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Professora Roberta Briesemeister Cálculo III https://www.climatempo.com.br/noticia/2015/08/15/vento-se-intensifica-no-nordeste-5035 Definição: A função vetorial de uma variável real 𝑡, definida em um intervalo 𝐼, é a função que a cada 𝑡 ∈ 𝐼 associa um vetor 𝑓 do espaço. Denotamos, 𝑓 = 𝑓 𝑡 . Domínio: uma variável real Imagem: um conjunto de vetores O conjunto dos vetores é chamado campo vetorial. Pode ser escrita como a soma de 3 funções escalares: 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑖 + 𝑓2 𝑡 𝑗 + 𝑓3 𝑡 𝑘 Sendo 𝑖 = (1, 0, 0); 𝑗 = 0, 1, 0 e 𝑘 = 0, 0, 1 . Podemos representar 𝑓 (𝑡) como 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 , 𝑓2 𝑡 , 𝑓3 𝑡 A) 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡3𝑗 − 𝑡2 − 4 𝑘 B) 𝑔 𝑡 = 𝑡2𝑖 + 𝑡2𝑗 + 3𝑘 C) ℎ 𝑡 = 2 cos 𝑡 𝑖 + 2 sin 𝑡 𝑗 + 5𝑘 Seja 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡3𝑗 − 𝑡2 − 4 𝑘 Calcule: A) 𝑓 0 B) 𝑓 1 C) 𝑓 0 + 𝑓 1 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡3𝑗 − 𝑡2 − 4 𝑘 Calcule: A) 𝑓 0 = 0, 0, 4 = 4𝑘 B) 𝑓 1 = 1, 1, 3 = 𝑖 + 𝑗 + 3𝑘 C) 𝑓 0 + 𝑓 1 = 0, 0, 4 + 1, 1, 3 = 1, 1, 7 Determine o domínio das funções vetoriais: A) 𝑓 𝑡 = 𝑡, 1 𝑡 , 3𝑡2 B) 𝑔 𝑡 = ln 1 − 𝑡 , cos 𝑡 32−2𝑡2 , 𝑒 1 3𝑡 − 4 Determine o domínio das funções vetoriais: A) 𝑓 𝑡 = 𝑡, 1 𝑡 , 3𝑡2 𝐷 = ℝ+ ∗ = 0,+∞ . 𝐷 = 𝑡 ∈ ℝ; 𝑡 > 0 B) 𝑔 𝑡 = ln 1 − 𝑡 , cos 𝑡 32−2𝑡2 , 𝑒 1 3𝑡 − 4 −∞, 1 ∩ −4, 4 ∩ ℝ − 4 3 𝐷 = −4, 1 Definição: o hodógrafo de uma função vetorial 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑖 + 𝑓2 𝑡 𝑗 + 𝑓3 𝑡 𝑘, 𝑡 ∈ 𝐼 , é o lugar geométrico dos pontos P do espaço que tem vetor posição 𝑓 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝐼. x y z P(x,y,z) v Descrever a trajetória L de um ponto P móvel, cujo deslocamento é expresso por 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 + 3𝑘. Descrever a trajetória L de um ponto P móvel, cujo deslocamento é expresso por 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 + 3𝑘. 𝑡 𝒇 𝒕 -2 (-2, -2, 3) -1 (-1, -1, 3) 0 (0, 0, 3) 1 (1, 1, 3) 2 (2, 2, 3) 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 𝑡 𝑧 = 3 Reta identidade y = x no plano z = 3 Representar o hodógrafo das funções: A) 𝑓 𝑡 = 2 cos 𝑡 𝑖 + 2 sin 𝑡 𝑗 + 4𝑘 B) 𝑔 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 − (𝑡2 − 4)𝑘 Assinale a alternativa que contém o hodógrafo da função vetorial 𝑔 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡2 + 1 𝑗 − 𝑘 A) B) C) D) Assinale a alternativa que contém o hodógrafo da função vetorial 𝑔 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡2 + 1 𝑗 − 𝑘 A) B) C) D) 𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑧 = −1 Assinale a alternativa que contém a equação da função vetorial cujo hodógrafo está representado a seguir. A) 0, 4 cos 𝑡 , 4 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 B) 0, 2 cos 𝑡 , 2 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 C) 2 cos 𝑡 , 0, 2 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 D) 2 cos 𝑡 , 2 sin 𝑡 , 0 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 E) 4 cos 𝑡 , 0, 4 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 Assinale a alternativa que contém a equação da função vetorial cujo hodógrafo está representado a seguir. A) 0, 4 cos 𝑡 , 4 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 B) 𝟎, 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒕 , 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒕 , 𝒕 ∈ 𝟎, 𝟐𝝅 C) 2 cos 𝑡 , 0, 2 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 D) 2 cos 𝑡 , 2 sin 𝑡 , 0 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 E) 4 cos 𝑡 , 0, 4 sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 Consideremos 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑖 + 𝑓2 𝑡 𝑗 + 𝑓3 𝑡 𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 𝑔 𝑡 = 𝑔1 𝑡 𝑖 + 𝑔2 𝑡 𝑗 + 𝑔3 𝑡 𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑖 + 𝑓2 𝑡 𝑗 + 𝑓3 𝑡 𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 𝑔 𝑡 = 𝑔1 𝑡 𝑖 + 𝑔2 𝑡 𝑗 + 𝑔3 𝑡 𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 ℎ 𝑡 = 𝑓 𝑡 ± 𝑔 𝑡 = 𝑓1 𝑡 ± 𝑔1 𝑡 , 𝑓2 𝑡 ± 𝑔2 𝑡 , 𝑓3 𝑡 ± 𝑔3 𝑡 O resultado é uma outra função vetorial Considere as funções vetoriais: 𝑓 𝑡 = 2𝑖 + 𝑡2 + 𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘 , 𝑔 𝑡 = 3𝑖 + 2𝑡𝑗 + 𝑡3𝑘 , 𝑡 ∈ 𝐼 ℎ 𝑡 = 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 = 5, 𝑡2 + 3𝑡, 𝑡3 + 𝑡 𝑣 𝑡 = 𝑝 𝑡 𝑓 𝑡 , 𝑝 𝑡 é uma função escalar 𝑣 𝑡 = 𝑝 𝑡 𝑓1 𝑡 , 𝑝 𝑡 𝑓2 𝑡 , 𝑝 𝑡 𝑓3 𝑡 O resultado é uma outra função vetorial 𝑞 𝑡 = 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑔 𝑡 𝑞 𝑡 = 𝑓1 𝑡 𝑔1 𝑡 + 𝑓2 𝑡 𝑔2 𝑡 + 𝑓3 𝑡 𝑔3 𝑡 O resultado é uma função escalar 𝑤 𝑡 = 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 𝑤 𝑡 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑓1(𝑡) 𝑓2(𝑡) 𝑓3(𝑡) 𝑔1 𝑡 𝑔2 𝑡 𝑔3(𝑡) O resultado é outra função vetorial Dadas as funções vetoriais 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + 5𝑘 e 𝑔 𝑡 = 𝑡3𝑖 + 𝑗 e a função escalar ℎ 𝑡 = 𝑡2 − 1, determinar: i) 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 ii) 2𝑓 𝑡 − 𝑔 𝑡 iii) 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 iv) ℎ 𝑡 𝑓 𝑡 ∙ 𝑔 𝑡 v) 𝑓 1 𝑎 + 𝑔 1 𝑎 para 𝑎 ≠ 0 Dadas as funções vetoriais 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + 5𝑘 e 𝑔 𝑡 = 𝑡3𝑖 + 𝑗 e a função escalar ℎ 𝑡 = 𝑡2 − 1, determinar: i) 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 = 𝑡3 + 𝑡, 𝑡2 + 1, 5 ii) 2𝑓 𝑡 − 𝑔 𝑡 = 2𝑡 − 𝑡3, 2𝑡2 − 1, 10 iii) 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 = −5, 5𝑡3, 𝑡 − 𝑡5 iv) ℎ 𝑡 𝑓 𝑡 ∙ 𝑔 𝑡 = 𝑡6 − 𝑡2 v) 𝑓 1 𝑎 + 𝑔 1 𝑎 = 𝑎2 + 1 𝑎3 , 1 + 𝑎2 𝑎2 , 5 Dadas as funções vetoriais 𝑓 𝑡 = 4𝑖 + 𝑡3𝑗 + 𝑡𝑘 e 𝑔 𝑡 = 𝑡2𝑗 + 𝑘 e a função escalar ℎ 𝑡 = 𝑡3 + 4, determinar: i) 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 ii) 𝑓 𝑡 − ℎ 𝑡 𝑔 𝑡 iii) 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 iv) 𝑓 𝑡 ∙ 𝑔 𝑡 Dadas as funções vetoriais 𝑓 𝑡 = 4𝑖 + 𝑡3𝑗 + 𝑡𝑘 e 𝑔 𝑡 = 𝑡2𝑗 + 𝑘 e a função escalar ℎ 𝑡 = 𝑡3 + 4, determinar: i) 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 = 4, 𝑡3 + 𝑡2, 𝑡 + 1 ii) 𝑓 𝑡 − ℎ 𝑡 𝑔 𝑡 = 4,−𝑡5 − 𝑡3 − 4𝑡2, −𝑡3 + 𝑡 − 4 iii) 𝑓 𝑡 × 𝑔 𝑡 = 0,−4, 4𝑡2 iv) 𝑓 𝑡 ∙ 𝑔 𝑡 = 𝑡5 + 𝑡
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