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Apostila Concreto_2019 (1)

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estado limite último, isto é no estádio III. 
Para tanto são fixadas as seguintes hipóteses básicas: 
a) As seções transversais permanecem planas até a ruptura: 
Após o início da deformação até o estado-limite último, as deformações são, em cada ponto, 
proporcionais a sua distância à linha neutra da seção (hipótese de Bernoulli). 
Analisando a Figura 3.1, observa-se que em conseqüência da hipótese, as deformações normais 
ao longo da altura da viga é distribuída linearmente. Assim, a deformação em uma fibra genérica da 
seção é diretamente proporcional à sua distância até a linha neutra. 
Figura 3.1 – Hipótese de Bernoulli. 
cc
ct
bw
d
X
h
d’
c(X)
s = c(X)
Y
Z
As
L.N.
 
b) Encurtamento máximo do concreto: 
No estado limite último, o encurtamento específico de ruptura do concreto na flexão simples é 
de cu, variando de acordo com a classe do concreto. No entanto, o valor de cálculo da tensão limite de 
compressão, igual a αfcd é atingido para deformações a partir de c2. Pela Figura 3.2 observa-se que 
para deformações inferiores a c2 as tensões de compressão caem até zero seguindo uma variação 
parabólica. 
 
72 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
 
Figura 3.2 – Relação tensão versus deformação para uma seção no estádio III. 
 
 
 
c) Alongamento último das armaduras: 
Para que não haja deformações excessivas para a peça fletida, o alongamento máximo 
permitido ao aço é de 1%. 
d) Despreza-se, a favor da segurança a resistência à tração. 
e) O valor de cálculo da tensão no aço corresponde à deformação s no diagrama 
tensão versus deformação do aço. 
f) Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o 
diagrama retangular: 
A NBR6118:2014 permite, para efeito de dimensionamento, que o diagrama parábola-
retângulo que representa as tensões no concreto seja substituído pelo diagrama retangular da Figura 
Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..1. No caso de seções 
retangulares e em “T”, o diagrama retangular possui altura de λ X e tensão máxima igual a αfcd. 
 
 
 
 
 
 
 
cu 
X 
sd 
cd = α fcd 
Z 
Rcd 
Rsd 
c2 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 73 
D. L.ARAÚJO 
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Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento..1 – Simplificação na relação 
tensão versus deformação permitida pela NBR6118:2014. 
 
 
X 
cd = αfcd 
Z 
Rcd 
Rsd 
cd = αfcd 
Z 
Rcd 
Rsd 
λ X 
 
O valor de λ é dada pelas equações (3.1). 
8,0 , para concretos classes até C50 (3.1a) 
400
)50(
8,0

 ck
f
 , para concretos classes maior que C50 (3.1b) 
No caso de flexão simples, os domínios definidos pela NBR 6118:2018 que fornecem as 
possíveis configurações de colapso ficam reduzidos aos domínios 2, 3 e 4. 
Figura 3.4 - Estados limites últimos ( NBR 6118:2014 ). 
 
d 
1% 
1 
yd 

cu
 
c2
 
 
2 
h 

cu
 -
c2
 )h/
cu
 
3 
4 
4a 
5 
d” 
d’ 
Alongamento Encurtamento 
 
Cabe frisar que as considerações feitas até este momento são válidas para quaisquer formas 
de seção transversal e não apenas para as retangulares. 
74 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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3.1 LIMITES ENTRE OS DOMÍNIOS 
3.1.1 Análise da fronteira entre os domínios 3 e 4 
Na fronteira entre os domínios 3 e 4, a deformação no baricentro da armadura é igual à 
deformação de escoamento do aço e a deformação máxima de compressão igual a Figura 3.5. 
Figura 3.5 – Deformações na fronteira entre os domínios 3 e 4. 
 
cd = cu 
 
bw 
d 
X 
h 
d’ 
sd = yd 
Md 
L.N. 
As 
 
Por compatibilidade de deformações tem-se, 
ydcu
cu
d
x




 (3.2) 
Para concreto classe até C50 a equação (3.2) vira: 


 

x
d yd
0 0035
0 0035
,
,
 (3.3) 
Figura 3.6 - Resultantes de tensão para a fronteira entre os domínios 3 e 4. 
 
