TRANSFORMAÇÕES LINEARES E CÔNICAS - RESOLUÇÃO DE LISTA DE EXERCÍCIOS - ÁLGEBRA LINEAR

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS - PUC-GO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
TRABALHO DE ATIVIDADE EXTRA-DISCIPLINAR - AED 
 
 
 
 
Gabriela Moreira Lopes 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS - APOSTILA 
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
 
Trabalho destinado ao Departamento de 
Engenharia Civil como requisito de Atividade 
Externa à Disciplina Álgebra Linear. 
Orientação: Prof. Cristian Patricio Novoa Bustos. 
 
 
 
 
GOIÂNIA – GOIÁS 
2019 
 
Capítulo 5. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E CÔNICAS 
 
Exercícios - Página 97 
5.4.1 Exercícios 
6. Acerca das matrizes abaixo, satisfaça às seguintes condições: 
1) Mostre que T é uma transformação linear; 
2) Calcule a dimensão do Núcleo; 
3) Represente T por uma matriz, use bases canônicas; 
4) Calcule o polinômio característico; 
5) Calcule os auto valores; 
6) Calcule os auto vetores; 
7) Ache a matriz P dos auto vetores; 
8) Verifique A=PDP-1 
 
i) A = 3 4
4 3
 
1) T: R2→R2 
T(x, y) = (3x+4y, 4x+3y) 
T(x, y) + 𝛼 (x1, y1) = (x + 𝛼 x1, y + 𝛼 y1) 
 = (3(x + 𝛼 x1) + 4(y + 𝛼 y1), 4(x + 𝛼 x1) + 3(y + 𝛼 y1) 
 = (3x + 3𝛼 x1 + 4y + 4 𝛼 y1, 4x + 4 𝛼 x1 + 3y + 3 𝛼 y1) 
 = (3x + 4y, 4x + 3y) + (3𝛼 x1 + 4 𝛼 y1, 4 𝛼 x1 + 3 𝛼 y1) 
 = (3x + 4y, 4x + 3y) + 𝛼(3x1 + 4 y1, 4 x1 + 3 y1) 
 = T(x, y) + 𝛼T(x1, y1) 
Logo T(x, y) é uma transformação linear. 
 
2) T(x, y) = (0,0) = (3x+4y, 4x+3y) 
 3𝑥 + 4𝑦 = 0 (−4)
4𝑥 + 3𝑦 = 0 (3)
 
 
 −12𝑥 − 16𝑦 = 0 
12𝑥 + 9𝑦 = 0
−7𝑦 = 0
 y = 0, x = 0 
Nu(T) = {(0,0)} 
∴ dim Nu(T) = 0 
dim V = dim Nu(T) + dim Im(T) 
2 = 0 + dim Im(T) ∴ dim Im(T) = 2 
∴ T é injetora pois Nu(T) = {(0,0)} e é sobrejetora pois dim Im(T) = dim W 
∴ é bijetora. 
 
3) [T] = A = 3 4
4 3
 Av = xv 
 Av – xv = 0 
 (A-XI)(v) = 0 
 
4) pca(x) = det (A-XI2) = 0 = det 
3 4
4 3
 - 𝑥 0
0 𝑥
 
det 3 − 𝑥 4
4 3 − 𝑥
 = (3-x) (3-x) - 16 = 9 – 3x – 3x + x2 – 16 = x2 – 6x – 7 = 0 
 
5) Portanto, os auto valores são λ1 = 7; λ2 = −1 que são as raízes de p(x) = x2 
– 6x – 7 = 0. Calculemos agora V7, V−1. 
∆= 64 𝑥 =
±
 x1= 7 x2= -1 
 
6) V7 = {
𝑥
𝑦 /
3 4
4 3
𝑥
𝑦 = 7
𝑥
𝑦 = 
7𝑥
7𝑦
} ↔ 
 3𝑥 + 4𝑦 = 7𝑥
4𝑥 + 3𝑦 = 7𝑥
 ↔ x=7x 
Portanto, V7 = {
𝑥
𝑦 /𝑥=y} = [
7
7
]. Logo, V7 é gerado pelo vetor 
7
7
 que é 
linearmente independente, por ser não nulo, e dimKV7 = 1. 
 
De maneira análoga 
V-1 = {
𝑥
𝑦 /
3 4
4 3
𝑥
𝑦 = -1
𝑥
𝑦 = 
−𝑥
−𝑦 } ↔ 
 3𝑥 + 4𝑦 = −𝑥
4𝑥 + 3𝑦 = −𝑥
 ↔ x=-y 
Portanto, V-1 = {
𝑥
𝑦 /𝑥=y} = [
−1
−1
]. Logo, V-1 é gerado pelo vetor 
−1
−1
 que é 
linearmente independente, por ser não nulo, e dimKV7 = -1. 
 
