Aula 2

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
2 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................ 4 
2 ESTUDO DOS POLINÔMIOS ............................................................... 4 
2.1 As expressões algébricas .................................................................................. 4 
2.2 Monômios .......................................................................................................... 5 
2.3 Operações com monômios .............................................................................. 5 
2.3.1 Soma algébrica de termos semelhantes .......................................................................... 5 
2.3.2 Multiplicação e divisão de monômios .............................................................................. 6 
2.4 Polinômios ......................................................................................................... 7 
2.4.1 Polinômios com uma variável .............................................................................................. 7 
2.5 Operações com polinômios ............................................................................. 8 
2.5.1 Soma algébrica (soma e subtração) .................................................................................. 8 
2.5.2 Multiplicação de monômio por polinômio .................................................................... 8 
2.5.3 Multiplicação de polinômio por polinômio ................................................................... 9 
2.5.3.1 Produtos notáveis .............................................................................................................................. 9 
2.5.3.2 Fatoração de polinômios utilizando os produtos notáveis ...................................................10 
2.5.3.3 Fatoração por fator comum em evidência .................................................................................12 
2.5.3.4 Fatoração por agrupamento .........................................................................................................12 
2.5.3.5 Fatoração da soma e da diferença entre dois cubos...............................................................13 
 
 
3 
2.5.4 Divisão de polinômio por monômio .............................................................................. 13 
2.5.5 Divisão de polinômio por polinômio ............................................................................. 14 
2.5.5.1 Divisão de polinômios divisíveis ...................................................................................................14 
2.5.5.2 Divisão de polinômios não divisíveis ..........................................................................................15 
2.5.5.2.1 Método da chave ..........................................................................................................................15 
2.5.5.2.2 Dispositivo prático de Briot-Ruffini ..........................................................................................16 
2.6 Expressões fracionárias .................................................................................. 16 
2.6.1 Domínio de uma expressão fracionária ........................................................................ 16 
2.6.2 Operações com expressões fracionárias ...................................................................... 17 
2.6.3 Expressões racionais compostas ...................................................................................... 18 
REFERÊNCIAS .......................................................................................... 19 
 
 
 
4 
AULA 2 – POLINÔMIOS 
1 INTRODUÇÃO 
O objetivo desta aula é familiarizar-se com os conceitos, linguagem, propriedades e as operações 
algébricas que envolvem os polinômios. 
2 ESTUDO DOS POLINÔMIOS 
A história dos polinômios é tão antiga quanto a história da matemática e a construção da linguagem 
numérica. O homem sempre teve a necessidade de representar algo desconhecido por meio de um objeto 
ou símbolo. Registrar um fato foi uma das primeiras habilidades desenvolvidas pelo ser humano. 
Durante esses registros, houve situações ou atividades que necessitaram de algum pensamento ou da 
própria matemática, seja para entendê-las, registrá-las ou organizá-las. 
Assim surgiram as primeiras ideias sobre os polinômios ou representações de algo desconhecido, 
porém concreto que poderia ser organizado, associado e até calculado. 
Agora estudaremos mais precisamente essa ideia tão importante no desenvolvimento da linguagem 
matemática. 
2.1 As expressões algébricas 
Expressões algébricas são formadas por letras, números e sinais de operações matemáticas. Essas 
letras que aparecem em uma expressão são chamadas de variáveis. 
Exemplo: 
 
 
Durante o processo de cálculo, podemos substituir essas variáveis, que aparecem em uma expressão 
algébrica, por valores numéricos conhecidos e assim encontramos um resultado final que chamamos de 
valor numérico. 
Exemplo: 
Calcule o valor numérico da expressão sabendo que e . 
Para resolver esse problema basta substituir a variável por 2 e a variável por 1. Assim 
teremos: 
 
Portanto, para a situação descrita, o valor numérico da expressão será igual a 1. 
 
