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E N G . M A R C E L O L U I Z C R U Z D E S O U Z A | E N M 0 0 4 3
UNIDADE 2 - SISTEMAS DE PROJEÇÃO 
A partir do estudo desta Unidade, o acadêmico 
estará apto a: 
• Conhecer e identificar os tipos de projeções. 
• Familiarizar-se com as nomenclaturas usadas na 
projeção. 
• Verificar a diferença entre sistema cônico e sistema 
cilíndrico. 
• Entender e construir o sistema mongeano e a épura. 
• Definir afastamento, cota e abscissa. 
• Projetar um ponto na épura e dar sua localização. 
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Plano de estudos
TÓPICO 1 – PROJEÇÕES 
TÓPICO 2 – SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO 
TÓPICO 3 – SISTEMA MONGEANO 
TÓPICO 4 – PROJEÇÃO DE UM PONTO
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PROJEÇÕES
Podemos afirmar que o pai da Geometria Descritiva foi Gaspar 
Monge, um sábio desenhista francês e excepcional geômetra, que 
a definiu como sendo a “arte” de representar figuras espaciais 
num plano. 
A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de 
projeção. Como os objetos têm três dimensões, sua 
representação num plano bidimensional se dá através de alguns 
artifícios de desenho. Para tanto, são considerados os elementos 
básicos da projeção: 
• Plano de projeção 
• Objeto 
• Raio projetante 
• Centro de projeção 
Trata-se de um fenômeno físico que acontece normalmente na 
natureza ou que pode ser produzido artificialmente pelo homem. 
O QUE É PROJEÇÃO 
Exemplo: “Ao incidirem sobre uma placa opaca, os raios solares 
produzem sobre a superfície de um piso claro, uma figura escura a 
que chamamos comumente de sombra. O contorno da sombra 
nada mais é que a projeção do contorno da placa na superfície do 
piso”. 
Plano de projeção: superfície do piso; 
Objeto: Placa; 
Raio projetante: raios solares; 
Centro de projeção: sol 
Exemplo: “As imagens que vemos numa tela de cinema são as 
projeções dos fotogramas contidos na fita de celulóide quando 
sobre eles incidem os raios luminosos emitidos pela lâmpada do 
projetor”. 
Plano de projeção: tela do cinema; 
Objeto: os fotogramas da fita; 
Raio projetante: raios luminosos da lâmpada; 
Centro de projeção: a lâmpada do projetor 
Projeção é o conjunto de operações geométricas que permitem 
obter a figura formada pelos pontos de interseção dos raios 
projetantes que partem de um centro projetivo e incidem sobre 
uma figura do espaço, com uma superfície. 
SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO
SISTEMA CÔNICO SISTEMA CILÍNDRICO 
A projeção cilíndrica é dividida em ortogonal e oblíqua. 
Utilizaremos a projeção cilíndrica ortogonal, que oferece facilidade e 
transparência na relação entre objeto e projeção no plano, que é o maior 
objetivo da geometria descritiva. 
Sistema de projeção cônica não representa o tamanho real do objeto;
Observe por 1 minuto a figura a seguir e tente compreendê-la 
tridimensionalmente. 
Qual das duas você compreende melhor?
PROJEÇÕES CILÍNDRICAS X PROJEÇÕES CÔNICAS 
Embora saibamos que trilhos da linha de trem são paralelos e, portanto, 
“nunca deveriam se encontrar”, podemos ver seu encontro: “eles se 
encontram num ponto de fuga (PF)”. Como este ponto é real apenas para 
nossos olhos, dizemos que duas paralelas se encontram sim, mas no 
infinito, onde está seu centro de projeções impróprio. (0∞). 
O objeto é projetado, ao mesmo 
tempo, num plano horizontal 
(PH) e num plano vertical (PV). 
Verifique:
SISTEMA MONGEANO
Nada mais é que o modo de apresentação e como desenhamos 
uma projeção no sistema mongeano. 
A épura vem da rotação do plano horizontal (PH) até se encontrar 
ao plano vertical (PV). 
ÉPURA 
Para facilitar a visualização, imaginaremos um 
ponto P no 1º diedro, com projeção P'' no PVS e 
projeção P' no PHA. 
Agora faremos a rotação, no sentido 
horário, do plano horizontal até que 
ele coincida com o plano vertical. 
Temos, então, a sobreposição de dois 
planos. Visualizando esta sobreposição 
de frente, f ica bem evidente a 
facilidade de desenhar. 
Onde: 
PH – Plano Horizontal 
PV – Plano Vertical 
PVS – Semi-plano Vertical Superior 
PVI – Semi-plano Vertical Inferior 
PHA – Semi-plano Horizontal Anterior 
PHP – Semi-plano Horizontal Posterior 
LT – Linha de Terra 
Todos os desenhos das projeções no sistema mongeano serão 
feitos na épura, que é esta última etapa desenhada acima. 
O segmento de reta que liga as projeções P’ e P’’ é chamado de 
linha de chamada e é perpendicular à Linha de terra. 
A Linha de Terra em épura pode ser representada por LT ou pelas 
letras x e y nas suas extremidades, 
COTA E AFASTAMENTO 
Para dar a localização de um ponto no espaço necessitamos de 
duas medidas: a cota e o afastamento. 
Vamos visualizar novamente uma épura com a projeção obtida de 
um ponto P: 
A cota do ponto P será a exata distância entre P’’ e a Linha de 
Terra (LT). Podemos pensar como sendo a “altura” do ponto P, ou 
a distância entre o ponto e o plano horizontal (PH). 
O afastamento do ponto P será a exata distância entre P’ e a 
Linha de terra (LT). Podemos pensar como sendo o deslocamento 
lateral do ponto P, ou a distância entre P e o plano vertical (PV). 
A cota e o afastamento constituem as coordenadas de um ponto, 
mas não são suficientes para a exata localização desse ponto no 
espaço, pois temos uma infinidade de pontos com a mesma cota e 
afastamento. 
A abscissa estará sobre a linha da terra, denotado por 0 (zero), 
chamada de origem do sistema. Quando a abscissa estiver 
situada à direita da origem ela é positiva, e se estiver à 
esquerda ela é negativa. 
A abscissa é a menor distância entre a origem (0) e o ponto de 
intersecção das projeções(I). Na épura é a menor distância entre a 
origem e a linha de chamada. 
Assim, um ponto fica definido por três coordenadas: abscissa (a), 
afastamento (b) e cota (c), nessa ordem, P[a, b, c]. 
1º Diedro: 
Podemos fazer algumas generalizações sobre a cota e o 
afastamento obtidos na épura quando o ponto se encontra no 1º 
diedro. 
A épura traz a projeção P’ abaixo da LT e a P’’ acima da LT. 
Contudo, observando o ponto no espaço, sabemos que tanto a 
cota quanto o afastamento são positivos. 
Conclusão: Quando a cota está acima da LT = valor positivo. 
Quando o afastamento está abaixo da LT = valor positivo. 
PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA 
2º Diedro 
Ao “girarmos” o plano horizontal, a projeção P’ do ponto P vai parar 
acima da LT. Porém, ela ainda indica o afastamento e, com isso, 
concluímos que, quando o ponto está no segundo diedro, tanto a 
cota como o afastamento aparecem acima da LT na épura. 
Vale lembrar que a cota é positiva (está aparecendo acima da LT) 
e o afastamento é negativo (está acima da LT e é para baixo que 
ele é positivo). 
3º Diedro 
A cota aparece abaixo da LT e o afastamento acima. Isso indica 
que ambos os valores são negativos, uma vez que estão 
localizados numa posição contrária à que ocorre com o ponto do 1º 
diedro. 
4º Diedro 
A épura nos mostra as duas medidas abaixo da LT, o que nos 
indica que o afastamento é positivo e a cota, negativa. 
Exemplos:
1) Construa a épura de um ponto P [1, 5, -3]. 
Solução: Sabemos que o 1 é a abscissa, 5 é o afastamento e -3 é 
a cota. Afastamento positivo e cota negativa nos dão um ponto no 
4º diedro. A épura do 4º diedro tem ambas as medidas abaixo da 
LT, logo: 
Exemplos:
2) Determine as coordenadas do ponto representado na épura 
abaixo: 
Solução: Com o uso de uma régua graduada, medimos que a 
origem (0) está a 1,5cm da linha da chamada. Portanto, a abscissa 
mede 1,5cm. Como a linha dechamada está à esquerda da 
origem, temos abscissa negativa. 
Medimos que P’ está a 2cm acima da LT, que P’’ está 4cm abaixo, 
P’ representa o afastamento e P’’ a cota. Temos o afastamento 
acima da LT e a cota abaixo da LT. Isso indica que ambas as 
medidas são negativas e o ponto se encontra no 3º diedro. 
Exemplos:
3) Determine o diedro que se encontra o ponto P [3, -8, 7] 
Solução: Sabemos que o 3 é a abscissa, -8 é o afastamento e 7 é 
a cota. Como o afastamento é negativo e a cota é positiva, então, 
o ponto P pertence ao segundo diedro. 
 