cd=cu 
X 
sd = yd 
cd = α fcd 
Z 
Rcd 
Rsd 
cu 
cd = α fcd 
Rcd 
Rsd 
λ X 
Z 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 75 
D. L.ARAÚJO 
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Através da relação tensão x deformação no concreto e da simplificação no diagrama de tensões 
permitida pela NBR 6118:2014, pode-se calcular a resultante de cálculo no concreto. 
xbfR wcdcd  para todas as classes de concreto (3.4a) 
xbfR wcdcd 8,085,0 específico para concretos até classe C50 (3.4b) 
Estabelecendo-se o equilíbrio de momentos em relação à armadura tem-se 
)
2
( xdRMd cd

 para todas as classes de concreto (3.5a) 
)4,0( xdRMd cd  específico para concretos até classe C50 (3.5b) 
Substituindo-se a expressão (3.5a) em (3.4a) e (3.5b) em (3.4b) chega-se, respectivamente, 
à 
)
2
1(
2


 
dbf
Md
wcd
 para todas as classes de concreto (3.6a) 
)4,01(68,0
2
 
dbf
Md
wcd
 específico para concretos até classe C50 (3.6b) 
que, juntando a expressão (3.6b) em conjunto com a expressão (3.5b) chega-se à, 












ydydwcd dbf
Md


0035,0
0014,0
1
0035,0
00238,0
2
 (3.7) 
Os valores da equação 3.11 podem ser tabelados uma vez que a deformação de escoamento 
depende unicamente do aço, 
Es
f yd
yd  (3.8) 
 
 
 
 
76 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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Tabela 3.1 - Valores característicos no limite dos domínios 3 e 4 para concretos até classe C50 
VALORES LIMITES ENTRE OS DOMÍNIOS 3 E 4 
Aço fyk (MPa) yd (%) L (DOM. 3 e 4) L (DOM. 3 e 4) 
CA-25 250 0,1035 0,772 0,363 
CA-50 500 0,2070 0,628 0,320 
CA-60 600 0,2484 0,585 0,305 
 
A fim de se melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas (ou seja, nas 
regiões de momento negativo) e se preservar a capacidade de rotação das peças, a NBR 6118:2014 
recomenda que se garanta os seguintes limites para a posição da linha neutra no estado limite último: 
 450,0 dx para concretos com fck  50 MPa 
 351,0 dx para concretos com fck  50 MPa 
Dessa forma, para os casos correntes de detalhamento, não se permite o dimensionamento de 
seções superarmadas, ou seja, no domínio 4. Os limites acima podem ser alterados se forem utilizados 
detalhes especiais de armaduras, como por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões. 
A limitação em relação à posição da linha neutra pode ser escrita em termos do coeficiente 
adimensional , obtido da equação (3.6), ou do coeficiente  que define o braço de alavanca 
(  = z / d ). 
 para fck  50 MPa 450,0 dx => 251,0 L e 82,0 L (3.9.a) 
 para fck  50 MPa 351,0 dx => 205,0 L e 840,L  (3.9.b) 
Vê-se então que os valores das equações (3.9) predominam sobre os da Tabela 3.1. 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 77 
D. L.ARAÚJO 
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3.1.2 Análise da fronteira entre os Domínios 2 e 3 
Na fronteira entre os domínios 2 e 3, a deformação no baricentro da armadura é igual a 1% 
e a deformação máxima de compressão igual a Figura 3.7. 
Figura 3.7 - Deformações na fronteira entre os domínios 2 e 3. 
 
cd = cu 
 
bw 
d 
X 
h 
d’ 
sd = 1 % 
Md 
L.N. 
As 
 
Por compatibilidade de deformações tem-se, 
010,0

cu
cu
d
x


 para todos as classes de concreto (3.10a) 
  


x
d
0 0035
0 0035 0 010
7
27
,
, ,
 específico para concretos até classe C50 (3.10b) 
A resultante de cálculo no concreto pode ser expressa por, 
xbfR wcdcd  para todos as classes de concreto (3.11a) 
xbfR wcdcd 8,085,0 específico para concretos até classe C50 (3.11b) 
Estabelecendo-se o equilíbrio de momentos em relação à armadura e rearranjando os termos 
tem-se, 
)
2
1(
2


 
dbf
Md
wcd
 para todas as classes de concreto (3.12a) 
)4,01(68,0
2
 
dbf
Md
wcd
 específico para concretos até classe C50 (3.12b) 
Substituindo-se as equações (3.10b) em (3.12b)