 
 
5 
Em resumo, o valor numérico de uma expressão algébrica é um número obtido por meio dos cálculos 
resultantes da substituição das variáveis por valores conhecidos. 
2.2 Monômios 
Monômios são expressões algébricas formadas por números, letras ou pela multiplicação entre 
números e letras. Em outras palavras, todo monômio é constituído por números e letras, não havendo 
somas ou subtrações entre os termos (expressões). 
Todo monômio é constituído do coeficiente numérico e da parte literal. O coeficiente numérico é o valor 
conhecido (constante) enquanto a parte literal é formada pela(s) variável(is). Exemplo: 
Tabela 1 – Identificação do coeficiente numérico e a parte literal de um monômio. 
Monômio Coeficiente numérico Parte literal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 Números (expressões numéricas) como –4, –2, 0, 1, 2 são considerados monômios. 
 O número zero é definido como monômio nulo. 
 Qualquer monômio de coeficiente numérico zero é considerado monômio nulo. 
 Monômios que possuem as partes literais iguais (inclusive o mesmo grau) são chamados de 
termos semelhantes. 
Por exemplo: . 
 Para definir o grau de um monômio, devemos somar os expoentes da parte literal. 
Por exemplo: 
 tem grau 3, porque o grau de é 2 e o grau de é 1, portanto 2 + 1 = 3. 
2.3 Operações com monômios 
2.3.1 Soma algébrica de termos semelhantes 
Para efetuarmos a soma algébrica de monômios, precisamos apenas somar (ou subtrair) os 
coeficientes numéricos e manter a parte literal. Exemplos: 
 
 
6 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
2.3.2 Multiplicação e divisão de monômios 
Para multiplicar ou dividir um monômio, eles não precisam ser iguais (mesma parte literal). Para 
multiplicar ou dividir monômios precisamos multiplicar ou dividir coeficiente numérico com coeficiente 
numérico e parte literal com parte literal. 
Na parte literal, para auxiliar na representação do valor final, normalmente associamos a mesmas 
letras e utilizamos as propriedades da potenciação para chegar a um resultado simplificado. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )( ) 
 
 
 
 
 
 
7 
2.4 Polinômios 
Polinômios são expressões algébricas formadas por mais de um monômio (termo). Os polinômios 
formados por até três termos possuem nomes específicos: 
 Um termo: monômio. Exemplos: Dois termos: binômio. Exemplos: 
 
 
 
 
 Três termos: trinômio. Exemplos: 
 
 
 
 
A partir de três termos, todas as expressões recebem o nome de polinômio. 
O grau de um polinômio é representado pelo monômio de maior grau desde que todos os termos 
estejam reduzidos (associados) e o coeficiente numérico não seja nulo. 
Exemplo: 
 
 
O grau desse polinômio é representado pelo grau do monômio , ou seja, grau 5. 
2.4.1 Polinômios com uma variável 
São polinômios formados por apenas um tipo de letra, mas que podem ter expoentes diferentes. Nesse 
caso, as letras são as mesmas, porém os expoentes são diferentes, assim, esses termos não são 
considerados semelhantes, logo não podem ser associados. 
Exemplo: 
 
 
8 
 
Apesar de o polinômio ser composto somente pela variável , os termos não são semelhantes. 
 
2.5 Operações com polinômios 
2.5.1 Soma algébrica (soma e subtração) 
Denominamos a soma algébrica de dois ou mais polinômios por meio do polinômio obtido com a 
associação de todos os termos semelhantes dos polinômios fornecidos. 
Exemplo: 
Uma empresa produz três produtos cujas receitas podem ser representadas pelos polinômios: 
A = 
B = 
C = 
 
Então, podemos concluir que a receita total com os três produtos será: 
A + B + C = 
A + B + C = 
A + B + C = 
A + B + C = 
 
Ainda com base nas receitas anteriores, em outra situação, a receita do produto A dobrou, 
enquanto a receita do produto B triplicou e a receita do produto C foi nula. Qual foi a receita final? 
 