PROJEÇÃO DE UM PONTO PERTENCENTE AO PLANO NA 
ÉPURA 
Um ponto pode pertencer a alguns dos planos: PHA, PHP, PVS, 
PVI, ou até mesmo a intersecção dos planos que chamamos de 
linha da terra (LT). 
 
PONTO PERTENCENTE AO PLANO HORIZONTAL 
Todos os pontos de cota nula pertencem ao plano horizontal, que 
pode ser PHA ou PHP. 
Faremos a representação dos pontos P ∈ PHA e Q ∈ PHP na 
mesma figura. 
Após o rebatimento, a projeção P’ ≅ P vai parar abaixo da LT, e a 
projeção P’’ permanece sobre a LT. Podemos observar que a cota 
é nula, pois está em cima da linha da terra e o afastamento é 
positivo, pois está abaixo da linha da terra. 
Já a projeção Q’ ≅ Q fica acima da LT, e a projeção Q’’ permanece 
sobre a LT. E podemos dizer que a cota é nula, pois está em cima 
da linha da terra e o afastamento é negativo, pois está acima da 
linha da terra. 
Todos os pontos de afastamento nulo pertencem ao plano vertical, 
que pode ser PVS ou PVI. 
A representação dos pontos P ∈ PVS e Q ∈ PVI, no sistema 
mongeano e na épura. 
PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL 
Após o rebatimento, a projeção P’’ ≅ P fica acima da LT, e a 
projeção P’ permanece sobre a LT. Logo o afastamento é nulo, pois 
está em cima da linha da terra e a cota é positiva, pois está acima 
da linha da terra. 
Já a projeção Q’’ ≅ Q vai parar abaixo da LT, e a projeção Q’ 
permanece sobre a LT. E podemos dizer que o afastamento é nulo, 
pois está em acima da linha da terra e a cota é negativa, pois está 
abaixo da linha da terra. 
 
Todos os pontos de cota nula e afastamento nulo pertencem à 
linha da terra, e suas projeções coincidem. 
Observe a figura em que P ∈ LT: 
 
PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA 
Após o rebatimento as projeções P’ e P’’ ficam sobre a linha da 
terra, veja o resumo no quadro, a seguir. 
 
MUITO OBRIGADO PELA 
ATENÇÃO!