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Aula 1 - funções vetoriais (1)

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Professora Roberta Briesemeister 
Cálculo III 
https://www.climatempo.com.br/noticia/2015/08/15/vento-se-intensifica-no-nordeste-5035
 Definição: A função vetorial de uma variável real 𝑡, definida em 
um intervalo 𝐼, é a função que a cada 𝑡 ∈ 𝐼 associa um vetor 𝑓 do 
espaço. 
 Denotamos, 𝑓 = 𝑓 𝑡 . 
 
 Domínio: uma variável real 
 Imagem: um conjunto de vetores 
 O conjunto dos vetores é chamado campo vetorial. 
 
 Pode ser escrita como a soma de 3 funções escalares: 
𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑖 + 𝑓2 𝑡 𝑗 + 𝑓3 𝑡 𝑘 
Sendo 
𝑖 = (1, 0, 0); 𝑗 = 0, 1, 0 e 𝑘 = 0, 0, 1 . 
 Podemos representar 𝑓 (𝑡) como 
𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 , 𝑓2 𝑡 , 𝑓3 𝑡 
A) 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡3𝑗 − 𝑡2 − 4 𝑘 
 
B) 𝑔 𝑡 = 𝑡2𝑖 + 𝑡2𝑗 + 3𝑘 
 
C) ℎ 𝑡 = 2 cos 𝑡 𝑖 + 2 sin 𝑡 𝑗 + 5𝑘 
 
Seja 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡3𝑗 − 𝑡2 − 4 𝑘 
 
Calcule: 
A) 𝑓 0 
B) 𝑓 1 
C) 𝑓 0 + 𝑓 1 
 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡3𝑗 − 𝑡2 − 4 𝑘 
 
Calcule: 
A) 𝑓 0 = 0, 0, 4 = 4𝑘 
B) 𝑓 1 = 1, 1, 3 = 𝑖 + 𝑗 + 3𝑘 
C) 𝑓 0 + 𝑓 1 = 0, 0, 4 + 1, 1, 3 = 1, 1, 7 
 Determine o domínio das funções vetoriais: 
 A) 𝑓 𝑡 = 𝑡,
1
𝑡
, 3𝑡2 
 
 B) 𝑔 𝑡 = ln 1 − 𝑡 ,
cos 𝑡
32−2𝑡2
, 𝑒
1
3𝑡 − 4 
 Determine o domínio das funções vetoriais: 
 A) 𝑓 𝑡 = 𝑡,
1
𝑡
, 3𝑡2 
𝐷 = ℝ+
∗ = 0,+∞ . 𝐷 = 𝑡 ∈ ℝ; 𝑡 > 0 
 
 B) 𝑔 𝑡 = ln 1 − 𝑡 ,
cos 𝑡
32−2𝑡2
, 𝑒
1
3𝑡 − 4 
−∞, 1 ∩ −4, 4 ∩ ℝ −
4
3
 𝐷 = −4, 1 
 Definição: o hodógrafo de uma função vetorial 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑖 +
𝑓2 𝑡 𝑗 + 𝑓3 𝑡 𝑘, 𝑡 ∈ 𝐼 , é o lugar geométrico dos pontos P do 
espaço que tem vetor posição 𝑓 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝐼. 
 
x
y
z
P(x,y,z)
v
 Descrever a trajetória L de um ponto P móvel, cujo 
deslocamento é expresso por 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 + 3𝑘. 
 Descrever a trajetória L de um ponto P móvel, cujo 
deslocamento é expresso por 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 + 3𝑘. 
 
𝑡 𝒇 𝒕 
-2 (-2, -2, 3) 
-1 (-1, -1, 3) 
0 (0, 0, 3) 
1 (1, 1, 3) 
2 (2, 2, 3) 
 
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 3
 
Reta identidade y = x no plano z = 3 
Representar o hodógrafo das funções: 
 
A) 𝑓 𝑡 = 2 cos 𝑡 𝑖 + 2 sin 𝑡 𝑗 + 4𝑘 
 
B) 𝑔 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 − (𝑡2 − 4)𝑘 
 Assinale a alternativa que contém o hodógrafo 
da função vetorial 𝑔 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡2 + 1 𝑗 − 𝑘 
A) B) C) 
D) 
 Assinale a alternativa que contém o hodógrafo 
da função vetorial 𝑔 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡2 + 1 𝑗 − 𝑘 
A) B) C) 
D) 
𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑧 = −1 
 Assinale a alternativa que contém a equação da função vetorial cujo 
hodógrafo está representado a seguir. 
A) 0, 4 cos 𝑡 , 4 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 
B) 0, 2 cos 𝑡 , 2 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 
C) 2 cos 𝑡 , 0, 2 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 
D) 2 cos 𝑡 , 2 sin 𝑡 , 0 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 
E) 4 cos 𝑡 , 0, 4 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 
 
 Assinale a alternativa que contém a equação da função vetorial cujo 
hodógrafo está representado a seguir. 
A) 0, 4 cos 𝑡 , 4 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 
B) 𝟎, 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒕 , 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒕 , 𝒕 ∈ 𝟎, 𝟐𝝅 
C) 2 cos 𝑡 , 0, 2 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 
D) 2 cos 𝑡 , 2 sin 𝑡 , 0 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 
E) 4 cos 𝑡 , 0, 4 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 
 
