Aa1 - Cálculo Diferencial e Integral IV

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Engenharia Elétrica AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
Curso: 
Engenharia Elétrica 
 
 
Engenharia Elétrica AULA ATIVIDADE TUTOR 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV 
Teleaula: 01 
Séries 
Resolva os problemas a seguir, tomando por base o estudo da definição de série, séries 
de potências, séries de Taylor e de Maclaurin, bem como das séries de Fourier 
 
Para a questão 1 considere a seguinte equação: 
1
1 − 𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ = ∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=0
 
 
Questão 1 
Podemos empregar as séries de potências na representação de funções visando a identificação 
de aproximações para elas a partir de expressões polinomiais. 
Com base nesse tema, estude a função de uma variável real definida por 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
 
e represente a função 𝑓(𝑥) como uma série de potências. 
Gabarito: 
Queremos representar 𝑓(𝑥) na forma de série de potências. Note inicialmente que 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
=
1
1 − (−𝑥2)
 
Assim, aplicando a expressão 
1
1 − 𝑘
= 1 + 𝑘 + 𝑘2 + 𝑘3 + ⋯ = ∑ 𝑘𝑛
∞
𝑛=0
 
com 𝑘 = −𝑥2 teremos que: 
𝑓(𝑥) =
1
1 − (−𝑥2)
= 1 + (−𝑥2) + (−𝑥2)2 + (−𝑥2)3 + ⋯ = ∑(−𝑥2)𝑛
∞
𝑛=0
 
Ou ainda, 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
= 1 − 𝑥2 + 𝑥4 − 𝑥6 + ⋯ = ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛
∞
𝑛=0
 
Portanto, a função 𝑓 pode ser representada como série de potências na forma 
𝑓(𝑥) = ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛
∞
𝑛=0
 
 
 
 
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Para a questão 2 considere as seguintes definições: 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ. Dizemos que 𝑓 é uma função par quando 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo 𝑦. 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ. Dizemos que 𝑓 é uma função ímpar quando 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) para todo 
𝑥 ∈ ℝ. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. 
 
Questão 2 
O estudo das funções é essencial para a resolução dos mais variados problemas, inclusive 
quando desejamos empregar séries de funções para contribuir com a representação e a 
interpretação de fenômenos. Nesses casos, o conhecimento das propriedades das funções se 
faz necessário para que seja possível identificar qual a melhor categoria para representar o 
fenômeno em estudo. 
Considere as funções de uma variável real apresentadas a seguir: 
𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3 
𝑔: ℝ → ℝ dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 2,5𝑥 
ℎ: ℝ → ℝ dada por ℎ(𝑥) = cos(𝑥) 
𝑘: ℝ → ℝ dada por 𝑘(𝑥) = |𝑥| 
Classifique cada uma das funções apresentadas como par ou ímpar. 
Gabarito: 
Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3. A representação gráfica de 𝑓 é: 
 
Como o gráfico de 𝑓 é simétrico em relação ao eixo 𝑦 podemos concluir que 𝑓 é par. Outra 
forma de verificar esse fato é analisar que 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 − 3 = 𝑥2 − 3 = 𝑓(𝑥) 
para todo 𝑥 real. Logo, 𝑓 é uma função par. 
Considere a função 𝑔: ℝ → ℝ dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 2,5𝑥. O gráfico de 𝑔 é dado por: 
 
 
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O gráfico de 𝑔 é simétrico em relação à origem então 𝑔 é ímpar. Ou ainda, como 
𝑔(−𝑥) = (−𝑥)3 − 2,5(−𝑥) = −𝑥3 + 2,5𝑥 = −(𝑥3 − 2,5𝑥) = −𝑔(𝑥) 
para todo 𝑥 real. Dessa forma, 𝑓 é uma função ímpar. 
Seja a função ℎ: ℝ → ℝ dada por ℎ(𝑥) = cos(𝑥), cujo gráfico é 
 
Como o gráfico de ℎ é simétrico em relação ao eixo 𝑦 podemos concluir que ℎ é par. Outra 
forma de verificar esse fato é analisar que 
ℎ(−𝑥) = cos(−𝑥) = cos(𝑥) = ℎ(𝑥) 
para todo 𝑥 real. Logo, ℎ é uma função par. 
Considere a função 𝑘: ℝ → ℝ dada por 𝑘(𝑥) = |𝑥|. O gráfico de 𝑘 é: 
 
O gráfico de 𝑘 é simétrico em relação ao eixo 𝑦 então 𝑘 é par. Ou ainda, como 
𝑘(−𝑥) = |−𝑥| = |𝑥| = 𝑘(𝑥) 
para todo 𝑥 real. Dessa forma, 𝑘 é uma função par. 
 