 
 
 
 
2.5.2 Multiplicação de monômio por polinômio 
A multiplicação entre monômios e polinômios segue a mesma ideia da multiplicação entre monômios. 
A diferença é que, antes, é preciso aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação a soma ou 
subtração e, em seguida, se houver, associar os termos semelhantes. 
Exemplo: 
 
 
9 
 
⏟ 
 
 
 
Como não possuímos termos semelhantes para associar, este é o resultado final. 
2.5.3 Multiplicação de polinômio por polinômio 
Assim como no caso anterior, na multiplicação entre polinômios, também é necessário aplicar a 
propriedade distributiva porém, nesse caso, a propriedade deve ser aplicada em cada termo do polinômio. 
Exemplo: 
 
 ⏟ ⏟ 
 
⏟ ⏟ 
 
 ⏟ 
 
 
 
2.5.3.1 Produtos notáveis 
Alguns produtos têm grande utilidade nas aplicações matemáticas de forma geral e, 
consequentemente, são usados em grande escala. Esses casos recorrentes recebem o nome específico de 
produtos notáveis. 
É bastante aconselhável que o aluno entenda e domine este assunto, pois, assim, os cálculos serão 
mais simples e ágeis. 
Os principais produtos notáveis são: 
Tabela 2 – Principais produtos notáveis. 
Produtos notáveis Desenvolvimento 
Produto da soma pela diferença 
Quadrado da soma de dois termos 
Quadrado da diferença de dois termos 
Cubo de uma soma de dois termos 
Cubo da diferença de dois termos 
 
 
10 
 
Como foi dito anteriormente, essas fórmulas podem ser bastante úteis, por exemplo: 
Calcular 
 
Como podemos observar, o caso descrito é um quadrado da diferença entre dois termos, portanto seu 
desenvolvimento é: 
 
 
Para calcular, basta substituir o por e substituir o por 1 e obteremos o resultado, então: 
 , 
portanto 
 
2.5.3.2 Fatoração de polinômios utilizando os produtos notáveis 
Trabalhar com o polinômio na forma fatorada pode simplificar, e muito, os cálculos, pois, quando 
trabalhamos com potências, a multiplicação acaba se transformando em soma (soma dos expoentes para 
mesma base) e a divisão se transforma em subtração. 
Nas próximas aulas, no estudo de resolução de equações, veremos que é mais fácil resolver uma 
equação quando estiver fatorada. Portanto, assim como o estudo anterior, este conteúdo é de grande 
importância e utilidade para as próximas aulas. 
Fatorar significa escrever um polinômio como um produto de dois ou mais fatores polinomiais. 
Nem todos os polinômios podem ser fatorados, nesses casos nós dizemos que o polinômio está na 
forma irredutível. 
Por exemplo: 
 é um polinômio irredutível. 
 
Um polinômio está fatorado completamente quando estiver escrito como produto de seus fatores 
irredutíveis. 
Por exemplo: 
 
 
Outro exemplo interessante é a fatoração do polinômio , então segue que: 
 
 
11 
 
 
Esse polinômio não está fatorado, pois o termo não é irredutível. Então, fatorando o polinômio 
dado, temos: 
 
Diferença de dois quadrados que é equivalente ao produto da soma pela diferença. 
Portanto, o polinômio fatorado é: 
 
 
As principais técnicas de fatoração envolvem os produtos notáveis, portanto a tabela anterior pode ser 
reescrita da seguinte forma: 
Tabela 3 – Fatoração dos principais polinômios. 
Nome Polinômio Fatoração 
Diferença de dois quadrados 
Trinômio quadrado perfeito (soma) 
Trinômio quadrado perfeito (subtração) 
 
Repare que, para fatorar um polinômio que seja uma diferença entre dois quadrados, basta extrair a 
raiz de cada termo e montar como um produto da soma pela diferença. 
Exemplo: 
 
 
De forma semelhante, essa ideia vale para o trinômio quadrado perfeito. Então, para começar, 
podemos extrair a raiz dos termos extremos e, em seguida, verificamos se o dobro do produto dessas raízes 
é igual ao termo central do polinômio. Se isso ocorrer, basta analisar o sinal do termo central e escrever o 
trinômio como o quadrado de uma soma, ou diferença, de dois termos (raízes). 
Exemplo: 
 
 
 
