÃO -- L{s} =
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Como L(s) é uma transformada linear, é possível aplicar:
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 (α. 𝑓(𝑡) + β. 𝑔(𝑡))𝑑𝑡 = α.
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
+ β
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑔(𝑡)𝑑𝑡
Então
𝑦' − 5 𝑦 = 0 ↔ 𝐿{𝑦'} − 5𝐿{𝑦} = 𝐿{0}
Calculando a Transformada de Laplace da
derivada de ordem 1.
Usando a técnica da integração por
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 ' (𝑡)𝑑𝑡 −
partes
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 ' (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡 . 𝑓(𝑡) − 
0
∞
∫− 𝑠. 𝑒
−𝑠𝑡
. 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 ' (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡 . 𝑓(𝑡) + 𝑠 . 
0
∞
∫ 𝑒
−𝑠𝑡
. 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Agora aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 ' (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠.∞ . 𝑓(∞) − 𝑒−𝑠.0. 𝑓(0) − 𝑠 . 𝐿(𝑠) 
1
TRANSFORMADA DE LAPLACE
O termo e = 1𝑒−𝑠.∞. 𝑓(∞) → 0 𝑒−𝑠.0
LOGO, .
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 ' (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑠. 𝐿(𝑠) − 𝑓(0) 
Retornando para o PVI .
Tomando L(s) e→ 𝐿{𝑦} → 𝑌(𝑠) 𝑓(0) = 𝑦(0) = 2
𝑦' − 5 𝑦 = 0 ↔ 𝐿{𝑦'} − 5𝐿{𝑦} = 𝐿{0}
 𝑠. 𝑌(𝑠) − 𝑓(0) − 5. 𝑌(𝑠) = 0
. ( s - 5 ) - 2 = 0𝑌(𝑠)
Agora aplicando a Transformada𝑌(𝑠) = 2𝑠−5 −
Inversa
𝐿−1{𝑌(𝑠)} = 𝐿−1 { 2𝑠−5 } = 𝑦 
** A função y é a solução para o PVI.
𝐿−1 { 2𝑠−5 } = 2 𝐿
−1{ 1𝑠−5 }
Lembrar que :
𝐿{ 𝑒𝑎𝑡} = 1𝑠−𝑎 ⇔𝐿
−1{ 1𝑠−𝑎 } = 𝑒
𝑎𝑡 
Então, = 𝐿−1{ 1𝑠−5 } 𝑒 
5. 𝑡 
Portanto, . 𝑦 = 2 𝑒5𝑡
Verificando -- 𝑦' − 5 𝑦 = 0
𝑦' = 10. 𝑒5𝑡
10. 𝑒5𝑡 − (5 × 2. 𝑒5𝑡) = 0
0 = 0
2
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Calculando a Transformada de Laplace da
derivada de ordem 2.
Usando a técnica da integração por
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 " (𝑡)𝑑𝑡 − 
partes
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 " (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓'(𝑡) −
0
∞
∫− 𝑠. 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 ' (𝑡)𝑑𝑡
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 " (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓'(𝑡) + 𝑠 .
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 ' (𝑡)𝑑𝑡
Agora aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 " (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓' (∞) − 𝑒−𝑠.0 . 𝑓 ' (0) + 𝑠 .
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 ' (𝑡)𝑑𝑡 
O termo 0 e 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓'(𝑡) → 𝑒−𝑠.0 = 1 
e lembrando que
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 " (𝑡)𝑑𝑡 =
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 ' (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑠. 𝐿(𝑠) − 𝑓(0) 
Então,
=
0
∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡. 𝑓 " (𝑡)𝑑𝑡 𝑓 ' (0) + 𝑠. ( 𝑠. 𝐿(𝑠) − 𝑓(0))
= . 𝑠2. 𝐿(𝑠) − 𝑠. 𝑓(0) − 𝑓 ' (0) 
NOTE
𝐿{𝑓 ' (𝑡)} = 𝑠. 𝐿(𝑠) − 𝑓(0) 
𝐿{𝑓'' (𝑇)} = 𝑠2. 𝐿(𝑠) − 𝑠. 𝑓(0) − 𝑓 ' (0) 
…
3
TRANSFORMADA DE LAPLACE
𝐿{𝑓𝑛(𝑡)} = 
 𝑠𝑛. 𝐿(𝑠) − 𝑠𝑛−1. 𝑓(0) − 𝑠𝑛−2 . 𝑓 ' (0) ... − 𝑓𝑛−1 
Pelo teorema, por exemplo →
𝐿{
𝑓 ''' (𝑡)} = 𝑠3. 𝐿(𝑠) − 𝑠2. 𝑓(0) − 𝑠. 𝑓 ' (0) − 𝑓 " (𝑡) 
PRINCIPAIS TRANSFORMADAS DE
LAPLACE
f(t) L{f(t)}
L{1} 1/s
L{t} 1/𝑠2
𝐿{𝑡𝑛} n!/𝑠𝑛+1
𝐿{𝑒𝑎𝑡} 1/(s-a)
L{sen kt} k/( )𝑠2 + 𝑘2
L{cos kt} s/(𝑠2 + 𝑘2)
-
4