 
 
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Para a questão 3 considere a seguinte definição: 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ. Dizemos que 𝑓 é uma função periódica quando existir um número positivo 𝑃 
de modo que 𝑓(𝑥 + 𝑃) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
 
Questão 3 
As funções periódicas podem ser empregadas na descrição dos mais variados fenômenos, como 
a duração dos dias, as marés, entre outros. Assim, o conhecimento desse tipo de função pode 
auxiliar na interpretação desses fenômenos em que um certo padrão se repete quando 
considerado um intervalo de tempo específico. 
Com base nesse tema, sejam as seguintes funções de uma variável real: 
𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 2 sen(4𝑥) 
𝑔: ℝ → ℝ dada por 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 
ℎ: ℝ → ℝ dada por ℎ(𝑥) = {
−𝑥, −1 ≤ 𝑥 < 0
𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1
, ℎ(𝑥 + 2) = ℎ(𝑥) 
Verifique se as funções apresentadas são periódicas e, em casa afirmativo, determine seu 
período. 
Gabarito: 
Note que a função 𝑓 é periódica e seu gráfico é dado por 
 
Temos que o período da função 𝑓, a qual é trigonométrica, é dado por 
𝑃 =
2𝜋
4
=
𝜋
2
 
A função 𝑔 é não periódica, sendo seu gráfico dado por 
 
 
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A função ℎ é periódica e tem gráfico: 
 
A função ℎ tem período 𝑃 = 2. 
 
Para a questão 4 considere as seguintes expressões: 
• Série de Taylor: 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓(𝑎) +
𝑓′(𝑎)
1!
(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)
2!
(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ 
• Série de Maclaurin: 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(0)
𝑛!
𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓(0) +
𝑓′(0)
1!
𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 + ⋯ 
 
Questão 4 
Determine as expansões em série: 
a) de Taylor para a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 centrada em 𝑥 = 3; 
b) de Maclaurin para a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥; 
c) de Taylor para a função 𝑓(𝑥) = √𝑥 centrada em 𝑥 = 4. 
Gabarito: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, com 𝑥 = 3 
𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥) = 𝑓′′′(𝑥) = ⋯ = 𝑒𝑥 
 
 
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Assim, 
𝑓(3) = 𝑓′(3) = 𝑓′′(3) = 𝑓′′′(3) = ⋯ = 𝑒3 
Portanto, 
𝑓(𝑥) = 𝑓(3) +
𝑓′(3)
1!
(𝑥 − 3) +
𝑓′′(3)
2!
(𝑥 − 3)2 + ⋯ 
Isto é, 
𝑓(𝑥) = 𝑒3 +
𝑒3
1!
(𝑥 − 3) +
𝑒3
2!
(𝑥 − 3)2 + ⋯ 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, com 𝑥 = 0 
𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥) = 𝑓′′′(𝑥) = ⋯ = 𝑒𝑥 
Assim, 
𝑓(0) = 𝑓′(0) = 𝑓′′(0) = 𝑓′′′(0) = ⋯ = 𝑒0 = 1 
Portanto, 
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +
𝑓′(0)
1!
𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 +
𝑓′′(0)
3!
𝑥3 + ⋯ 
Isto é, 
𝑓(𝑥) = 1 +
𝑥
1!
+
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯ 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥
1
2, com 𝑥 = 4 
Função Avaliação em 𝒙 = 𝟒 
𝑓(𝑥) = 𝑥1/2 𝑓(4) = 2 
𝑓′(𝑥) =
1
2
𝑥−1/2 𝑓′(4) =
1
4
 
𝑓′′(𝑥) = −
1
4
𝑥−3/2 𝑓′′(4) = −
1
32
 
𝑓′′′(𝑥) =
3
8
𝑥−5/2 𝑓′′′(4) =
3
256
 
Portanto, 
𝑓(𝑥) =
2
0!
+
(
1
4)
1!
(𝑥 − 4) +
(−
1
32)
2!
(𝑥 − 4)2 +
(
3
256
)
3!
(𝑥 − 4)3 + ⋯ 
𝑓(𝑥) = 2 +
1
4
(𝑥 − 4) −
1
64
(𝑥 − 4)2 +
1
512
(𝑥 − 4)3 + ⋯ 
 
 
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Para a questão 5 considere a seguinte expressão que caracteriza a série de Fourier para uma 
função 𝑓 periódica de período 2𝐿: 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑎0 + ∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
 
com 
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
, 𝑛 ≥ 0 
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
, 𝑛 ≥ 1 
 
Questão 5 
As séries de Fourier podem ser empregadas na representação de funções descontínuas para, 
por exemplo, empregá-las na resolução de equações diferenciais, como é o caso da equação do 
calor, por exemplo. 
Com base nesse tema, analise a função 𝑔 de uma variável real definida por 
𝑔(𝑥) = 2𝑥, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 
periódica de período 2𝜋 e cuja representação gráfica é dada por: 
 
Em relação à função apresentada, analise as seguintes afirmações: 
I. A função 𝑔 pode ser caracterizada como uma função par. 
II. A função 𝑔 possui sua representação em séries de Fourier como uma série de senos. 
III. A função 𝑔 admite representação em série de Fourier como 
𝑔(𝑥) = ∑
2(−1)𝑛+1
𝑛
sen(𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
 
Considerando as afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta: 
a) Apenas a afirmação II está correta. 
b) Apenas as afirmações I e II estão corretas. 
c) Apenas as afirmações I e III estão corretas. 
 