 3𝑥 + 4𝑦 = −𝑥
4𝑥 + 3𝑦 = −𝑦
 ↔ 
 4𝑥 + 4𝑦 = 0
4𝑥 + 4𝑦 = 0
 na verdade temos somente uma 
V-1 = ∃ (x,y) = (x, 4y + 4y) = (x,4x) = (y, 4y) = x(1,4) + y(1,4) 
 
7) P= 1 4
4 −1
 
 
8) P-1 = 
P∙P-1= I 
 1 1
1 −1
∙
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
1 0
0 1
 
 
 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑
𝑎 − 𝑐 𝑏 − 𝑑
=
1 0
0 1
 
 
𝑎 + 𝑐 = 1
𝑏 + 𝑑 = 0
𝑎 − 𝑐 = 0
𝑏 − 𝑑 = 1
 
 a=1-c 
 b=-d 
 1 − 𝑐 − 𝑐 = 0
−𝑑 − 𝑑 = 1
 
c= ∴ a= ∴ d= − ∴ b= , logo P-1 = 
−
 
 
ii) A = 
1 −3 3
3 4 1
6 −6 2
 
 
1) T: R3→R3 
T(x, y, z) = (x- 3y + 3z, 3x + 4y + z, 6x – 6y + 2z) 
T(x, y, z) + 𝛼 (x1, y1, z1) = (x + 𝛼 x1, y + 𝛼 y1, z + 𝛼 z1) 
 = (x + 𝛼 x1 + 3(y + 𝛼 y1) + 3(z + 𝛼 z1)), 3(x + 𝛼 x1) + 4(y 
 + 𝛼 y1) + z + 𝛼 z1, 6(x + 𝛼 x1) - 6(y + 𝛼 y1) + 2(z + 𝛼 z1) 
 = (x + 𝛼 x1 + 3y + 3𝛼 y1 + 3z + 3𝛼 z1, 3x + 3𝛼 x1 + 4y + 
 4𝛼 y1 + z + 𝛼 z1, 6x + 6𝛼 x1 – 6y - 6𝛼 y1 + 2z + 2𝛼 z1) 
= (x + 3y + 3z, 3x + 4y + z, 6x – 6y + 2z) + (𝛼 x1 + 3𝛼 y1 
+ 3𝛼 z1, 3𝛼 x1 + 4𝛼 y1 + 𝛼 z1, 6𝛼 x1 - 6𝛼 y1 + 2𝛼 z1) 
 = T(x, y, z) + 𝛼 (x1, y1, z1) = (x + 𝛼 x1, y + 𝛼 y1, z + 𝛼 z1) 
Logo T(x, y , z) é uma transformação linear. 
 
2) T(x, y, z) = (0,0,0) = (x - 3y + 3z, 3x + 4y + z , 6x - 6y + 2z) 
 = 
𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0
6𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 0
 
 x = 3y - 3z 
9𝑦 − 9𝑧 + 4𝑦 + 𝑧 = 0
18𝑦 − 18𝑧 − 6𝑦 + 2𝑧 = 0
 
 
13𝑦 − 8𝑧 = 0
12𝑦 − 16𝑧 = 0
 
13𝑦 − 8𝑧 = 0
3𝑦 − 4𝑧 = 0
 
 3y - 4z = 0 
 3y = 4z 
 y = 
 13∙ - 8z = 0 
 z = 0 ∴ y = 0 
dim Nu(T) = 0. 
 
3) det(A-XI3) = 
det (
1 −3 3
3
6
4
−6
1
2
− 
𝑥 0 0
0
0
𝑥
0
0
𝑥
 ) = 
det 
1 − 𝑥 −3 3
3 4 − 𝑥 1
6 −6 2 − 𝑥
 = [(1-x)(4-x)(2-x)] -18 - 54 – [18(4-x)] + [6(1-x)] + 
[9(2-x)] 
 = (4 – x - 4x + x2)(2-x) - 72 – 72 + 18x + 6 - 6x + 
18-9x 
 = 8 - 2x - 8x + 2x2 - 4x + x2 + 4x2 - x3 – 120 + 3x 
 = -x3 + 7x2 - 11x – 112 
 
 
4) -x3 + 7x2 - 11x – 112 = 0 
Divisores de 112: ±1 , ±2 , ±4 , ±8 , ±14 , ±16 , ±28... 
 
P(1)=-1 +7-11-112≠0 
P(-1)= 1+7+11-112≠0 
P(2)= -8+28-22-112≠0 
P(-2)=8+28+22-112≠0 
P(4)=-64+112-44-112≠0 
P(-4)=64+112+44-112≠0 
P(8)=-512+448-88-112≠0 
P(-8)=512+448+88-112≠0 
P(14)=-2744+1372-154-112≠0 
P(-14)=2744+1372+154-112≠0 
P(16)=-4096+1792-176-112≠0 
P(-16)=4096+1792+176-112≠0 
P(28)=-21952+5488-308-112≠0 
P(-28)=21952+5488-308-112≠0 
 
Nenhum dos divisores acima satisfaz a igualdade, logo conclui-se como 
inexecutável o avanço do exercício.