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E N G . M A R C E L O L U I Z C R U Z D E S O U Z A | E N M 0 0 4 3 UNIDADE 2 - SISTEMAS DE PROJEÇÃO A partir do estudo desta Unidade, o acadêmico estará apto a: • Conhecer e identificar os tipos de projeções. • Familiarizar-se com as nomenclaturas usadas na projeção. • Verificar a diferença entre sistema cônico e sistema cilíndrico. • Entender e construir o sistema mongeano e a épura. • Definir afastamento, cota e abscissa. • Projetar um ponto na épura e dar sua localização. » I m p o r t a n t e assistir os vídeos relacionados a esta unidade. » Fazer a leitura do livro didático e a resolução d a s autoatividades. » A m p l i a r o s conhecimentos com a leitura de m a t e r i a i s complementares. Plano de estudos TÓPICO 1 – PROJEÇÕES TÓPICO 2 – SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO TÓPICO 3 – SISTEMA MONGEANO TÓPICO 4 – PROJEÇÃO DE UM PONTO » I m p o r t a n t e assistir os vídeos relacionados a esta unidade. » Fazer a leitura do livro didático e a resolução d a s autoatividades. » A m p l i a r o s conhecimentos com a leitura de m a t e r i a i s complementares. PROJEÇÕES Podemos afirmar que o pai da Geometria Descritiva foi Gaspar Monge, um sábio desenhista francês e excepcional geômetra, que a definiu como sendo a “arte” de representar figuras espaciais num plano. A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção. Como os objetos têm três dimensões, sua representação num plano bidimensional se dá através de alguns artifícios de desenho. Para tanto, são considerados os elementos básicos da projeção: • Plano de projeção • Objeto • Raio projetante • Centro de projeção Trata-se de um fenômeno físico que acontece normalmente na natureza ou que pode ser produzido artificialmente pelo homem. O QUE É PROJEÇÃO Exemplo: “Ao incidirem sobre uma placa opaca, os raios solares produzem sobre a superfície de um piso claro, uma figura escura a que chamamos comumente de sombra. O contorno da sombra nada mais é que a projeção do contorno da placa na superfície do piso”. Plano de projeção: superfície do piso; Objeto: Placa; Raio projetante: raios solares; Centro de projeção: sol Exemplo: “As imagens que vemos numa tela de cinema são as projeções dos fotogramas contidos na fita de celulóide quando sobre eles incidem os raios luminosos emitidos pela lâmpada do projetor”. Plano de projeção: tela do cinema; Objeto: os fotogramas da fita; Raio projetante: raios luminosos da lâmpada; Centro de projeção: a lâmpada do projetor Projeção é o conjunto de operações geométricas que permitem obter a figura formada pelos pontos de interseção dos raios projetantes que partem de um centro projetivo e incidem sobre uma figura do espaço, com uma superfície. SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO SISTEMA CÔNICO SISTEMA CILÍNDRICO A projeção cilíndrica é dividida em ortogonal e oblíqua. Utilizaremos a projeção cilíndrica ortogonal, que oferece facilidade e transparência na relação entre objeto e projeção no plano, que é o maior objetivo da geometria descritiva. Sistema de projeção cônica não representa o tamanho real do objeto; Observe por 1 minuto a figura a seguir e tente compreendê-la tridimensionalmente. Qual das duas você compreende melhor? PROJEÇÕES CILÍNDRICAS X PROJEÇÕES CÔNICAS Embora saibamos que trilhos da linha de trem são paralelos e, portanto, “nunca deveriam se encontrar”, podemos ver seu encontro: “eles se encontram num ponto de fuga (PF)”. Como este ponto é real apenas para nossos olhos, dizemos que duas paralelas se encontram sim, mas no infinito, onde está seu centro de projeções impróprio. (0∞). O objeto é projetado, ao mesmo tempo, num plano horizontal (PH) e num plano vertical (PV). Verifique: SISTEMA MONGEANO Nada mais é que o modo de apresentação e como desenhamos uma projeção no sistema mongeano. A épura vem da rotação do plano horizontal (PH) até se encontrar ao plano vertical (PV). ÉPURA Para facilitar a visualização, imaginaremos um ponto P no 1º diedro, com projeção P'' no PVS e projeção P' no PHA. Agora faremos a rotação, no sentido horário, do plano horizontal até que ele coincida com o plano vertical. Temos, então, a sobreposição de dois planos. Visualizando esta sobreposição de frente, f ica bem evidente a facilidade de desenhar. Onde: PH – Plano Horizontal PV – Plano Vertical PVS – Semi-plano Vertical Superior PVI – Semi-plano Vertical Inferior PHA – Semi-plano Horizontal Anterior PHP – Semi-plano Horizontal Posterior LT – Linha de Terra Todos os desenhos das projeções no sistema mongeano serão feitos na épura, que é esta última etapa desenhada acima. O segmento de reta que liga as projeções P’ e P’’ é chamado de linha de chamada e é perpendicular à Linha de terra. A Linha de Terra em épura pode ser representada por LT ou pelas letras x e y nas suas extremidades, COTA E AFASTAMENTO Para dar a localização de um ponto no espaço necessitamos de duas medidas: a cota e o afastamento. Vamos visualizar novamente uma épura com a projeção obtida de um ponto P: A cota do ponto P será a exata distância entre P’’ e a Linha de Terra (LT). Podemos pensar como sendo a “altura” do ponto P, ou a distância entre o ponto e o plano horizontal (PH). O afastamento do ponto P será a exata distância entre P’ e a Linha de terra (LT). Podemos pensar como sendo o deslocamento lateral do ponto P, ou a distância entre P e o plano vertical (PV). A cota e o afastamento constituem as coordenadas de um ponto, mas não são suficientes para a exata localização desse ponto no espaço, pois temos uma infinidade de pontos com a mesma cota e afastamento. A abscissa estará sobre a linha da terra, denotado por 0 (zero), chamada de origem do sistema. Quando a abscissa estiver situada à direita da origem ela é positiva, e se estiver à esquerda ela é negativa. A abscissa é a menor distância entre a origem (0) e o ponto de intersecção das projeções(I). Na épura é a menor distância entre a origem e a linha de chamada. Assim, um ponto fica definido por três coordenadas: abscissa (a), afastamento (b) e cota (c), nessa ordem, P[a, b, c]. 1º Diedro: Podemos fazer algumas generalizações sobre a cota e o afastamento obtidos na épura quando o ponto se encontra no 1º diedro. A épura traz a projeção P’ abaixo da LT e a P’’ acima da LT. Contudo, observando o ponto no espaço, sabemos que tanto a cota quanto o afastamento são positivos. Conclusão: Quando a cota está acima da LT = valor positivo. Quando o afastamento está abaixo da LT = valor positivo. PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA 2º Diedro Ao “girarmos” o plano horizontal, a projeção P’ do ponto P vai parar acima da LT. Porém, ela ainda indica o afastamento e, com isso, concluímos que, quando o ponto está no segundo diedro, tanto a cota como o afastamento aparecem acima da LT na épura. Vale lembrar que a cota é positiva (está aparecendo acima da LT) e o afastamento é negativo (está acima da LT e é para baixo que ele é positivo). 3º Diedro A cota aparece abaixo da LT e o afastamento acima. Isso indica que ambos os valores são negativos, uma vez que estão localizados numa posição contrária à que ocorre com o ponto do 1º diedro. 4º Diedro A épura nos mostra as duas medidas abaixo da LT, o que nos indica que o afastamento é positivo e a cota, negativa. Exemplos: 1) Construa a épura de um ponto P [1, 5, -3]. Solução: Sabemos que o 1 é a abscissa, 5 é o afastamento e -3 é a cota. Afastamento positivo e cota negativa nos dão um ponto no 4º diedro. A épura do 4º diedro tem ambas as medidas abaixo da LT, logo: Exemplos: 2) Determine as coordenadas do ponto representado na épura abaixo: Solução: Com o uso de uma régua graduada, medimos que a origem (0) está a 1,5cm da linha da chamada. Portanto, a abscissa mede 1,5cm. Como a linha dechamada está à esquerda da origem, temos abscissa negativa. Medimos que P’ está a 2cm acima da LT, que P’’ está 4cm abaixo, P’ representa o afastamento e P’’ a cota. Temos o afastamento acima da LT e a cota abaixo da LT. Isso indica que ambas as medidas são negativas e o ponto se encontra no 3º diedro. Exemplos: 3) Determine o diedro que se encontra o ponto P [3, -8, 7] Solução: Sabemos que o 3 é a abscissa, -8 é o afastamento e 7 é a cota. Como o afastamento é negativo e a cota é positiva, então, o ponto P pertence ao segundo diedro. PROJEÇÃO DE UM PONTO PERTENCENTE AO PLANO NA ÉPURA Um ponto pode pertencer a alguns dos planos: PHA, PHP, PVS, PVI, ou até mesmo a intersecção dos planos que chamamos de linha da terra (LT). PONTO PERTENCENTE AO PLANO HORIZONTAL Todos os pontos de cota nula pertencem ao plano horizontal, que pode ser PHA ou PHP. Faremos a representação dos pontos P ∈ PHA e Q ∈ PHP na mesma figura. Após o rebatimento, a projeção P’ ≅ P vai parar abaixo da LT, e a projeção P’’ permanece sobre a LT. Podemos observar que a cota é nula, pois está em cima da linha da terra e o afastamento é positivo, pois está abaixo da linha da terra. Já a projeção Q’ ≅ Q fica acima da LT, e a projeção Q’’ permanece sobre a LT. E podemos dizer que a cota é nula, pois está em cima da linha da terra e o afastamento é negativo, pois está acima da linha da terra. Todos os pontos de afastamento nulo pertencem ao plano vertical, que pode ser PVS ou PVI. A representação dos pontos P ∈ PVS e Q ∈ PVI, no sistema mongeano e na épura. PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL Após o rebatimento, a projeção P’’ ≅ P fica acima da LT, e a projeção P’ permanece sobre a LT. Logo o afastamento é nulo, pois está em cima da linha da terra e a cota é positiva, pois está acima da linha da terra. Já a projeção Q’’ ≅ Q vai parar abaixo da LT, e a projeção Q’ permanece sobre a LT. E podemos dizer que o afastamento é nulo, pois está em acima da linha da terra e a cota é negativa, pois está abaixo da linha da terra. Todos os pontos de cota nula e afastamento nulo pertencem à linha da terra, e suas projeções coincidem. Observe a figura em que P ∈ LT: PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA Após o rebatimento as projeções P’ e P’’ ficam sobre a linha da terra, veja o resumo no quadro, a seguir. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!
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