 
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d) Apenas as afirmações II e III estão corretas. 
e) Asafirmações I, II e III estão corretas. 
Gabarito: 
A alternativa correta é a D. 
Observamos o gráfico que caracteriza a função 𝑔, a qual admite descontinuidades, podemos 
observar que ele é simétrico em relação à origem, logo a função 𝑔 é ímpar, donde segue que a 
afirmação I está incorreta. 
Como a função 𝑔 é ímpar, podemos concluir que 𝑔 admite uma representação em séries de 
Fourier como uma série de senos, ou seja, 𝑔 assume a forma 
𝑔(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
 
Assim, a afirmação II está correta. 
Vamos construir a série de senos que representa a função 𝑔. Temos que 𝑔 é ímpar e periódica 
de período 2𝐿 = 2𝜋, assim, sua série de Fourier é na forma 
𝑔(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
)
∞
𝑛=1
= ∑ 𝑏𝑛 sen(𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
 
com 
𝑏𝑛 =
2
𝜋
∫ 𝑥 sen(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝑛2𝜋
∫ 𝑦 sen(𝑦) 𝑑𝑦
𝑛𝜋
0
=
2
𝑛2𝜋
[−𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑦)]0
𝑛𝜋
=
2
𝑛2𝜋
[−𝑛𝜋 cos(𝑛𝜋) + sen(𝑛𝜋) + 0 − sen(0)] = −
2
𝑛
cos(𝑛𝜋)
= (−
2
𝑛
) (−1)𝑛 = (−1) ⋅
2
𝑛
⋅ (−1)𝑛 =
2(−1)𝑛+1
𝑛
 
Portanto, a série de Fourier de 𝑔 é dada por 
𝑔(𝑥) = ∑
2(−1)𝑛+1
𝑛
sen(𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
 
Dessa forma, a afirmação III está correta. 
 
 
 
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Para a questão 6 considere as seguintes expressões: 
• Série de Fourier para uma função par: 
𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+ ∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
, em que 𝑎𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
• Série de Fourier para uma função ímpar: 
𝑓(𝑥) = ∑ [𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
, em que 𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
 
Questão 6 
Considere a função: 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 + 𝜋, se 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
𝑥 + 𝜋, se − 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
 
cuja representação gráfica é dada por: 
 
Determine a expansão em série de Fourier para a função apresentada. 
Gabarito: 
Por se tratar de uma função par, podemos determinar uma expansão em série de Fourier de 
cossenos, em que 2𝐿 = 2𝜋, ou 𝐿 = 𝜋. 
𝑎0 =
2
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos(0) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝜋
∫ (−𝑥 + 𝜋)𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝜋
[−
𝑥2
2
+ 𝜋𝑥]
0
𝜋
=
2
𝜋
(−
𝜋2
2
+ 𝜋2 − 0)
= −𝜋 + 2𝜋 = 𝜋 
𝑎𝑛 =
2
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝜋
∫ (−𝑥 + 𝜋) cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝜋
[∫ (−𝑥) cos(𝑛𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 + ∫ 𝜋 cos(𝑛𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥]
= −
2
𝜋
∫ 𝑥 cos(𝑛𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 + 2 ∫ cos(𝑛𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 = (∗) 
Note que: 
∫ 𝑥 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥 sen(𝑛𝑥)
𝑛
− ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 sen(𝑛𝑥)
𝑛
+
cos(𝑛𝑥)
𝑛2
+ 𝐶1 
∫ cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 =
sen(𝑛𝑥)
𝑛
+ 𝐶2 
 
 
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Assim, retornando em (∗) teremos: 
𝑎𝑛 = (∗) = −
2
𝜋
[
𝑥 sen(𝑛𝑥)
𝑛
+
cos(𝑛𝑥)
𝑛2
]
0
𝜋
+ 2 [
sen(𝑛𝑥)
𝑛
]
0
𝜋
= −
2
𝜋
[
𝜋 sen(𝑛𝜋)
𝑛
+
cos(𝑛𝜋)
𝑛2
− 0 −
cos(0)
𝑛2
] + 2 [
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)
𝑛
−
𝑠𝑒𝑛(0)
𝑛
]
= −
2
𝜋
[
cos(𝑛𝜋) − 1
𝑛2
] = −
2
𝑛2𝜋
(cos(𝑛𝜋) − 1) = {
0, 𝑛 é par
4
𝑛2𝜋
, 𝑛 é ímpar
 
Sendo assim, como 
𝑎0 = 𝜋 
𝑎𝑛 = {
0, 𝑛 é par
4
𝑛2𝜋
, 𝑛 é ímpar
 
Logo, 
𝑓(𝑥) =
𝜋
2
+
4
𝜋
cos(𝑥) + 0 +
4
9𝜋
cos(3𝑥) + 0 +
4
25𝜋
cos(5𝑥) + ⋯ 
Portanto, 
𝑓(𝑥) =
𝜋
2
+ ∑
4
(2𝑛 − 1)2𝜋
cos((2𝑛 − 1)𝑥)
∞
𝑛=1