Consideremos 
 
𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑖 + 𝑓2 𝑡 𝑗 + 𝑓3 𝑡 𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 
 
𝑔 𝑡 = 𝑔1 𝑡 𝑖 + 𝑔2 𝑡 𝑗 + 𝑔3 𝑡 𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 
 
 
 
 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑖 + 𝑓2 𝑡 𝑗 + 𝑓3 𝑡 𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 
 𝑔 𝑡 = 𝑔1 𝑡 𝑖 + 𝑔2 𝑡 𝑗 + 𝑔3 𝑡 𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 
 
ℎ 𝑡 = 𝑓 𝑡 ± 𝑔 𝑡 
= 𝑓1 𝑡 ± 𝑔1 𝑡 , 𝑓2 𝑡 ± 𝑔2 𝑡 , 𝑓3 𝑡 ± 𝑔3 𝑡 
 
O resultado é uma outra função vetorial 
 
 
Considere as funções vetoriais: 
𝑓 𝑡 = 2𝑖 + 𝑡2 + 𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘 , 𝑔 𝑡 = 3𝑖 + 2𝑡𝑗 + 𝑡3𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 
 
ℎ 𝑡 = 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 = 5, 𝑡2 + 3𝑡, 𝑡3 + 𝑡 
 
 
 𝑣 𝑡 = 𝑝 𝑡 𝑓 𝑡 , 𝑝 𝑡 é uma função escalar 
 
 𝑣 𝑡 = 𝑝 𝑡 𝑓1 𝑡 , 𝑝 𝑡 𝑓2 𝑡 , 𝑝 𝑡 𝑓3 𝑡 
 
 O resultado é uma outra função vetorial 
 
 𝑞 𝑡 = 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑔 𝑡 
 
 𝑞 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑔1 𝑡 + 𝑓2 𝑡 𝑔2 𝑡 + 𝑓3 𝑡 𝑔3 𝑡 
 
 O resultado é uma função escalar 
 
𝑤 𝑡 = 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 
𝑤 𝑡 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑓1(𝑡) 𝑓2(𝑡) 𝑓3(𝑡)
𝑔1 𝑡 𝑔2 𝑡 𝑔3(𝑡)
 
 
 O resultado é outra função vetorial 
 Dadas as funções vetoriais 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + 5𝑘 e 𝑔 𝑡 = 𝑡3𝑖 + 𝑗 e a 
função escalar ℎ 𝑡 = 𝑡2 − 1, determinar: 
 i) 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 
 ii) 2𝑓 𝑡 − 𝑔 𝑡 
 iii) 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 
 iv) ℎ 𝑡 𝑓 𝑡 ∙ 𝑔 𝑡 
 v) 𝑓 
1
𝑎
+ 𝑔 
1
𝑎
 para 𝑎 ≠ 0 
 Dadas as funções vetoriais 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + 5𝑘 e 𝑔 𝑡 = 𝑡3𝑖 + 𝑗 e a 
função escalar ℎ 𝑡 = 𝑡2 − 1, determinar: 
 i) 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 = 𝑡3 + 𝑡, 𝑡2 + 1, 5 
 ii) 2𝑓 𝑡 − 𝑔 𝑡 = 2𝑡 − 𝑡3, 2𝑡2 − 1, 10 
 iii) 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 = −5, 5𝑡3, 𝑡 − 𝑡5 
 iv) ℎ 𝑡 𝑓 𝑡 ∙ 𝑔 𝑡 = 𝑡6 − 𝑡2 
 v) 𝑓 
1
𝑎
+ 𝑔 
1
𝑎
=
𝑎2 + 1
𝑎3
,
1 + 𝑎2
𝑎2
, 5 
 Dadas as funções vetoriais 𝑓 𝑡 = 4𝑖 + 𝑡3𝑗 + 𝑡𝑘 e 𝑔 𝑡 = 𝑡2𝑗 + 𝑘 e a 
função escalar ℎ 𝑡 = 𝑡3 + 4, determinar: 
 i) 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 
 ii) 𝑓 𝑡 − ℎ 𝑡 𝑔 𝑡 
 iii) 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 
 iv) 𝑓 𝑡 ∙ 𝑔 𝑡 
 Dadas as funções vetoriais 𝑓 𝑡 = 4𝑖 + 𝑡3𝑗 + 𝑡𝑘 e 𝑔 𝑡 = 𝑡2𝑗 + 𝑘 e a 
função escalar ℎ 𝑡 = 𝑡3 + 4, determinar: 
 i) 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 = 4, 𝑡3 + 𝑡2, 𝑡 + 1 
 ii) 𝑓 𝑡 − ℎ 𝑡 𝑔 𝑡 = 4,−𝑡5 − 𝑡3 − 4𝑡2, −𝑡3 + 𝑡 − 4 
 iii) 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 = 0,−4, 4𝑡2 
 iv) 𝑓 𝑡 ∙ 𝑔 𝑡 = 𝑡5 + 𝑡

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