 
Como o dobro do produto das raízes é 8 (o mesmo que o termo central do polinômio a ser fatorado) e 
o sinal desse termo é negativo, então a fatoração pode ser escrita como o quadrado da diferença entre dois 
termos, ou seja: 
 
 
12 
 
 
Se o dobro do produto das raízes for diferente do termo central, se o polinômio puder ser fatorado, 
precisaremos utilizar outra técnica, pois esse polinômio não será um trinômio quadrado perfeito. 
A seguir, descrevemos outras técnicas de fatoração. 
2.5.3.3 Fatoração por fator comum em evidência 
Para utilizar essa técnica os termos dos polinômios devem possuir algum fator em comum, seja 
número ou letra. 
Essa ideia vem da propriedade distributiva (se um número está multiplicando uma expressão, então 
esse número deve ser multiplicado por cada um de seus termos), logo a recíproca também é verdadeira. 
Em outras palavras, se todos os termos foram multiplicados por um mesmo número, então é possível 
escrever esse polinômio como o produto de um número por uma expressão. 
Exemplo: 
 
 
Repare que o coeficiente numérico é múltiplo de 3, e , portanto os termos desse polinômio são 
múltiplos de , logo podemos escrever o polinômio como: 
 
2.5.3.4 Fatoração por agrupamento 
Em alguns casos, nem todos os termos de um polinômio têm algum fator comum em evidência, porém 
alguns termos específicos podem ter e, se isso ocorrer, talvez seja possível fatorar esse polinômio.Essa técnica utiliza o mesmo princípio do fator em comum em evidência. A diferença é que o 
utilizaremos mais de uma vez, e em termos diferentes, no mesmo polinômio. 
Exemplo: 
 
 
Repare que alguns termos possuem fatores em comum. Vamos juntar esses termos semelhantes 
conforme a letra e : 
 ⏟ ⏟ 
 
 
Então, no primeiro termo vamos colocar o em evidência e, no segundo, . 
 
 
13 
 
 
Como é um fator comum aos dois termos, vamos colocá-lo em evidência: 
 
 
Portanto, a forma fatorada do polinômio é: 
 
2.5.3.5 Fatoração da soma e da diferença entre dois cubos 
Essa técnica é menos utilizada que as anteriores, porém não menos importante. As fórmulas de 
fatoração são: 
 
 
 
Exemplo: fatorar o polinômio – 64 
 
 
Então, temos que: 
 
 
2.5.4 Divisão de polinômio por monômio 
O processo de divisão de polinômio por monômio baseia-se, também, na ideia da propriedade 
distributiva. No entanto, ao invés de multiplicar, vamos dividir cada termo do polinômio pelo monômio em 
questão. 
Feito isso, basta dividir número por número e parte literal por parte literal. Neste último caso, 
precisamos utilizar a propriedade de divisão de potências de mesma base. 
Exemplo: 
 
 
Vamos dividir cada termo do polinômio por 3 , assim temos: 
 
 
14 
 
 ( )( ) ( ) ( ) 
 
 
Simplificando para chegar à resposta final, temos: 
 
 
 
 
Lembre-se de que, diferente da soma e da multiplicação, o resultado da divisão e da subtração 
depende da posição dos números, ou seja, não vale a propriedade comutativa. 
 
é diferente de 
 
 
2.5.5 Divisão de polinômio por polinômio 
Antes de discutir esse assunto, devemos relembrar o conceito de divisibilidade. 
Dizer que dois números são divisíveis, significa afirmar que o resto da divisão do primeiro número pelo 
segundo é igual a zero, ou seja, esses números são múltiplos ou submúltiplos um do outro. 
A mesma ideia pode ser utilizada para os polinômios. Quando dizemos que um polinômio é divisível 
por outro, afirmamos que o resto da divisão do primeiro pelo segundo é igual a zero e, ainda mais, que um 
dos polinômios é múltiplo do outro. 
2.5.5.1 Divisão de polinômios divisíveis 
Quando afirmamos que dois polinômios são divisíveis, queremos dizer que um é múltiplo do outro, ou 
seja, que é possível escrever esse polinômio na forma fatorada e simplesmente simplificar, como fazemos 
com as frações. 
Exemplo: 
 
Então podemos reescrever a expressão anterior desta forma: 
 
 
 ⏟ ⏟ 
 
 
 
 
 
 
15 
Repare que, ao fatorar o polinômio, surgiu um fator em comum no numerador e no denominador, 
portanto esses dois polinômios e são divisíveis. 
Podemos simplificar os termos em comum, , então: 
 
 
 
assim, 
 
2.5.5.2 Divisão de polinômios não divisíveis 
Sejam dois polinômios e , com 0. Então, dividir (dividendo) por (divisor) 
significa determinar dois outros polinômios, (quociente) e (resto), que verifiquem as seguintes 
condições: 
 
Grau de grau de ou 
 
Para descobrir o quociente e resto de uma divisão, temos dois métodos bastante eficientes: o método 
da chave e o dispositivo de Briot-Ruffini. Para exemplificar cada processo os demonstramos adiante. 
2.5.5.2.1 Método da chave 
Vamos dividir o polinômio pelo binômio e verificar quais são o quociente e o 
resto da operação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, concluímos que o quociente será e o resto será 47. 
2.5.5.2.2 Dispositivo prático de Briot-Ruffini 
Como no tópico anterior, vamos dividir o polinômio pelo binômio , logo, 
devemos encontrar o mesmo resultado, mas por meio de um método diferente: 
 
 
16 
2 4 2 4 1 
 4 10 24 47 
 
Assim, pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini verificamos que os coeficientes do polinômio que 
representam o quociente são: 4, 10 e 24. Portanto o polinômio é e, como vimos, 47 (último 
número) representa o resto, ou seja, a mesma resposta do método anterior. 
Independentemente de qual método utilizar, a resposta deve ser sempre a mesma, assim você pode 
escolher a técnica que julgar mais simples. 
2.6 Expressões fracionárias 
A razão entre duas expressões algébricas é denominada expressão fracionária, ou simplesmente 
expressão racional. 
Abaixo temos alguns exemplos de expressões racionais: 
 
 
√ 
 
2.6.1 Domínio de uma expressão fracionária 
Diferentemente dos polinômios, que são definidos para todos os números reais, algumas expressões 
algébricas não estão definidas para alguns números reais, ou seja, dependendo do valor de que 
substituímos na equação algébrica, não vamos conseguir calcular um resultado. 
O conjunto de valores de na qual uma expressão algébrica é definida, ou seja, é possível de ser 
calculada, é chamado de Domínio da Expressão Algébrica. 
Nos exemplos anteriores, verificamos que para alguns valores de x a expressão não está definida. Se 
calcularmos o valor numérico dessas expressões para , chegamos a uma indefinição, pois teremos o 
denominador igual a zero. 
 
 
√ √ √ 
 
 
 
 
Repare que, no segundo caso, no domínio da segunda expressão, todos os números serão reais, 
menos o 1, ou seja, . 
Já na primeira expressão, não basta, simplesmente, eliminar o número 1 para que o denominador não 
assuma valor nulo, é preciso, também, satisfazer outra condição. A raiz deve ser maior que zero. Por isso, 
temos de verificar para quais valores , ou ainda, . 
Portanto, ou . 
 
 
17 
Assim, podemos definir que o domínio dessa expressão é . 
2.6.2 Operações com expressões fracionárias 
As operações que envolvem as expressões fracionárias são as mesmas utilizadas nos números 
racionais, ou seja: 
Tabela 4 – As quatro operações com os números racionais. 
Operação Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com 1 e 2. 
 
 
18 
2.6.3 Expressões racionais compostas 
Quando houver frações no numerador, no denominador ou em ambos, dizemos que a expressão 
fracionária é composta. 
Uma forma de “fugir” dessa forma complexa é transformar a fração em uma divisão de expressões 
fracionárias. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
REFERÊNCIAS 
DEMANA, F.; WAITS, K. B.; FOLEY, D. G.; KENNEDY, D. Pré-cálculo. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2009. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. Matemática: ciência e aplicações. 6. 
ed. São Paulo: Atual, 2010. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. 6. ed. São Paulo: Atual, 2009.